[學(xué)習(xí)]天津大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)多維隨機(jī)變量

1、第三章 多維隨機(jī)變量 及其概率分布,主要內(nèi)容：1、隨機(jī)向量與分布函數(shù)2、離散型隨機(jī)向量：聯(lián)合概率分布律，邊緣分布，條件分布，獨(dú)立性3、連續(xù)型隨機(jī)向量：聯(lián)合概率密度，邊緣概率密度，條件概率密度函數(shù)與獨(dú)立性4、隨機(jī)向量函數(shù)的分布,很多隨機(jī)現(xiàn)象需要用多個(gè)隨機(jī)變量來描述.,飛機(jī)的重心在空中的位置是由三個(gè)隨機(jī)變量(三個(gè)坐標(biāo))來確定的.,類似多元函數(shù)微積分, 從二維推廣到多維

2、無(wú)實(shí)質(zhì)性的困難，我們重點(diǎn)討論二維隨機(jī)變量 .,完全類似于上章中對(duì)一維隨機(jī)變量的研究, 我們將研究 多維隨機(jī)變量及其分布.,特有內(nèi)容: 變量之間的邊緣分布、條件分布、獨(dú)立性等,檢察某大學(xué)的全體學(xué)生的身體狀況,,,類比,,轉(zhuǎn)化,它是上一章內(nèi)容的推廣.,,,定義 我們稱 n 個(gè)定義在同一個(gè)樣本空間上的隨機(jī)變量的整體 X=(X1, X2 , …，Xn )為 n 維隨機(jī)變量 或 n 維隨機(jī)向量.,§1 二維隨機(jī)變量,

3、注意與一維情形的類比與對(duì)照,一、二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù),? 類似于一維隨機(jī)變量可視為直線(一維空間)上的隨機(jī)點(diǎn),二維隨機(jī)變量可視為平面上(二維空間)的隨機(jī)點(diǎn) .,? 下面研究的思路與一維一致 —— 使用分布函數(shù), 概率分布和概率密度等函數(shù),來刻劃作為一個(gè)整體的二維隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律.,1. 二維隨機(jī)變量,,以下只討論二維隨機(jī)變量 ( X, Y ) .,也稱為隨機(jī)變量 X 與 Y 的聯(lián)合分布.,. . .

4、 .,. . . . . . . .,二元函數(shù),2. 二維隨機(jī)變量的分布函數(shù),定義1設(shè)(X, Y)是二維隨機(jī)變量,,稱為二維隨機(jī)變量(X ,Y )的分布函數(shù)，,幾何解釋 F(x, y) 表示隨機(jī)點(diǎn)(X ,Y )落在 內(nèi)的概率.,,,,,,,,,,,,,,,即,對(duì)任意固定的 y,F( x, y ) 是單調(diào)不減函數(shù),對(duì)任意固

5、定的 x,F( x, y ) 是單調(diào)不減函數(shù),,F( x, y ),3. 二維隨機(jī)變量分布函數(shù)的特征性質(zhì),20 (非負(fù)性),30 (右連續(xù)性),10 (單調(diào)不減性),40,,,,,,. . . .,,,,,,請(qǐng)自讀 P84 例1,,一維隨機(jī)變量的特征性質(zhì)？,規(guī)范性),解 ⑴,⑴ 確定A ,B ,C 的值; ⑵ 求 P{2<X<+?, 0<Y? 3}.,例1

6、 設(shè)(X,Y )的聯(lián)合分布函數(shù)是,其中 A ,B ,C 為常數(shù) ,,由分布函數(shù)的特征性質(zhì)知,⑵ P{2 < X < +?, 0 < Y ? 3} =,例2 已知 ( X ,Y ) 的聯(lián)合分布函數(shù)是：,□,x y , 當(dāng) 0 ＜ x ,y ＜ 1 x ， 當(dāng) 0 ＜ x ＜ 1，y ≥ 1 y ， 當(dāng) 0 ＜ y ＜ 1，x ≥ 1 1 ， 當(dāng) x ≥ 1 ， y ≥

7、1 0 ， 其它,F ( x,y ) =,,問 X、Y 至少有一個(gè)不大于 0.4 的概率, X、Y是否相互獨(dú)立?,解. 分析， 要計(jì)算 p = P { (X ≤0.4)∪(Y ≤0.4) }，利用加法公式， p = P { X ≤0.4 } + P { Y ≤0.4 } – P { X ≤0.4∩Y ≤0.4 } = F (0.4,+ ∞) + F (+ ∞,0.4 ) – F ( 0.

8、4,0.4 ) = 0.4 + 0.4 – 0.4×0.4 = 0.64 .,邊緣分布,,聯(lián)合分布F(X,Y),二維聯(lián)合分布F(X,Y)全面地反映了二維隨機(jī)變量(X,Y)的取值及其概率規(guī)律.,問題：二者之間有什么關(guān)系嗎?,分別稱為(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù),但作為一維隨機(jī)變量, X, Y 也有自己的分布函數(shù).,,由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布,由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布,反之?,轉(zhuǎn)化為一維時(shí)的

9、情形,,相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,利用兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念引出兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立概念。,一、兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立的定義,例3.1.1 已知 ( X ,Y ) 的聯(lián)合分布函數(shù)是：,□,x y , 當(dāng) 0 ＜ x ,y ＜ 1 x ， 當(dāng) 0 ＜ x ＜ 1，y ≥ 1 y ， 當(dāng) 0 ＜ y ＜ 1，x ≥ 1 1 ， 當(dāng) x ≥ 1 ， y ≥ 1 0 ， 其它

10、,F ( x,y ) =,,問 X、Y 至少有一個(gè)不大于 0.4 的概率, X、Y是否相互獨(dú)立?,二、 二維離散型隨機(jī)變量及其分布律,二維離散型隨機(jī)變量,(X,Y )的概率分布,一維離散型隨機(jī)變量,X 的概率分布,分布列,X 和Y 的聯(lián)合分布律,可表示為表格形式,類比,,非負(fù)性,規(guī)范性,X 和Y 的聯(lián)合分布函數(shù),X 的分布函數(shù),！,,,,,設(shè)隨機(jī)變量 X 在 1,2,3 中等可能地取值,,例3,Y 在 1—X 中等可能地取整數(shù)值,,

11、求( X, Y )的分布律及F(2,2).,解,確定隨機(jī)變量的取值：,1/3,X,123,1/6 1/6,1/9 1/9 1/9,= 2/ 3,0 0,0,F ( x , y),= P { X ? x , Y ? y},F ( 2 , 2),,！,點(diǎn) · 表示 pij 對(duì)于該點(diǎn)所在位置的變量求和,離散型二維隨機(jī)變量的邊緣分布律,二維離散型隨機(jī)變量(X,Y )的聯(lián)合分布律為

12、,(X,Y)關(guān)于X 和關(guān)于Y 的邊緣分布律,,,,11/18 5/18 1/9,1/31/31/3,1,,,邊緣分布律?,為方便計(jì)算,我們通常將邊緣分布律寫在聯(lián)合分布律表格的邊緣上,,例1,所以 … .,p i ?,例: 設(shè)隨機(jī)變量Y服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，隨機(jī)變量,試求 和 的聯(lián)合分布律。,解: Y的分布函數(shù)為,11,,,， 有4組可能值(0

13、,0),(0,1),(1,0),(1,1),與 的聯(lián)合分布律為,12,,,21,,,例: 袋中裝有2只白球及3只黑球，現(xiàn)進(jìn)行有放回的摸球，定義下列隨機(jī)變量.,22,,,則 (X,Y) 的聯(lián)合概率分布及邊緣分布由表給出,當(dāng)(X,Y) 是離散型隨機(jī)變量時(shí)，X 和Y 相互獨(dú)立的條件式等價(jià)于：對(duì)于(X,Y) 的所有可能取的值 有,即,2,二、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立的充要條件,例1. 同一品種的5個(gè)產(chǎn)品中, 有2

14、個(gè)正品, 每次從中取1個(gè)檢驗(yàn)質(zhì)量, 不放回地抽取, 連續(xù)2次.記“Xk=0”表示第k次取到正品, 而“Xk=1”為第k次取到次品(k=1,2). 寫出(X1, X2)的聯(lián)合分布律和邊緣分布.,解 X1, X2可能取值均為0,1, 按乘法公式有,故聯(lián)合分布律為,,0.4,,0.4,+,0.6,+,同理，,0.4 0.6,,0.4,0.6,,,求邊緣分布:因?yàn)?0.6,問隨機(jī)變量X1, X2 獨(dú)立嗎？,不獨(dú)立！若有放回呢？,若兩

15、隨機(jī)變量相互獨(dú)立,且又有相同 的分布, 不能說這兩個(gè)隨機(jī)變量相等. 如,X ,Y 相互獨(dú)立，則,故不能說 X = Y .,注意,由左表易得 ：,2024/3/26,23,,2024/3/26,24,2024/3/26,25,2024/3/26,26,,,由條件概率公式，有,設(shè) 的分布律為,考慮在 已發(fā)生的條件下 發(fā)生的條件概率,同理在

16、 已發(fā)生的條件下 發(fā)生的條件概率,,定義,解,設(shè) 從 四個(gè)數(shù)中等可能取值,又設(shè)從 中等可能取值.問當(dāng)?shù)诙稳〉綌?shù)字 時(shí)第一次取四個(gè)數(shù)字的可能性各是多少？,例,由§2例 的分布律及邊緣分布律為,故在 的條件下 取到四個(gè)數(shù)字的概率是,,即在 的條件

17、下 的條件分布律為,,條件分布律的性質(zhì),①,②,這兩條性質(zhì)說明：條件分布律也是一種分布律,解,例2,例2 已知一射手每次擊中目標(biāo)概率為 p ( 0 < p < 1 ), 射擊進(jìn)行到擊中兩次為止. 令 X 表示首次擊中目標(biāo)所需射擊次數(shù), Y 表示總共射擊次數(shù). 求 的聯(lián)合分布律、條件分布律 和 邊緣分布律.,由題設(shè)知,故 X 與Y 的邊緣分布律分別為,的聯(lián)合分布律為,律為,當(dāng)