希爾伯特23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題

1、希爾伯特希爾伯特2323個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題希爾伯特23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題——在1900年巴黎國(guó)際數(shù)學(xué)家代表大會(huì)上，希爾伯特發(fā)表了題為《數(shù)學(xué)問(wèn)題》的著名講演。他根據(jù)過(guò)去特別是十九世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的成果和發(fā)展趨勢(shì)，提出了23個(gè)最重要的數(shù)學(xué)問(wèn)題。這23個(gè)問(wèn)題通稱希爾伯特問(wèn)題，后來(lái)成為許多數(shù)學(xué)家力圖攻克的難關(guān)，對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的研究和發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，并起了積極的推動(dòng)作用，希爾伯特問(wèn)題中有些現(xiàn)已得到圓滿解決，有些至今仍未解決。他在講演中所闡發(fā)的想信每個(gè)數(shù)學(xué)

2、問(wèn)題都可以解決的信念，對(duì)于數(shù)學(xué)工作者是一種巨大的鼓舞。希爾伯特的23個(gè)問(wèn)題分屬四大塊：第1到第6問(wèn)題是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題；第7到第12問(wèn)題是數(shù)論問(wèn)題；第13到第18問(wèn)題屬于代數(shù)和幾何問(wèn)題；第19到第23問(wèn)題屬于數(shù)學(xué)分析。（1）康托的連續(xù)統(tǒng)基數(shù)問(wèn)題。1874年，康托猜測(cè)在可數(shù)集基數(shù)和實(shí)數(shù)集基數(shù)之間沒(méi)有別的基數(shù)，即著名的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。1938年，僑居美國(guó)的奧地利數(shù)理邏輯學(xué)家哥德?tīng)栕C明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與ZF集合論公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性。1963年，美國(guó)數(shù)學(xué)家科

3、思（P.Choen）證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與ZF公理彼此獨(dú)立。因而，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不能用ZF公理加以證明。在這個(gè)意義下，問(wèn)題已獲解決。（2）算術(shù)公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性。歐氏幾何的無(wú)矛盾性可以歸結(jié)為算術(shù)公理的無(wú)矛盾性。希爾伯特曾提出用形式主義計(jì)劃的證明論方法加以證明，哥德?tīng)?931年發(fā)表不完備性定理作出否定。根茨（G.Gentaen，19091945）1936年使用超限歸納法證明了算術(shù)公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性。（Siegel）1935年分別獨(dú)立地證明了其正確性

4、。但超越數(shù)理論還遠(yuǎn)未完成。目前，確定所給的數(shù)是否超越數(shù)，尚無(wú)統(tǒng)一的方法。（8）素?cái)?shù)分布問(wèn)題，尤其對(duì)黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孿生素共問(wèn)題。素?cái)?shù)是一個(gè)很古老的研究領(lǐng)域。希爾伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、哥德巴赫（Goldbach）猜想以及孿生素?cái)?shù)問(wèn)題。黎曼猜想至今未解決。哥德巴赫猜想和孿生素?cái)?shù)問(wèn)題目前也未最終解決，其最佳結(jié)果均屬中國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)。（9）一般互反律在任意數(shù)域中的證明。1921年由日本的高木貞治，1927年由德國(guó)的阿廷

5、（E.Artin）各自給以基本解決。而類域理論至今還在發(fā)展之中。（10）能否通過(guò)有限步驟來(lái)判定不定方程是否存在有理整數(shù)解？求出一個(gè)整數(shù)系數(shù)方程的整數(shù)根，稱為丟番圖（約210290，古希臘數(shù)學(xué)家）方程可解。1950年前后，美國(guó)數(shù)學(xué)家戴維斯（Davis）、普特南（Putnan）、羅賓遜（Robinson）等取得關(guān)鍵性突破。1970年，巴克爾（Baker）、費(fèi)羅斯（Philos）對(duì)含兩個(gè)未知數(shù)的方程取得肯定結(jié)論。1970年。蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家馬蒂塞維