實(shí)變函數(shù)證明題大全(期末復(fù)習(xí))

1、1、設(shè)有限的可測(cè)函數(shù)，證明：存在定義在上的一列連續(xù)函數(shù)()..ERfxEae?是上R，使得于E。nglim()()..nngxfxae???證明：因?yàn)樵谏峡蓽y(cè)，由魯津定理是，對(duì)任何正整數(shù)，存在的可測(cè)子集()fxEnEnE，使得，同時(shí)存在定義在上的連續(xù)函數(shù)，使得當(dāng)1()nmEEn??1R()ngxnxE?時(shí)，有所以對(duì)任意的，成立由此可得()()ngxfx?0??[||]nnEfgEE?????，因此即1[||]()nnmEfgnmEEn?

2、????lim[||]0nnmEfgn?????()()ngxfx?，由黎斯定理存在的子列，使得，于Engknglim()()knkgxfx???..ae2、設(shè)上的連續(xù)函數(shù)，為上的可測(cè)函數(shù)，則是可測(cè)函()()fx???是()gx[]ab(())fgx數(shù)。證明：記，由于在上連續(xù)，故對(duì)任意實(shí)數(shù)12()[]EEab??????()fx1E1[]cEfc?是直線上的開集，設(shè)，其中是其構(gòu)成區(qū)間（可能是有11[]()nnnEfc???????()n

3、n??限個(gè)，可能為可有為）因此n???n???因?yàn)樵谏峡?22211[()][]([][])nnnnnnEfgcEgEgEg??????????????????g2E測(cè)，因此都可測(cè)。故可測(cè)。22[][]nnEgEg????[()]Efgc?3、設(shè)是上的實(shí)值連續(xù)函數(shù)，則對(duì)于任意常數(shù)，是一()fx()????a|()Exfxa??開集，而總是一閉集。|()Exfxa??證明：若，因?yàn)槭沁B續(xù)的，所以存在，使任意00()xEfxa??則()fx

4、0??，()x????，即任意是0||()xxfxa????就有00U()U()xxxExEE?????就有所以開集若且，由于連續(xù)，nxE?0()()nnxxnfxa????則()fx，0()lim()nnfxfxa????即，因此E是閉集。0xE?又因?yàn)?，EAi?iiiABEB???所以對(duì)于任意，i)(1EBmEBminn?????）（?)(iiABm??)(iiABm??令→∝，由→0得所以是可測(cè)的又由于可i)(iiABm?01??

5、??）（EBmnn?EBnn???1?nB測(cè)，有也是可測(cè)的所以是可測(cè)的。nnB??1?)(11EBBEnnnn?????????7、設(shè)在上，而成立，，則有E????nfxfx?????nnfxgx?..ae12n??????ngxfx?設(shè)，則。??nnnEEfg??110nnnnmEmE??????????????所以0???1nnnnEfgEEff?????????????????????????1nnnnnmEfgmEmEffmEf

6、f?????????????????????????????????因?yàn)?，所????nfxfx?0limlim0nnnnmEfgmEff?????????????????即????ngxfx?8、證明：。()ABAB??????證明：因?yàn)?，，所以，，，從而AAB??BAB??()AAB????()BAB????()ABAB??????反之，對(duì)任意，即對(duì)任意，有()xAB???()Bx?為無限集，()()(())(())BxABBxAB