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1、第一章一階微分方程的解法的小結(jié)⑴、可分離變量的方程:①、形如)()(ygxfdxdy?當(dāng)時(shí),得到,兩邊積分即可得到結(jié)果;0)(?ygdxxfygdy)()(?當(dāng)時(shí),則也是方程的解。0)(0??g0)(??xy例1.1、xydxdy?解:當(dāng)時(shí),有,兩邊積分得到0?yxdxydy?)(2ln2為常數(shù)CCxy??所以)(11212CxeCCeCy???為非零常數(shù)且顯然是原方程的解;0?y綜上所述,原方程的解為)(1212為常數(shù)CeCyx?②、
2、形如0)()()()(??dyyQxPdxyNxM當(dāng)時(shí),可有,兩邊積分可得結(jié)果;0)()(?yNxPdyyNyQdxxPxM)()()()(?當(dāng)時(shí),為原方程的解,當(dāng)時(shí),為原方程的解。0)(0?yN0yy?0(0?)xP0xx?例1.2、0)1()1(22????dyxydxyx解:當(dāng)時(shí),有兩邊積分得到0)1)(1(22???yxdxxxdyyy1122???,所以有;)0(ln1ln1ln22?????CCyx)0()1)(1(22??
3、??CCyx當(dāng)時(shí),也是原方程的解;0)1)(1(22???yx綜上所述,原方程的解為。)()1)(1(22為常數(shù)CCyx???⑵可化為變量可分離方程的方程:①、形如)(xygdxdy?解法:令,則,代入得到為變量可分離方程,得xyu?udxxdudy??)(ugudxdux??,令,有,代入得到,化uvuvvuvududv21222??????uvt?udttdudv??ttdudtut212????簡得到,,有)1(2)1(22221
4、222ttttddttttudu??????????,所以有,故代入得)(2)1ln(ln2為常數(shù)CCttu?????)(1121CeCttCu?????,到)0(31313131131121?????????????????????CxyxyCx(3)、一階線性微分方程:一般形式:)()()01xhyxadxdyxa??(標(biāo)準(zhǔn)形式:)()(xQyxPdxdy??解法:1、直接帶公式:))(()()()()()()(??????????
5、????CdxxQeedxxQeeCeydxxPdxxPdxxPdxxPdxxP2、積分因子法:,])()([)(1)(???CdxxQxxxy????dxxPex)()(?3、IVP:,)()(xQyxPdxdy??00)(yxy?????????????xxdssPdssPxxdssPdssPdtetQeyydtetQeytxtxxxxx000000)()(00)()()())((例3、1)1()1(?????nxxenydxdyx
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