勾股定理的證明(16種方法)教案

1、勾股定理的證明 勾股定理的證明【證法 證法 1】 （課本的證明 課本的證明）做 8 個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為 a、b，斜邊長為 c，再做三個邊長分別為 a、b、c 的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方 形.從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是 a + b，所以面積相等. 即ab c ab b a 21 4 21 4 2 2 2 ? ? ? ? ? ?， 整理得 2 2 2 c b a ? ? .【證法 證法

2、2】 （鄒元治證明 鄒元治證明）以 a、b 為直角邊，以 c 為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于ab 21. 把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀，使 A、E、B 三點 在一條直線上，B、F、C 三點在一條直線上，C、G、D 三點在一條直線上.∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF. ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴

3、∠HEF = 180º―90º= 90º. ∴ 四邊形 EFGH 是一個邊長為 c 的正方形. 它的面積等于 c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴

4、ABCD 是一個邊長為 a + b 的正方形，它的面積等于? ?2 b a ? .∴ ? ? 2 221 4 c ab b a ? ? ? ?. ∴ 2 2 2 c b a ? ? .D G CFAHE Babcabcab c ab cba babab acbacbacbacb acbacbaPHGFEDCB Aa bcabca bcabccccb acbaABCEFPQMN【證法 證法 5】 （梅文鼎證明 梅文鼎證明）做四個全

5、等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為 a、b ，斜邊長為 c. 把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使 D、E、F 在一條直線上. 過 C 作 AC 的延長線交 DF 于點 P. ∵ D、E、F 在一條直線上, 且 RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180º―90º

6、= 90º.又∵ AB = BE = EG = GA = c，∴ ABEG 是一個邊長為 c 的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º. ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º. 又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a.∴ BDPC 是

7、一個邊長為 a 的正方形. 同理，HPFG 是一個邊長為 b 的正方形. 設多邊形 GHCBE 的面積為 S，則, 21 2 2 2 ab S b a ? ? ? ?ab S c 21 2 2 ? ? ?,∴ 2 2 2 c b a ? ? .【證法 證法 6】 （項明達證明 項明達證明）做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為 a、b（b>a） ， 斜邊長為 c. 再做一個邊長為 c 的正方形. 把它們拼成如圖所

8、示的多邊形，使 E、A、C 三點在一條直線上.過點 Q 作 QP∥BC，交 AC 于點 P. 過點 B 作 BM⊥PQ，垂足為 M；再過點 F 作 FN⊥PQ，垂足為 N. ∵ ∠BCA = 90º，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90º， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90º， ∴ BCPM 是一個矩形，即∠MBC = 90º. ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º