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1、第 1 頁 共 10 頁高中數(shù)學(xué)常用 高中數(shù)學(xué)常用定理及 定理及公式 公式1. 元素與集合的關(guān)系 元素與集合的關(guān)系U x A x C A ? ? ? , U x C A x A ? ? ? .2.包含關(guān)系 包含關(guān)系A(chǔ) B A A B B ? ? ? ? ? U U A B C B C A ? ? ? ?3.集合 集合 A 中有 中有 n ) ( N n ? 個(gè)元素 個(gè)元素,則集合 則集合 A 的所有不同 的所有不同子集個(gè)數(shù)共有 集個(gè)數(shù)共
2、有 n 2 個(gè); 真子集有 真子集有 2n –1 個(gè); 非空子集有 非空子集有 2n –1個(gè);非空的真子集有 個(gè);非空的真子集有 2n –2 個(gè).4. 4. 二次函數(shù) 二次函數(shù) c bx ax y ? ? ? 2 的圖象的對(duì)稱軸方程是 的圖象的對(duì)稱軸方程是ab x 2 ? ? ,頂點(diǎn)坐標(biāo)是 頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ? ? ??? ? ?? ? ? ab acab4422,二次函數(shù)的解析式的三種形式 二次函數(shù)的解析式的三種形式:(1) (1)一般式
3、一般式 2 ( ) ( 0) f x ax bx c a ? ? ? ? ;(2) (2)頂點(diǎn)式 頂點(diǎn)式 2 ( ) ( ) ( 0) f x a x h k a ? ? ? ? ;(3) (3)零點(diǎn)式 零點(diǎn)式 1 2 ( ) ( )( )( 0) f x a x x x x a ? ? ? ? .5.解連續(xù)不等式 解連續(xù)不等式 ( ) N f x M ? ? 常有以下轉(zhuǎn)化形式: 常有以下轉(zhuǎn)化形式:( ) N f x M ? ? ? [
4、 ( ) ][ ( ) ] 0 f x M f x N ? ? ?6. 6. 方程 方程 ( ) 0 f x ? 有實(shí)數(shù)根 有實(shí)數(shù)根 ? 函數(shù) 函數(shù) ( ) y f x ? 的圖象與 的圖象與 x 軸有交點(diǎn) 有交點(diǎn) ? 函數(shù) 函數(shù) ( ) y f x ? 有零點(diǎn) 零點(diǎn).零點(diǎn)存在性定理 零點(diǎn)存在性定理:函數(shù)在區(qū)間 函數(shù)在區(qū)間[ , ] a b 上圖像是連續(xù)的,且 上圖像是連續(xù)的,且( ) ( ) 0 f a f b ? , 則將 則將函數(shù)
5、在區(qū)間 函數(shù)在區(qū)間[ , ] a b 上至少有一個(gè)零點(diǎn) 上至少有一個(gè)零點(diǎn). 即存在 存在 ( , ) c a b ? ,使 ,使 ( ) 0 f c ? ,c 也就是方程 也就是方程 ( ) 0 f x ? 的根 的根7.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值 閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值二次函數(shù) 二次函數(shù) ) 0 ( ) ( 2 ? ? ? ? a c bx ax x f 在閉區(qū)間 在閉區(qū)間? ? q p, 上的 上的最值只能在 最值只能在 ab x
6、2 ? ? 處及區(qū)間的兩端點(diǎn)處取得 處及區(qū)間的兩端點(diǎn)處取得.8. 8.邏輯連接詞 邏輯連接詞有“或” 、 “且”和“非”真值表 真值表 :p q 非p 非p p或q p或q p且q p且q真 真 假 真 真真 假 假 真 假假 真 真 真 假假 假 真 假 假9. 命題中常見結(jié)論的否定形式 命題中常見結(jié)論的否定形式:原結(jié)論 原結(jié)論 反設(shè)詞 反設(shè)詞 原結(jié)論 原結(jié)論 反設(shè)詞 反設(shè)詞是 不是 不是 至少有一個(gè) 至少有一個(gè) 一個(gè)也沒有 一個(gè)也沒
7、有都是 都是 不都是 不都是 至多有一個(gè) 至多有一個(gè) 至少有兩個(gè) 至少有兩個(gè)大于 大于 不大于 不大于 至少有 至少有n 個(gè) 至多有( 至多有( 1 n ? )個(gè)小于 小于 不小于 不小于 至多有 至多有n 個(gè) 至少有( 至少有( 1 n ? )個(gè)對(duì)所有 對(duì)所有 x 成立 成立存在某 存在某 x 不成立 不成立 p 或 q p ? 且 q ?對(duì)任 對(duì)任何 x,不成立 不成立存在某 存在某 x ,成立 成立 p 且 q p ? 或 q ?
8、10. 10.四種命題的相互關(guān)系 四種命題的相互關(guān)系原命題 原命題 互逆 互逆 逆命題 逆命題若p則q 若p則q 若q則 若q則 p互 互互 為 為 互否否逆 逆否 否否命題 否命題 逆否命題 逆否命題若非p則非q 若非p則非q 互逆 互逆 若非q則 若非q則非 p注意:全稱命題與存在命題的否定關(guān)系。 注意:全稱命題與存在命題的否定關(guān)系。11.充要條件: 充要條件:(1)充分條件:若 充分條件:若 p q ? ,則 ,則 p 是 q 充
9、分條件 充分條件(2)必要條件:若 必要條件:若 q p ? ,則 ,則 p 是 q 必要條件 必要條件(3) (3)充要條件:若 充要條件:若 p q ? ,且 ,且 q p ? 則 p 是 q 充要條件 充要條件如果甲是乙的充分條件,則乙是甲的必要條件;反之亦然 如果甲是乙的充分條件,則乙是甲的必要條件;反之亦然12. 12.函數(shù)的單調(diào)性 函數(shù)的單調(diào)性(1) (1)設(shè) ? ? 2 1 2 1 , , x x b a x x ? ?
10、? 那么 那么? ? 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) 0 x x f x f x ? ? ? ?? ? b a x f x xx f x f , ) ( 0 ) ( ) (2 12 1 在 ? ? ?? 上是增函數(shù); 上是增函數(shù);? ? 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) 0 x x f x f x ? ? ? ?? ? b a x f x xx f x f , ) ( 0 ) ( ) (2 12 1 在 ? ? ?? 上是
11、減函數(shù) 上是減函數(shù).(2) (2)設(shè)函數(shù) 設(shè)函數(shù) ) (x f y ? 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),如果 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),如果 0 ) ( ? ? x f ,則 ) (x f 為增函數(shù);如果 為增函數(shù);如果 0 ) ( ? ? x f ,則 ,則 ) (x f 為減函數(shù) 為減函數(shù).13.如果函數(shù) 如果函數(shù) ) (x f 和 ) (x g 都是減函數(shù) 都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi) 則在公共定義域內(nèi),和函數(shù) 和函數(shù) ) ( ) ( x g x f
12、? 也是減函數(shù) 也是減函數(shù); 如果函數(shù) 如果函數(shù) ) (u f y ? 和) (x g u ? 在其對(duì)應(yīng)的定義域上都是減函數(shù) 在其對(duì)應(yīng)的定義域上都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù) 則復(fù)合函數(shù))] ( [ x g f y ? 是增函數(shù) 是增函數(shù). 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性口訣 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性口訣:同增異 同增異減. 14 14.奇偶函數(shù)的圖象特征 .奇偶函數(shù)的圖象特征奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,偶函數(shù)的圖象關(guān)于 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y
13、 軸對(duì)稱 對(duì)稱;反過來 反過來,如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,那么這 那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù);如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于 個(gè)函數(shù)是奇函數(shù);如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱,那 軸對(duì)稱,那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù). 么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù).15.若函數(shù) 若函數(shù) y=f(x)是偶函數(shù) 是偶函數(shù),則 ,則 ) ( ) ( a x f a x f ? ? ? ? ;若函數(shù) 函數(shù) ) ( a x f y ? ? 是偶函數(shù),則
14、是偶函數(shù),則 ) ( ) ( a x f a x f ? ? ? ? .16. 16.對(duì)于函數(shù) 對(duì)于函數(shù) ) (x f y ? ( R x ? ), ), ) ( ) ( x b f a x f ? ? ? 恒成立 成立,則函數(shù) 函數(shù) ) (x f 的對(duì)稱軸是 的對(duì)稱軸是函數(shù) 函數(shù) 2b a x ? ? ;兩個(gè)函數(shù) 兩個(gè)函數(shù)) ( a x f y ? ? 與 ) ( x b f y ? ? 的圖象關(guān)于直線 的圖象關(guān)于直線 2b a x
15、? ?對(duì)稱 對(duì)稱.17. 函數(shù) 函數(shù) y=f(x)的圖象的對(duì)稱性 的圖象的對(duì)稱性:①函數(shù) 函數(shù) ( ) y f x ? 的圖象關(guān)于直線 的圖象關(guān)于直線 x a ? 對(duì)稱 對(duì)稱第 3 頁 共 10 頁象限 象限。212( 1) sin , sin( ) 2 ( 1) s ,nnnco? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ?212( 1) s , s( ) 2 ( 1) sin ,nn co n co ? ? ???? ? ? ? ?
16、 ?? ? ?37.和角與差角公式 和角與差角公式:sin( ) sin cos cos sin ? ? ? ? ? ? ? ? ? ;cos( ) cos cos sin sin ? ? ? ? ? ? ? ? ? ;tan tan tan( ) 1 tan tan? ? ? ? ? ?? ? ? ?.2 2 sin( )sin( ) sin sin ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (平方正弦公 平方正弦公式);2 2 cos
17、( )cos( ) cos sin ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .注意:二化一 注意:二化一(輔助角 輔助角)公式 公式sin cos a b ? ? ? = 2 2 sin( ) a b ? ? ? ? (輔助角 輔助角? 所在象 所在象限由點(diǎn) 限由點(diǎn)( , ) a b 的象限決定 的象限決定, tan ba ? ? ). ).38 38.二倍角公式 二倍角公式 :sin 2 sin cos ? ? ? ? .2 2 2
18、2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .22tan tan 2 1 tan? ? ? ? ?.注意 注意:半角公式是: 半角公式是:sin 2? = 2cos 1 ? ? ? cos 2? = 2cos 1 ? ? ?tan 2? = ??cos 1cos 1?? ? = ??sincos 1? = ??cos 1sin?升冪公式是: 升冪公式是:2 cos 2 cos 1
19、 2 ? ? ? ? 2 sin 2 cos 1 2 ? ? ? ?降冪公式是: 降冪公式是:22 cos 1 sin 2 ? ? ? ? 22 cos 1 cos 2 ? ? ? ?39. 三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間: 三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:x y sin ? 的遞增區(qū)間是 的遞增區(qū)間是 ? ??? ?? ? ? 2 2 2 2 ? ? ? ? k k , ) ( Z k ? ,遞減區(qū)間是 減區(qū)間是 ? ??? ?? ? ? 23 2 2 2
20、? ? ? ? k k , ) ( Z k ? ;x y cos ? 的遞增區(qū)間是 的遞增區(qū)間是? ? ? ? ? k k 2 2 , ? ) ( Z k ? ,遞減區(qū)間是 遞減區(qū)間是? ? ? ? ? ? k k 2 2 , ) ( Z k ? ,tgx y ? 的遞增區(qū)間是 的遞增區(qū)間是 ? ?? ? ?? ? ? 2 2? ? ? ? k k , ) ( Z k ?40.三角函數(shù)的周期公式 三角函數(shù)的周期公式 :函數(shù) 函數(shù) sin
21、( ) y x ? ? ? ? ,x∈R 及函數(shù) 及函數(shù) cos( ) y x ? ? ? ? ,x∈R( R(A,ω,? 為常數(shù) 為常數(shù),且 A≠0,ω>0)的周期 的周期 2 T ?? ? ;函數(shù) 函數(shù)tan( ) y x ? ? ? ? , , 2 x k k Z ? ? ? ? ? (A,ω,? 為常數(shù) 為常數(shù), 且A≠0,ω>0)的周期 的周期T ?? ? .函數(shù) 函數(shù) B x A y ? ? ? ) sin( ? ? ) ,
22、 (其中 0 0 ? ? ? A 的最大 的最大值是 值是 B A ? ,最小值是 ,最小值是 A B ? ,周期是 ,周期是 ?? 2 ? T ,頻率是 ,頻率是??2 ? f ,相位是 ,相位是 ? ? ? x ,初相是 初相是? ;其圖象的對(duì)稱軸是 ;其圖象的對(duì)稱軸是直線 直線 ) ( 2 Z k k x ? ? ? ? ? ? ? ? ,凡是該圖象與直線 ,凡是該圖象與直線 B y ?的交點(diǎn)都是該圖象的對(duì)稱中心。 的交點(diǎn)都是該圖
23、象的對(duì)稱中心。41.正弦定理 正弦定理: 2 sin sin sina b c R A B C ? ? ? .余弦定理 余弦定理:2 2 2 2 cos a b c bc A ? ? ? ; 2 2 2 2 cos b c a ca B ? ? ? ;cosB= acb c a22 2 2 ? ? 2 2 2 2 cos c a b ab C ? ? ? .42. 42.面積定理 面積定理:(1) 1 1 12 2 2a b c S a
24、h bh ch ? ? ?(2) 1 1 1 sin sin sin 2 2 2 S ab C bc A ca B ? ? ? .③ C B A R S sin sin sin 2 2 ? ;④ Rabc S 4 ? ;⑤ ) )( )( ( c p b p a p p S ? ? ? ? ;⑥ pr S ?43.三角形內(nèi)角和定理 三角形內(nèi)角和定理 :在△ABC ABC 中,有 中,有 ( ) A B C C A B ? ? ? ? ?
25、 ? ? ? ?2 2 2C A B ? ? ? ? ? 2 2 2( ) C A B ? ? ? ? ? .△ABC 中: 中:-tgCB) + tg(A , -cosCB) + cos(A , sinC = B) + sin(A ? ?2 cos 2 sin C B A ? ? , 2 sin 2 cos C B A ? ?44. 44.平面向量運(yùn)算性質(zhì) 平面向量運(yùn)算性質(zhì):? ? ? ? a a a c b a c b a a b
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