反函數(shù)的定義

1、反函數(shù)的定義 反函數(shù)的定義 設(shè)函數(shù) y=f(x)的定義域是 A，值域是 C．我們從式子 y=f(x)中解出 x 得到 式子 x=φ(y)．如果對于 y 在 C 中的任何一個(gè)值，通過式子 x=φ(y)，x 在 A 中都有唯一的值和它對應(yīng)，那么式子 x=φ(y)叫函數(shù) y=f(x)的反函數(shù)，記作 x=f-1(y)，習(xí)慣表示為 y=f-1(x)．注意：函數(shù) y=f(x)的定義域和值域，分別是反函數(shù) y=f-1(x)的值域和定義域，例如：f(

2、x)= 的定義域是[-1，+∞]，值域是[0，+∞），它的反函數(shù)f-1(x)=x2-1, x≥0，定義域?yàn)閇0，+∞），值域是[-1，+∞)。 2．反函數(shù)存在的條件 ．反函數(shù)存在的條件 按照函數(shù)定義，y=f(x)定義域中的每一個(gè)元素 x，都唯一地對應(yīng)著值域中的元素 y，如果值域中的每一個(gè)元素 y 也有定義域中的唯一的一個(gè)元素 x 和它相對應(yīng)，即定義域中的元素 x 和值域中的元素 y，通過對應(yīng)法則 y=f(x)存在著一一對應(yīng)關(guān)系，那么函數(shù)

3、 y=f(x)存在反函數(shù)，否則不存在反函數(shù)．例如：函數(shù) y=x2,x∈R，定義域中的元素±1，都對應(yīng)著值域中的同一個(gè)元素 1，所以，沒有反函數(shù)．而 y=x2, x≥1 表示定義域到值域的一一對應(yīng)，因而存在反函數(shù)． 3．函數(shù)與反函數(shù)圖象間的關(guān)系 ．函數(shù)與反函數(shù)圖象間的關(guān)系 函數(shù) y=f(x)和它的反函數(shù) y=f-1(x)的圖象關(guān)于 y=x 對稱．若點(diǎn)(a,b)在 y=f(x)的圖象上，那么點(diǎn)(b,a)在它的反函數(shù) y=f-1(

4、x)的圖象上． 4．反函數(shù)的幾個(gè)簡單命題 ．反函數(shù)的幾個(gè)簡單命題 （1）一個(gè)奇函數(shù) y=f(x)如果存在反函數(shù)，那么它的反函數(shù) y=f-1(x)一定是奇函數(shù)． （2）一個(gè)函數(shù)在某一區(qū)間是（減）函數(shù)，并且存在反函數(shù)，那么它的反函 數(shù)在相應(yīng)區(qū)間也是增（減）函數(shù)． 反函數(shù)的定義 反函數(shù)的定義 設(shè)函數(shù) y=f(x)的定義域是 A，值域是 C．我們從式子 y=f(x)中解出 x 得到 式子 x=φ(y)．如果對于 y 在 C 中的任何一個(gè)值，通

5、過式子 x=φ(y)，x 在 A 中都有唯一的值和它對應(yīng)，那么式子 x=φ(y)叫函數(shù) y=f(x)的反函數(shù)，記作 x=f-1(y)，習(xí)慣表示為 y=f-1(x)．注意：函數(shù) y=f(x)的定義域和值域，分別是反函數(shù) y=f-1(x)的值域和定義域，例如：f(x)= 的定義域是[-1，+∞]，值域是[0，+∞），它的反函數(shù)f-1(x)=x2-1, x≥0，定義域?yàn)閇0，+∞），值域是[-1，+∞)。 2．反函數(shù)存在的條件 ．反函數(shù)存在的

6、條件 按照函數(shù)定義，y=f(x)定義域中的每一個(gè)元素 x，都唯一地對應(yīng)著值域中的元素 y，如果值域中的每一個(gè)元素 y 也有定義域中的唯一的一個(gè)元素 x 和它相對應(yīng)，即定義域中的元素 x 和值域中的元素 y，通過對應(yīng)法則 y=f(x)存在著一一對應(yīng)關(guān)系，那么函數(shù) y=f(x)存在反函數(shù)，否則不存在反函數(shù)．例如：函數(shù) y=x2,x∈R，定義域中的元素±1，都對應(yīng)著值域中的同一個(gè)元素 1，所以，沒有反函數(shù)．而 y=x2, x≥1 表

7、示定義域到值域的一一對應(yīng)，因而存在反函數(shù)． 3．函數(shù)與反函數(shù)圖象間的關(guān)系 ．函數(shù)與反函數(shù)圖象間的關(guān)系 函數(shù) y=f(x)和它的反函數(shù) y=f-1(x)的圖象關(guān)于 y=x 對稱．若點(diǎn)(a,b)在 y=f(x)的圖象上，那么點(diǎn)(b,a)在它的反函數(shù) y=f-1(x)的圖象上． 4．反函數(shù)的幾個(gè)簡單命題 ．反函數(shù)的幾個(gè)簡單命題 （1）一個(gè)奇函數(shù) y=f(x)如果存在反函數(shù)，那么它的反函數(shù) y=f-1(x)一定是奇函數(shù)． （2）一個(gè)函數(shù)在某一