《二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖象和性質(zhì)(1)》名師課件

1、,,名 師 課 件,22.1.4 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì),第一課時(shí),（1）二次函數(shù) 的圖象性質(zhì)：,向上,當(dāng) 時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng) 時(shí)，y隨x的增大而增大,當(dāng) 時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng) 時(shí)，y隨x的增大而減小,向下,當(dāng) 時(shí)，,當(dāng)

2、 時(shí)，,（2）拋物線的平移規(guī)律：,（h）左加右減，(k)上加下減,活動(dòng)1,探究一：從舊知識(shí)過(guò)渡到新知識(shí),復(fù)習(xí)配方,填空：（1）x2 + 4x+ 9=（x+ ）2+ ； （2）x2 - 5x+ 8=（x- ）2+ .,2,5,總結(jié)規(guī)律：,當(dāng)二次項(xiàng)的系數(shù)為1時(shí)，常數(shù)項(xiàng)須配一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．,活動(dòng)2,探究

3、一：從舊知識(shí)過(guò)渡到新知識(shí),以舊引新,1.二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k的圖象，可以由函數(shù)y＝ax2的圖象先向________平移____個(gè)單位，再向________平移____個(gè)單位得到．,2．二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k的圖象的開口方向 ，對(duì)稱軸是_______，頂點(diǎn)坐標(biāo)是________．,3．二次函數(shù)

4、 ，你能很容易地說(shuō)出它的圖象的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，并畫出圖象嗎？,左或右,|h|,上或下,|k|,a＞0，向上；a<0，向下,x=h,(h，k),活動(dòng)1,探究二：用配方法求拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸,合作探究,重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲,例1 畫函數(shù) 的圖象，并指出它的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．,分

5、析：首先要用配方法將函數(shù)寫成y＝a(x－h(huán))2＋k的形式；然后，確定函數(shù)圖象的開口方向、對(duì)稱軸與頂點(diǎn)坐標(biāo)；接下來(lái)，利用函數(shù)的對(duì)稱性列表、描點(diǎn)、連線．,活動(dòng)1,探究二：用配方法求拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸,重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲,解：,所以它的開口向上，對(duì)稱軸是x=6， 頂點(diǎn)坐標(biāo)是（6，3）.,同學(xué)們自己畫圖！,歸納：一般式化為頂點(diǎn)式的思路：,(1)二次項(xiàng)系數(shù)化為1；(2)加、減一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；(3)寫成平方的

6、形式．,例1 畫函數(shù) 的圖象，并指出它的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．,合作探究,活動(dòng)2,探究二：用配方法求拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸,小組討論,重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲,如果每次都采取“配方”，豈不是很麻煩？有更好的辦法嗎？,例2 求二次函數(shù)y=ax²+bx+c的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．,解：把二次函數(shù)y=ax²+bx+c的右邊配方，得,活動(dòng)2,

7、探究二：用配方法求拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸,重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲,點(diǎn)撥：,1.運(yùn)用配方法，可以將二次函數(shù)表達(dá)式的兩種形式y(tǒng)=ax2+bx+c與y＝a(x－h(huán))2＋k相互轉(zhuǎn)化.,將二次函數(shù)y=ax2+bx+c（一般式）轉(zhuǎn)化為y＝a(x－h(huán))2＋k（頂點(diǎn)式）的形式，,即：,則：,2.在二次函數(shù)y=ax2+bx+c與二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k中，,小組討論,活動(dòng),重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲,探究三：二次函數(shù)的圖象及性質(zhì),師生共研

8、，探究性質(zhì),畫出函數(shù) 的圖象，并試著說(shuō)出它的性質(zhì)．,解：,列表：,描點(diǎn)、連線：,活動(dòng),重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲,探究三：二次函數(shù)的圖象及性質(zhì),觀察圖象知：開口向上，對(duì)稱軸是x＝4，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(4，2)．當(dāng)x>4時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x<4時(shí)，y隨x的增大而減?。?dāng)x＝4時(shí)，函數(shù)y取最小值2.,師生共研，探究性質(zhì),畫出函數(shù)

9、 的圖象，并試著說(shuō)出它的性質(zhì)．,重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲,探究三：二次函數(shù)的圖象及性質(zhì),思考、討論下列問(wèn)題：,1.對(duì)于任意一個(gè)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，如何確定它的圖象的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)？你能把結(jié)果寫出來(lái)嗎？2.觀察二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象，在對(duì)稱軸的左右兩側(cè)，y隨x的增大有什么變化規(guī)律？3.函數(shù)的最大值或最小值與函數(shù)圖象的開口方向有什么關(guān)系？這個(gè)值與函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)有什么關(guān)系？

10、4.你能歸納總結(jié)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象和性質(zhì)嗎？,活動(dòng),師生共研，探究性質(zhì),重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲,探究三：二次函數(shù)的圖象及性質(zhì),二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a,b,c是常數(shù)，a≠0）的圖象與性質(zhì)：,a＞0,(1)當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開口向上，并且向上無(wú)限延伸.,(2)對(duì)稱軸是直線,頂點(diǎn)坐標(biāo)為,(3)在對(duì)稱軸的左側(cè)，即相當(dāng)于 時(shí)，y隨x的增大而減小；,在對(duì)稱軸的右側(cè)，即相當(dāng)于

11、 時(shí)，y隨x的增大而增大；,簡(jiǎn)記為“左減右增”.,(4)拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng) 時(shí)，y有最小值，y最小值=,活動(dòng),師生共研，探究性質(zhì),重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲,探究三：二次函數(shù)的圖象及性質(zhì),二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a,b,c是常數(shù)，a≠0）的圖象與性質(zhì)：,a<0,(1)當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口向下，并且向下無(wú)限延伸.,(2)對(duì)稱軸是直線,頂點(diǎn)坐標(biāo)為,(3)在對(duì)稱軸的左側(cè)，即相當(dāng)于

12、 時(shí)，y隨x的增大而增大；,在對(duì)稱軸的右側(cè)，即相當(dāng)于 時(shí)，y隨x的增大而減??；,簡(jiǎn)記為“左增右減”.,(4)拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng) 時(shí)，y有最大值，y最大值=,活動(dòng),師生共研，探究性質(zhì),探究四：二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)的應(yīng)用,活動(dòng)1,基礎(chǔ)型例題,例1 把下面的二次函數(shù)的一般式化成頂點(diǎn)式：,【解題過(guò)程】,解法一：用配方法：,探究四：二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)的應(yīng)用,活動(dòng)1,

13、【思路點(diǎn)撥】一般式化為頂點(diǎn)式有兩種方法，一種是配方法，另一種是代入公式法．,例1 把下面的二次函數(shù)的一般式化成頂點(diǎn)式：,基礎(chǔ)型例題,【解題過(guò)程】,解法二：用公式法：,探究四：二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)的應(yīng)用,活動(dòng)1,基礎(chǔ)型例題,練習(xí)：若二次函數(shù)y＝x2＋bx＋5配方后為y＝(x－2)2＋k，則b，k的值分別為( )A.0，5 B.0，1 C.－4，5 D.－4，1,解：∵y＝(x－2)

14、2＋k=x2-4x+4+k，∴b=-4，4+k=5，∴k=1,故選D.,D,探究四：二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)的應(yīng)用,活動(dòng)1,基礎(chǔ)型例題,例2 已知：拋物線,（1）直接寫出拋物線的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）當(dāng)x為何值時(shí)，y隨x的增大而增大？,【解題過(guò)程】,解：(1)開口向上，對(duì)稱軸為直線x＝1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－8)．,所以與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，0)，(3，0)．,令x＝0

15、，得y＝－6，所以與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－6)．,(3)當(dāng)x≥1時(shí)，y隨x的增大而增大．,探究四：二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)的應(yīng)用,活動(dòng)1,基礎(chǔ)型例題,練習(xí)：若點(diǎn)A（2，y1）、B（3，y2）是二次函數(shù)y=x2－2x＋1的圖象上兩點(diǎn)，則y1與y2的大小關(guān)系為y1　 　y2（填“＞”、“＜”、“=”）．,【解題過(guò)程】,解：∵二次函數(shù)y=x2﹣2x+1的圖象的對(duì)稱軸是x=1，在對(duì)稱軸的右側(cè)y隨x的增大而增大，,∵點(diǎn)A（2，y1）、B（3，y2

16、）是二次函數(shù)y=x2﹣2x+1的圖象上兩點(diǎn)， 1＜2＜3，,∴y1＜y2.,＜,【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知條件求出二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸，再根據(jù)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)的大小即可判斷出y1與y2的大小關(guān)系.,探究四：二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)的應(yīng)用,活動(dòng)2,提升型例題,例3 已知 那么函數(shù)y=﹣2x2+8x﹣6的最大值是（?。?﹣10.5 B.2 C.﹣2.5 D.﹣6,【解題過(guò)程】,解：∵y

17、=﹣2x2+8x﹣6=﹣2（x﹣2）2+2．,∴該拋物線的對(duì)稱軸是x=2，且在x＜2上y隨x的增大而增大．,又∵,∴當(dāng) 時(shí)，y取最大值，,C,【思路點(diǎn)撥】確定一個(gè)二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實(shí)數(shù)時(shí)，其最值為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)；當(dāng)自變量取某個(gè)范圍時(shí)，要分別求出頂點(diǎn)和函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．,探究四：二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)的應(yīng)用,活動(dòng)2,提升型例題,從上表可知，下列

18、說(shuō)法中正確的是 　 ．（填寫序號(hào)）,【思路點(diǎn)撥】題中給出表格，可根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求出函數(shù)解析式，再據(jù)此即可作出判斷；也可根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，拋物線的對(duì)稱性，以及二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，進(jìn)行判斷。,練習(xí)：拋物線 上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表：,探究四：二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)的應(yīng)用,活動(dòng)2,提升型例題,【解題過(guò)程】,解法一：略.（請(qǐng)同學(xué)們自己完成）,解法二：,∵拋物線

19、與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（-2，0），∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（3,0），①選項(xiàng)正確；,觀察表格知，在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x增大而增大，④選項(xiàng)正確.,故正確的是①③④.,探究四：二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)的應(yīng)用,活動(dòng)2,提升型例題,例4 將拋物線y=ax²+bx+c向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線y＝x² +2x+3，求a，b，c的值．,【解題過(guò)程】,解：∵y＝x² +2x+3=（x+1）&#

20、178;+2，,∴把拋物線y＝（x+1）²+2向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，,得到拋物線y＝（x+4）²+4，,∴ax²+bx+c ＝（x+4）²+4= x²+8x+20，,∴a＝1，b＝8，c＝20.,【思路點(diǎn)撥】此題應(yīng)用了逆向思維．由拋物線y=ax²+bx+c變到拋物線y＝x² +2x+3，不易求a，b，c的值；但反過(guò)來(lái)由拋物線y＝x²

21、+2x+3平移成拋物線y=ax²+bx+c就可輕松求解．,探究四：二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)的應(yīng)用,活動(dòng)2,提升型例題,練習(xí)：將拋物線 向左平移3個(gè)單位，再向上平移5個(gè)單位，得到拋物線的表達(dá)式為（ ）,A． B．C．

22、 D．,【思路點(diǎn)撥】先將一般式化為頂點(diǎn)式，根據(jù)左加右減，上加下減來(lái)平移.,D,探究四：二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)的應(yīng)用,活動(dòng)3,探究型例題,例5 如圖所示，二次函數(shù)y=－x2+2x+m的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（3，0），另一個(gè)交點(diǎn)為B，且與y軸交于點(diǎn)C．,（1）求m的值；,【解題過(guò)程】,解：（1）將（3，0）代入二次函數(shù)解析式，得－32+2×3+m=0．解得，m=3．,探究四：二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)的應(yīng)用,活動(dòng)

23、3,（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；,解：（2）二次函數(shù)解析式為y=－x2+2x+3，令y=0，得－x2+2x+3=0．解得x=3或x=－1．∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（－1，0）．,探究型例題,例5 如圖所示，二次函數(shù)y=－x2+2x+m的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（3，0），另一個(gè)交點(diǎn)為B，且與y軸交于點(diǎn)C．,【解題過(guò)程】,探究四：二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)的應(yīng)用,活動(dòng)3,【思路點(diǎn)撥】解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，底相同且面積相等的兩個(gè)三角形高

24、相等。,探究型例題,例5 如圖所示，二次函數(shù)y=－x2+2x+m的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（3，0），另一個(gè)交點(diǎn)為B，且與y軸交于點(diǎn)C．,【解題過(guò)程】,（3）該二次函數(shù)圖象上有一點(diǎn)D（x，y）（其中x＞0，y＞0），使 求點(diǎn)D的坐標(biāo)．,解：（3）∵ 點(diǎn)D在第一象限，∴點(diǎn)C、D關(guān)于二次函數(shù)對(duì)稱軸對(duì)稱．∵由二次函數(shù)解析式可得其對(duì)稱軸為

25、x=1，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，3）．,探究四：二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)的應(yīng)用,活動(dòng)3,探究型例題,練習(xí)：兩條鋼纜具有相同的拋物線形狀.按照?qǐng)D中的直角坐標(biāo)系,左面的一條拋物線可以用 表示,而且左右兩條拋物線關(guān)于y 軸對(duì)稱．,⑴鋼纜的最低點(diǎn)到橋面的距離是多少？,【解題過(guò)程】,解：（1）,因此鋼纜的最低點(diǎn)到橋面的距離是1m.,探究四：二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)的應(yīng)

26、用,活動(dòng)3,【解題過(guò)程】,解：（2）,⑵兩條鋼纜最低點(diǎn)之間的距離是多少？,探究型例題,練習(xí)：兩條鋼纜具有相同的拋物線形狀.按照?qǐng)D中的直角坐標(biāo)系,左面的一條拋物線可以用 表示,而且左右兩條拋物線關(guān)于y 軸對(duì)稱．,探究四：二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)的應(yīng)用,活動(dòng)3,⑴鋼纜的最低點(diǎn)到橋面的距離是多少？⑵兩條鋼纜最低點(diǎn)之間的距離是多少？,【思路點(diǎn)撥】（1）將二次函數(shù)解析式配方,求得頂

27、點(diǎn)坐標(biāo),從而獲得鋼纜的最低點(diǎn)到橋面的距離;（2）由左右兩條拋物線關(guān)于y 軸對(duì)稱，得出另一條拋物線解析式，可知它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得兩條鋼纜最低點(diǎn)之間的距離。,探究型例題,練習(xí)：兩條鋼纜具有相同的拋物線形狀.按照?qǐng)D中的直角坐標(biāo)系,左面的一條拋物線可以用 表示,而且左右兩條拋物線關(guān)于y 軸對(duì)稱．,知識(shí)梳理,歸納二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a,b,c是常數(shù)，a≠0）的圖象

28、與性質(zhì)：,a＞0,(1)當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開口向上，并且向上無(wú)限延伸.,(2)對(duì)稱軸是直線,頂點(diǎn)坐標(biāo)為,(3)在對(duì)稱軸的左側(cè)，即相當(dāng)于 時(shí)，y隨x的增大而減?。?在對(duì)稱軸的右側(cè)，即相當(dāng)于 時(shí)，y隨x的增大而增大；,簡(jiǎn)記為“左減右增”.,(4)拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng) 時(shí)，y有最小值，y最小值=,知識(shí)梳理,歸納二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a,b,c是常數(shù)，a

29、≠0）的圖象與性質(zhì)：,a<0,(1)當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口向下，并且向下無(wú)限延伸.,(2)對(duì)稱軸是直線,頂點(diǎn)坐標(biāo)為,(3)在對(duì)稱軸的左側(cè)，即相當(dāng)于 時(shí)，y隨x的增大而增大；,在對(duì)稱軸的右側(cè)，即相當(dāng)于 時(shí)，y隨x的增大而減??；,簡(jiǎn)記為“左增右減”.,(4)拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng) 時(shí)，y有最大值，y最大值=,重難點(diǎn)歸納,1.在畫函數(shù)圖象時(shí)，要在頂

30、點(diǎn)的兩邊對(duì)稱取點(diǎn)，畫出的拋物線才能準(zhǔn)確反映這個(gè)拋物線的特征.,2.拋物線y=ax2+bx+c是以直線 為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，有以下性質(zhì)：,(1)拋物線上關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等；拋物線上縱坐標(biāo)相等的兩點(diǎn)一定關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱.,(2)如果拋物線交x軸于兩點(diǎn)，那么這兩點(diǎn)一定關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱.,(3)若設(shè)拋物線上關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩點(diǎn)橫坐標(biāo)為x1，x2，則拋物線的對(duì)稱軸是直線,重難點(diǎn)歸納,3.直接運(yùn)用公式確定對(duì)稱軸和

31、頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，不能忽視a，b，c的值的符號(hào)。,4.一般式的二次函數(shù)圖象的平移法：對(duì)于一般式的圖象平移，是先將一般式化成頂點(diǎn)式，再利用“左加右減，上加下減”規(guī)則來(lái)求解．,特別提醒：對(duì)于一般式的圖象平移，一般式也可以不化成頂點(diǎn)式，只要熟記左加右減在所有的x上加減，上加下減在函數(shù)表達(dá)式的末尾加減即可．,重難點(diǎn)歸納,5.二次函數(shù) 的最大值和最小值可以通過(guò)以下幾種方法來(lái)解：,(1)配方法：,重

32、難點(diǎn)歸納,(2)公式法：,(3)圖象法：,作出二次函數(shù)的圖象，通過(guò)圖象可以直觀地觀察到圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，此時(shí)的函數(shù)值為函數(shù)的最大值和最小值.,注意：通過(guò)二次函數(shù)的最值解答實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要注意自變量x的取值范圍，要考慮實(shí)際問(wèn)題的需要，有時(shí) 的函數(shù)值不在函數(shù)的取值范圍內(nèi).,5.二次函數(shù) 的最大值和最小值可以通過(guò)以下幾種方法來(lái)解：,選擇“《二次函數(shù)y=ax2