《高等代數(shù)行列式》ppt課件

1、第三章 行列式,3.1 線性方程組和行列式,3.2 排列,3.3 n階行列式,3.4 子式和代數(shù)余子式 行列式依行(列)展開,3.5 克拉默法則,課外學(xué)習(xí)6：行列式計(jì)算方法課外學(xué)習(xí)7：q_行列式及其性質(zhì),能夠作出數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的人，是具有感受數(shù)學(xué)中的秩序、和諧、對(duì)稱、整齊和神秘美等能力的人，而且只限于這種人。――龐加萊(Poincare，1854－1921)一個(gè)數(shù)學(xué)家，如果他不在某種程度上成為一個(gè)詩人，那么他就永遠(yuǎn)不可能成為一個(gè)

2、完美的數(shù)學(xué)家。－－外爾斯特拉斯（Weierstrass，1815－1897）,3.1 線性方程組和行列式,一、內(nèi)容分布 3.1.1 二階、三階行列式的計(jì)算(對(duì)角線法則)3.1.2 行列式在線性方程組中的應(yīng)用二、教學(xué)目的：1.了解二階、三階行列式的定義?！?.會(huì)利用對(duì)角線法則計(jì)算二階、三階行列式。三、重點(diǎn)難點(diǎn)：利用對(duì)角線法則計(jì)算二階、三階行列式,3.1.1 二階、三階行列式的計(jì)算(對(duì)角線法則),二階行列式,我們

3、用記號(hào),,,表示代數(shù)和,稱為二階行列式, 即,,,,,,三階行列式,我們用記號(hào),,表示代數(shù)和,,稱為三階行列式, 即,,,,主對(duì)角線法,‘—’三元素乘積取“+”號(hào)； ‘—’三元素乘積取“-”號(hào).,3.1.2 行列式在線性方程組中的應(yīng)用,,(1) 如果含有兩個(gè)未知量?jī)蓚€(gè)方程的線性方程組(1),,它的系數(shù)作成的二階行列式,,那么方程組(1)有解,,,(2) 如果含有三個(gè)未知量三個(gè)方程的線性方程組(2),,他的系數(shù)作成的三階行列式,,

4、那么方程組(2)有解,,這里,,我們的目的是要把二階和三階行列式推廣到n階行列式,然后利用這一工具來解答含有n個(gè)未知量n個(gè)方程的線性方程組.,例題選講,,解:由階行列式的定義有:,,3.2 排列,一、內(nèi)容分布 3.2.1 排列、反序與對(duì)換 3.2.2 奇、偶排列的定義及性質(zhì)二、教學(xué)目的 了解排列、反序、對(duì)換的定義三、重點(diǎn)難點(diǎn) 求反序數(shù),3.2.1 排列、反序與對(duì)換,,例如: 1234，2314都

5、是四個(gè)數(shù)碼的排列。,n個(gè)數(shù)碼的不同排列共有n！個(gè),例如：1，2，3這三個(gè)數(shù)碼的全體不同的排列一共有3！= 6個(gè)，它們是：123，132，231，213，312，321。,定義2 在一個(gè)排列里，如果某一個(gè)較大的數(shù)碼排在某一個(gè)較小的數(shù)碼前面，就說這兩個(gè)數(shù)碼構(gòu)成一個(gè)反序。,,,,,,,,一個(gè)排列的反序數(shù)可能是偶數(shù)也可能是奇數(shù)。有偶數(shù)個(gè)反序的排列叫做一個(gè)偶排列；有奇數(shù)個(gè)反序的排列叫做奇排列。,3.2.2 奇、偶排列的定義及性質(zhì),定義3

6、 看n個(gè)數(shù)碼的一個(gè)排列，如果把這個(gè)排列里的任意兩個(gè)數(shù)碼i與j交換一下，而其余數(shù)碼保持不動(dòng)，那么就得到一個(gè)新的排列，對(duì)于排列所施行的這樣一個(gè)變換叫做一個(gè)對(duì)換，并且用符號(hào)（i，j）來表示。,,,,,,,定理3.2.2 任意一個(gè)排列經(jīng)過一個(gè)對(duì)換后的奇偶性改變.,,,,證明: 我們首先看一個(gè)特殊的情形，就是被對(duì) 換的兩個(gè)數(shù)碼是相鄰的。設(shè)給定的排列為,A B,,,,A B,,,,（1）,,,,,（2）

7、,,,,但（2）正是對(duì)（1）施行 對(duì)換而得到的排列。因此，對(duì)（1）施行對(duì)換 相當(dāng)于連續(xù)施行2s+1次相鄰數(shù)碼的對(duì)換。由1。，每經(jīng)過一次相鄰兩數(shù)碼的對(duì)換，排列都改變奇偶性。由于2s+1是一個(gè)奇數(shù)，所以（1）與（2）的奇偶性相反。,,,,證明：設(shè)n個(gè)數(shù)碼的奇排列共有p個(gè)，而偶排列共有q個(gè)，對(duì)這p個(gè)奇排列施行同一個(gè)對(duì)換,那么由定理3.2.2,我們得到p 個(gè)偶排列.由于對(duì)這p個(gè)偶排列各不相等.又可以得到原來的p個(gè)奇排列,所以這p個(gè)

8、偶排列各不相等.但我們一共只有q個(gè)偶排列,所以,例題選講,3.3 n階行列式,一、 內(nèi)容分布3.3.1 n階行列式的定義3.3.2 行列式的性質(zhì)二、教學(xué)目的：1.掌握和理解n階行列式的定義。　2.會(huì)利用定義計(jì)算一些特殊的行列式。3.掌握和理解行列式的性質(zhì)?！?.熟練掌握利用性質(zhì)計(jì)算及證明行列式的技巧。三、重點(diǎn)難點(diǎn)：利用定義計(jì)算行列式 利用性質(zhì)熟練計(jì)算及證明行列式,3.3.1 n階行列式的定義,,,稱為n階行列式,其

9、中：橫排列稱為行，縱排列稱為列.,,(1),考察位于(1)的不同的行與不同的列上的n個(gè)元素的乘積.這種乘積可以寫成下面的形式:,(2),定義2 用符號(hào),,,表示的n階行列式指的是n!項(xiàng)的代數(shù)和,這些項(xiàng)是一切可能的取自(1)的不同的行與不同的列上的n個(gè)元素的乘積,,,,,例1 我們看一個(gè)四階行列式,,根據(jù)定義,D是一個(gè)4! = 24項(xiàng)的代數(shù)和。然而在這個(gè)行列式里，除了acfh,adeh,bdeg,bcfg這四項(xiàng)外，其余的項(xiàng)都至少含有一

10、個(gè)因子0，因而等于0，與上面四項(xiàng)對(duì)應(yīng)的排列依次是1234,1324,4321,4231.其中第一個(gè)和第三個(gè)是偶排列,第二個(gè)和第四個(gè)是奇排列.因此,,轉(zhuǎn)置,一個(gè)n階行列式,,如果把D的行變?yōu)榱?就得到一個(gè)新的行列式,,,叫D的轉(zhuǎn)置行列式。,,,（3）,,這n個(gè)數(shù)碼的排列。那么這一項(xiàng)在行列式中的符號(hào)是,,,,,,,,,,,,,,,3.3.2 行列式的性質(zhì),命題3.3.2 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即,命題3.3.3 交換一個(gè)行

11、列式的兩行（或兩列），行列式改變符號(hào)。,,證 設(shè)給定行列式,,交換D的第i行與第j行得,,（旁邊的i和j表示行的序數(shù)）,,,D的每一項(xiàng)可以寫成,,（5）,因?yàn)檫@一項(xiàng)的元素位于 的不同的行與不同的列，所以它也是 的一項(xiàng)，反過來， 的每一項(xiàng)也是D的一項(xiàng)，并且D的不同項(xiàng)對(duì)應(yīng)著 的不同項(xiàng)，因此D與 含有相同的項(xiàng)。,,交換行列式兩列的情形，可以利用命題3.3.2歸結(jié)到交換兩行的情形。,,由命題3.3.2推知，凡是行列

12、式的對(duì)于行成立的性質(zhì)對(duì)于列也成立，反過來也是如此。,推論3.3.4 如果一個(gè)行列式有兩行（列）完全相同，那么這個(gè)行列式等于零。,,,證 設(shè)行列式D的第i行與第j行(i≠j)相同，由命題3.3.3，交換這兩行后，行列式改變符號(hào)，所以新的行列式等于－D，但另一方面，交換相同的兩行，行列式并沒有改變由此得D=－D或2D=0，所以D=0。,命題3.3.5 用數(shù)k乘行列式的某一行（列），等于以數(shù)k 乘此行列式。即如果設(shè)，則,,,,,D的每一

13、項(xiàng)可以寫作,,（6）,中對(duì)應(yīng)的項(xiàng)可以寫作,（7）,（6）在D中的符號(hào)與（7）在 中的符號(hào)都是,,,因此，,推論3.3.6 如果行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外邊。,推論3.3.7 如果行列式的某一行（列）的元素全部是零，那么這個(gè)行列式等于零。,推論3.3.8 如果行列式有兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素成比例，則行列式的值等于零。,,證 設(shè)行列式D的第i行與第j行的對(duì)應(yīng)元素成比例，那么這兩行的對(duì)應(yīng)元

14、素只差一個(gè)因子k，即,,,因此,,,由推論3.3.6，可以把公因子 k提到行列式符號(hào)的外邊，于是得到一個(gè)有兩行完全相同的行列式；由推論3.3.4，這個(gè)行列式等于零。,命題3.3.9 如果將行列式中的某一行（列）的每 一個(gè)元素都寫成兩個(gè)數(shù)的和，則此行列式可以寫 成 兩個(gè)行列式的和，這兩個(gè)行列式分別以這兩個(gè)數(shù)為所在行（列）對(duì)應(yīng)位置的元素，其它位置的元素與原行列式相同。即如果,,,,,,則,。,,,,,,,行列式,,,,,因此,,推論 如

15、果將行列式的某一行（列）的每個(gè)元素都寫成m 個(gè)數(shù)（m 為大于2的整數(shù)）的和，則此行列式可以寫成m 個(gè)行列式的和。,命題3.3.10 將行列式的某一行（列）的所有元素同乘以數(shù)k 后加于另一行（列）對(duì)應(yīng)位置的元素上，行列式的值不變。,證 設(shè)給定行列式,,把D的第j行的元素乘以同一個(gè)數(shù)k后,加到第i行的對(duì)應(yīng)元素上,我們得到行列式:,的第i行與第j列成比例；,,,由命題3.3.9，,,此處,,,所以,由推論3.3.8，,,例2 計(jì)算行列

16、式,,解： 根據(jù)例題3.3.10,從D的第二列和第三列的元素減去第一列的對(duì)應(yīng)元素(即把D的第一列的元素同乘以－１后,加到第二列和第三列的對(duì)應(yīng)元素上),得,,這個(gè)行列式有兩列成比例,所以根據(jù)推論3.3.8,D=0.,例3 計(jì)算n階行列式,,解: 我們看到,D的每一列的元素的和都是n－１．把第二，第三，…，第n行都加到第一行上，得,,根據(jù)推論３.３.６,提出第一行的公因子n－１,得,,由第二,第三,…,第n行減去第一行,得,,,由行列式

17、定義,易見后一行列式等于對(duì)角線上元素的乘積,,所以,,練習(xí)選講：,,,,,,,,3.4 子式和代數(shù)余子式 行列式依行(列)展開,一、內(nèi)容分布 3.4.1子式和代數(shù)余子式3.4.2行列式的依行依列展開定理3.4.3拉普拉斯定理二、教學(xué)目的：1.掌握和理解子式和代數(shù)余子式的定義2.熟練掌握利用行列式的依行依列展開定理計(jì)算及證明行列式的技巧。三、重點(diǎn)難點(diǎn)：利用行列式的依行依列展開定理熟練計(jì)算及證明行列式,3.4.1．余子式與代

18、數(shù)余子式,定義1 在一個(gè)n階行列式D中任意取定k行和k列. 位于這些行列相交處的元素所構(gòu)成的k階行列式叫做行列式D的一個(gè)k階子式.,例1 在四階行列式,,中,取定第二行和第三行,第一列和第四列.那么位于這些行列的相交處的元素就構(gòu)成D的一個(gè)二階子式,,定義2 n (n>1)階行列式,,,,,例2 例1的四階行列式的元素 的余子式是,,,,,,,,,例3 例1中的四階行列式D的元素 的代數(shù)余子式,

19、,定理3.4.1 若在一個(gè)n階行列式,,,,,中,第i行(或第j列)的元素除 外都是零,那么這個(gè)行列式等于 與它的代數(shù)余子式 的乘積:,,證 我們只對(duì)行來證明這個(gè)定理,,1) 先假定D和第一行的元素除 外都是0，這時(shí),,,我們要證明：,也就是說：,,,子式 的每一項(xiàng)都可以寫作,,（1）,,,,,,,,,,,,,,2) 現(xiàn)在我們來看一般的情形，設(shè),,我們變動(dòng)行列式D的行列，使

20、 位于第一行 與第一列，并且保持 的余子式不變。 為了達(dá)到這一目的，我們把D的第i行依次與第 i－1， i－2，…，2，1行交換，這樣，一共經(jīng)過了 i－1次交換兩行的步驟，我們就把D的第i行換到第一行的位置。然后再把第j列依次與第j－1，j－2，…，2，1列交換，一共經(jīng)過了j－1次交換兩列的步驟， 就被交換到第一行與第一列的位置上，這時(shí)，D變?yōu)橄旅嫘问降男辛惺剑?,,是由D經(jīng)過（i－1）+(

21、j－1)次換行換列的步驟而得到的。由命題3.3.3，交換行列式的兩行或兩列，行列式改變符號(hào)，因此,,這樣，定理得到證明。,3.4.2行列式的依行依列展開,,定理3.4.2 n階行列式 等于它的任意一行(列)的各元素與其對(duì)應(yīng)代數(shù)余子式乘積的和, 即,,,證 我們只對(duì)行來證明，即證明（3），先把行列式D寫成以下形式：,,也就是說，把D的第i行的每一元素寫成n項(xiàng)的和。根據(jù)命題3.3.9，D等于n個(gè)行列式的和：,,

22、在這n個(gè)行列式的每一個(gè)中，除了第i行外，其余的行都與D的相應(yīng)行相同。因此，每一行列式的第i行的元素的代數(shù)余子式與D的第i行的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式相同。這樣，由定理3.4.1，,,,定理3.4.3 n階行列式 的某一行(列)的元素與另一行(列)對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積的和等于零, 即,,,（5）,（6）,證 我們只證明等式（5）?？葱辛惺?,,的第i行與第j行完全相同，所以 =0。另一方面，

23、 與D僅有第j行不同，因此 的第j行的元素的代數(shù)余子式與D的第j行的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式相同, 把 依第j行展開，得,,,因而,,例4 計(jì)算四階行列式,,在這個(gè)行列式里，第三行已有一個(gè)元素是零，由第一列減去第三列的二倍，再把第三列加到第四列上，得：,,根據(jù)定理3.4.1,,把所得的三階行列式的第一行加到第二行，得：,,所以 D = 40,例5 計(jì)算n階行列式,,按第一行展開，得：,,,,,,,,,,但

24、 ,所以,由最后一行開始，每一行減去它的相鄰的前一行乘以 ，得,例6 計(jì)算四階行列式,,這個(gè)行列式叫做一個(gè)n階范德蒙德(Vandermonde)行列式.,,,由定理3.4.1,,提取每列的公因子后，得,,,最后的因子是一個(gè)n-1階的范德蒙德行列式。我們用 代表它：,,同樣得,,,此處 是一個(gè)n-2階的范德蒙德行列式。如此繼續(xù)下去，最后得,,練習(xí)題：,,

25、,,,,,,3.5 克拉默法則,一、內(nèi)容分布 3.5.1齊次與非齊次線性方程組的概念3.5.2克萊姆法則 3.5.3齊次線性方程組解的定理二、教學(xué)目的：1.掌握和理解齊次與非齊次線性方程組的概念?！?.熟練掌握克萊姆法則。3熟練掌握齊次線性方程組解的定理三、重點(diǎn)難點(diǎn)：利用克萊姆法則求線性方程組的解及證明一些相關(guān)問題。,3.5.1.齊次與非齊次線性方程組的概念,含有n 個(gè)方程的n 元線性方程組的一般形式

26、為,,（1.9）,,它的系數(shù) 構(gòu)成的行列式,,（1.10）,稱為方程組（1.9）的系數(shù)行列式。,如果線性方程組（1.9）的常數(shù)項(xiàng)為零，即,,稱為齊次線性方程組。,3.5.2．克萊姆法則,,定理3.5.1 (克萊姆法則) 線性方程組(1.9)當(dāng)其系數(shù)行列式 時(shí),有且僅有唯一解,,,,此處 是將系數(shù)行列式中第j列的元素對(duì)應(yīng)地?fù)Q為方程組的常數(shù)項(xiàng)

27、 后得到的n 階行列式.,,,,,證 時(shí)是顯然的.設(shè) .令是整數(shù)1，2，…，中的任意一個(gè).分別以 乘方程組（1）的第一，第二，…，第個(gè) 方程，然后相加，得,,,,,,,,,,,,由定理3.4.2和3.4.3， 的系數(shù)等于D而 的系數(shù)都是零；因此等式左端等于 ，而等式右端剛好是 階行列式,,這樣

28、，我們得到,,,令 我們得到方程組,,（3）,,,,方程組（1）的每一解都是方程組（3）的解.事實(shí)上，設(shè) 是方程組（1）的一個(gè)解。那么在（1）中把 代以 ，就得到一組等式。對(duì)于這一組等式施以由方程組（1）到方程組（3）的變換，顯然得到下面的一組等式：,,,這就是說，

29、 也是方程組（3）的一解。,,,當(dāng) 時(shí)，方程組（3）有唯一解，就是（2）。因此方程組（1）也最多有這一個(gè)解。 我們證明（2）是（1）的解。為此，把（2）代入方程組（1），那么（1）的第 個(gè)方程的左端變?yōu)?,而,,計(jì)算出來，我們得到,,,,,,,這里我們應(yīng)用了定理3.4.2和3.4.3。這就是說， （2）是方程組（1）得解。,,因此，當(dāng) 時(shí)，方