[學習]概率論與數(shù)理統(tǒng)計王明慈第二版第3章隨機變量的數(shù)字特征1節(jié)

1、2024/3/26,1,隨機變量的數(shù)字特征,一、數(shù)學期望、方差二、原點矩與中心矩三、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)四、切比雪夫不等式與大數(shù)定律,基本內(nèi)容：,第三章,2024/3/26,2,,一、數(shù)學期望的定義二、數(shù)學期望的性質(zhì),基本內(nèi)容：,第一節(jié) 數(shù) 學 期 望,2024/3/26,3,一、數(shù)學期望 (Mathematical Expectation),引例1.學生甲乙參加數(shù)學競賽，觀察其勝負.,,甲 甲 乙,甲,甲,乙,202

2、4/3/26,4,引例2 加權(quán)平均成績,為該生各門課程的算術(shù)平均成績.,,設某學生四年大學各門功課 成績分別為,,而,為該生的加權(quán)平均成績.,2024/3/26,5,1. 離散隨機變量的數(shù)學期望,定義: 設離散隨機變量X的概率函數(shù)為,若級數(shù),絕對收斂,則隨機變量X的數(shù)學期望 (簡稱期望或均值) 為,否則，稱X的數(shù)學期望不存在.,2024/3/26,6,注1º E?X?是一個常數(shù), 它是一種加權(quán)平均.與一般的平均值不同

3、, 它從本質(zhì)上體現(xiàn)了X 取可能值的真正的平均值, 也稱均值.,注2º 級數(shù)的絕對收斂性保證了級數(shù)的和不隨級數(shù)各項次序的改變而改變. 因為數(shù)學期望是反映隨機變量X 取可能值的平均值, 它不因可能值的排列次序而改變.,,2024/3/26,7,例1.甲、乙兩射手在相同條件下進行射擊，,其中命中環(huán)數(shù)分別為X和Y,,其分布列為,試問如何評價甲、乙射手的射擊水平的優(yōu)劣.,解：,E(X)=,E(Y)=,所以甲射手比乙射手的

4、射擊水平略高.,2024/3/26,8,求數(shù)學期望E(X).,解：X的概率函數(shù)為,所以X的數(shù)學期望,例2. 設X服從Poisson分布,2024/3/26,9,2024/3/26,10,,則X的數(shù)學期望（或均值）為,絕對收斂,2. 連續(xù)隨機變量的數(shù)學期望,若積分,否則，稱X的數(shù)學期望不存在.,定義. 設連續(xù)隨機變量X的概率密度為f (x),,2024/3/26,11,,求數(shù)學期望E( X ).,解：X的概率密度為,所以,例4. 設,20

5、24/3/26,12,任一隨機變量X都有數(shù)學期望（或均值）嗎？,反例：設X服從柯西分布(Cauchy distribution ),,求數(shù)學期望E(X).,解:,（不絕對收斂）,不存在,密度函數(shù)為,思考,2024/3/26,13,又如:,解:,但是,設離散型隨機變量X的分布律為,由于,因而其數(shù)學期望E?X?不存在.,求E?X?.,2024/3/26,14,3.隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望,(1)問題的導入,X,E(X),,,數(shù)學期望,,g(X

6、),,數(shù)學期望,,g是連續(xù)函數(shù), g(X) 是隨機變量, 如: 2X+1, X2等等.,(一) 一維隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望,2024/3/26,15,方法1 (定義法): g(X)是隨機變量, 按照數(shù)學期望,關(guān)鍵: 由X的分布求出g(X)的分布.,難點: 一般g(X)形式比較復雜的, 很難求出其分布.,(2)隨機變量函數(shù)數(shù)學期望的計算,的定義計算E?g(X)?.,2024/3/26,16,

7、定理 設X是一個隨機變量, Y? g(X), 則,,當X為離散型時, P(X?xi) ?pi , (i ?1,2,…);,求E[g(X)]時, 只需知道X的分布即可.,當X為連續(xù)型時, X的密度函數(shù)為f (x).,方法2 (公式法):,2024/3/26,17,,解：,求,例5. 設隨機變量X的分布列為,2024/3/26,18,,試求,解:,例7. 設X的概率密度函數(shù)為,2024/3/26,19,,例10(研).某種商品每周的需求

8、量 X～U(10,30）,而商場,每銷售一單位商品可獲利500元,若供大于求,則削價處理,,每單位商品虧損100元;,若供不應求,則可從外部調(diào)劑供應,,每單位商品獲利300元.,要使商場獲得最大收益,問進貨多少?,設應進貨量為 a(10至 30 間的某數(shù)),收益為Y,,解:,則X的概率密度函數(shù)為,故當 a =23. 33 時, EY 最大,供不應求,供大于求,2024/3/26,20,對于二維隨機變量而言, 其函數(shù)的數(shù)學期望計算方法可

9、以類似得到.,1. 二維離散型情形,(二) 二維隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望,設?X,Y?為二維離散型隨機變量, Z ? g?X, Y?為 二元函數(shù), 如果E?Z?存在,,其中?X, Y?的聯(lián)合概率分布為pij .,2024/3/26,21,2. 二維連續(xù)型情形,設?X,Y?為二維連續(xù)型隨機變量, Z ? g?X, Y?為二元連續(xù)函數(shù), 如果E?Z?存在, 則,其中?X,Y?的聯(lián)合概率密度為f?x, y?.,2024/3/26,22

10、,補充：,2024/3/26,23,求Z=X+Y的數(shù)學期望。,例11. 設隨機變量X與Y相互獨立，概率密度分別是,解1：前面例題已得到了Z的概率密度,2024/3/26,24,解2： 因X與Y:獨立, 故(X,Y)的聯(lián)合概率密度為,,,,2024/3/26,25,二、數(shù)學期望的性質(zhì),證:,證:,推廣,2024/3/26,26,證：僅就連續(xù)隨機變量情形,2024/3/26,27,例8.設X服從超幾何分布H(n,M,N),求E(X).,問題

11、還原：,設有一批產(chǎn)品共N件，,其中有M件次品,和N-M件合格品，,不放回地抽取n件樣品，,n件樣品中的次品數(shù)X的數(shù)學期望。,求抽出的,解：,設Xi表示第i次取出的樣品中的次品數(shù)，,則,Xi服從“0-1”分布：,2024/3/26,28,Xi的數(shù)學期望,則X的數(shù)學期望,常見的基本方法：可以將一個比較復雜的隨機變量 X 拆成有限多個比較簡單的隨機變量 Xi 之和, 再利用期望性質(zhì)求得X的期望.,n次抽樣中的次品數(shù)X,,2024/3/26,

12、29,,求數(shù)學期望E(X).,解2:,例9. 設X服從二項分布B(n,p),,Xi服從“0-1”分布，,所以,n重伯努利試驗中事件A恰好出現(xiàn)的次數(shù),設Xi為第i次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，即,2024/3/26,30,內(nèi)容小結(jié),一、掌握(數(shù)學)期望的定義,1. 離散隨機變量X的期望(或均值),2. 連續(xù)隨機變量X的數(shù)學期望,3. 隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望,設g (X)是隨機變量X的實值函數(shù)，,2024/3/26,31,① 離散隨機變量函數(shù)

13、g(X)的數(shù)學期望,② 連續(xù)隨機變量函數(shù)g(X)的數(shù)學期望,二、熟悉數(shù)學期望的性質(zhì),2024/3/26,32,2024/3/26,33,三、熟悉一些常見分布的期望,(2) 若X～B(1,p), E(X)=p .,(3) 若X～B(n,p), E(X)=np .,(1) 若X～H(n,M,N),,(4) 若,(5) 若X～U(a,b), E(X),(6) 若,2024/3/26,34,四、計算數(shù)學期望的方法,1.利用數(shù)學期望的定義；,2.

14、利用數(shù)學期望的性質(zhì)；,3.利用常見分布的期望；,常見的基本方法： 將一個比較復雜的隨機變量X 拆成有限多個比較簡單的隨機變量Xi之和,再利用期望性質(zhì)求得X的期望.,2024/3/26,35,作業(yè),習題三(P92)：1、2、3、4、11,2024/3/26,36,備用題,A. 1 ； B. 0； C. 3； D. 11/2,(2) 隨機變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布, 則,A.

15、2； B. 1； C. 4/3； D. 3/2,(1) 設隨機變量X和Y相互獨立，且 X~B(10, 0.3),,且Y~P(2), 則Z=2X-3Y+1的數(shù)學期望為（ ）,1.選擇題,2024/3/26,37,分析,,(1) X~B(10, 0.3), 于是 E(X)=10×0.3=3.,(2) X~e(1), 于是E(X)=1, 且X的概率密度為,Y~P(2),

16、 于是E(Y)=2. 根據(jù)數(shù)學期望的性質(zhì)，,E(Z)=2E(X)-3E(Y)+1=1，選A.,從而,2024/3/26,38,2.假設有十只同種電器元件,其中只有兩只廢品,,,裝配儀器時，從這批元件中任取一只，如是廢品,,則扔掉重新任取一只; 如仍然是廢品, 則扔掉再取,一只. 試求在取到正品之前, 已取出的廢品只數(shù)的,解：,設X表示在取到正品前已取出的廢品數(shù), 則,X=0，1，2.,分布和數(shù)學期望.,(1)X的概率分布,設Ak={第

17、k次取得的是正品} k=1, 2, 3,2024/3/26,39,由乘法公式，有,2024/3/26,40,由此得離散隨機變量X的概率分布為,(2) 根據(jù)定義, 隨機變量X的數(shù)學期望,E(X)=0×0.8+1×(8/45)+2×(1/45)=2/9.,2024/3/26,41,,試求,解:,3. 設X的概率密度函數(shù)為,(奇函數(shù)),2024/3/26,42,4.設有N個人,每個人將自己的帽子扔進屋子中

18、央,,把帽子混合后，每個人再隨機地從中選一頂.,試求選中自己帽子的人數(shù)的數(shù)學期望.,解：設X表示配對的人數(shù)，將X寫成,X=X1+X2+…+Xn,2024/3/26,43,,2024/3/26,44,,5. 游客乘電梯從底層到電視塔頂層觀光,,X在[0,60]上服從均勻分布, 其概率密度為,電梯于每個正點的第5分鐘、第25分鐘和第55分鐘從底層起行. 假設在早上的8點的第X分鐘到達底層候梯處, 且X在[0,60]上服從均勻分布求游

19、客等候時間的數(shù)學期望. （考研試題）,解：,,2024/3/26,45,設Y是游客等候電梯的時間(單位:分), 則,因此,,,2024/3/26,46,2024/3/26,47,解:,6. 設隨機變量X的概率密度函數(shù)為,試求 .,2024/3/26,48,預備知識——基本積分表,( k 為常數(shù)),或,或,2024/3/26,49,2024/3/26,50,換元法,定理1.,則有換元,公式,,(也稱配元法,即