高中數(shù)學(xué)競賽講義免費(fèi)

1、高中數(shù)學(xué)高中數(shù)學(xué)競賽資競賽資料一、高中數(shù)學(xué)競賽大綱全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（一試）所涉及的知識范圍不超出教育部2000年《全日制普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》中所規(guī)定的教學(xué)要求和內(nèi)容，但在方法的要求上有所提高。全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試（二試）與國際數(shù)學(xué)奧林匹克接軌，在知識方面有所擴(kuò)展；適當(dāng)增加一些教學(xué)大綱之外的內(nèi)容，所增加的內(nèi)容是：1.平面幾何幾個重要定理：梅涅勞斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的幾

2、個特殊點(diǎn)：旁心、費(fèi)馬點(diǎn)，歐拉線。幾何不等式。幾何極值問題。幾何中的變換：對稱、平移、旋轉(zhuǎn)。圓的冪和根軸。面積方法，復(fù)數(shù)方法，向量方法，解析幾何方法。2.代數(shù)周期函數(shù)，帶絕對值的函數(shù)。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函數(shù)。遞歸，遞歸數(shù)列及其性質(zhì)，一階、二階線性常系數(shù)遞歸數(shù)列的通項(xiàng)公式。第二數(shù)學(xué)歸納法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函數(shù)。復(fù)數(shù)及其指數(shù)形式、三角形式，歐拉公式，棣莫弗定理，單位根

3、。多項(xiàng)式的除法定理、因式分解定理，多項(xiàng)式的相等，整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根，多項(xiàng)式的插值公式。n次多項(xiàng)式根的個數(shù)，根與系數(shù)的關(guān)系，實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式虛根成對定理。函數(shù)迭代，簡單的函數(shù)方程3.初等數(shù)論同余，歐幾里得除法，裴蜀定理，完全剩余類，二次剩余，不定方程和方程組，高斯函數(shù)[x]，費(fèi)馬小定理，格點(diǎn)及其性質(zhì)，無窮遞降法，歐拉定理，孫子定理。4.組合問題圓排列，有重復(fù)元素的排列與組合，組合恒等式。組合計(jì)數(shù)，組合幾何。抽屜原理。容斥原理。極端原理。圖論

4、問題。集合的劃分。覆蓋。平面凸集、凸包及應(yīng)用。注：有號的內(nèi)容加試中暫不考，但在冬令營中可能考。三、高中數(shù)學(xué)競賽基礎(chǔ)知識第一章集合與簡易邏輯一、基礎(chǔ)知識定義1一般地，一組確定的、互異的、無序的對象的全體構(gòu)成集合，簡稱集，用大寫字母來表示；集合中的各個對象稱為元素，用小寫字母來表示，元素在集合A中，稱屬xx于A，記為，否則稱不屬于A，記作。例如，通常用N，Z，Q，B，Q分別Ax?xAx?表示自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集、正有理數(shù)集，不

5、含任何元素的集合稱為空集，用來表示。集合分有限集和無限集兩種。?集合的表示方法有列舉法：將集合中的元素一一列舉出來寫在大括號內(nèi)并用逗號隔開表示集合的方法，如1，2，3；描述法：將集合中的元素的屬性寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。例如有理數(shù)，分別表示有理數(shù)集和正實(shí)數(shù)集。0?xx定義2子集：對于兩個集合A與B，如果集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素，則A叫做B的子集，記為，例如。規(guī)定空集是任何集合的子集，如果A是BA?ZN?種不同的方法。

6、nmmmN?????21二、方法與例題1利用集合中元素的屬性，檢驗(yàn)元素是否屬于集合。例1設(shè)，求證：22ZyxyxaaM????（1）；)(12ZkMk???（2）；)(24ZkMk???（3）若，則MqMp??.Mpq?[證明]（1）因?yàn)?，且，所以Zkk??122)1(12????kkk.12Mk??（2）假設(shè)，則存在，使，由于和)(24ZkMk???Zyx?2224yxk???yx?有相同的奇偶性，所以是奇數(shù)或4的倍數(shù)，不可能等于yx

7、?))((22yxyxyx????，假設(shè)不成立，所以24?k.24Mk??（3）設(shè)，則Zbayxbaqyxp?????2222))((2222bayxpq???22222222aybxbyaa????Myaxbybxa?????22)()(（因?yàn)椋?。ZyaxbZyaxa????2利用子集的定義證明集合相等，先證，再證，則A=B。BA?AB?例2設(shè)A，B是兩個集合，又設(shè)集合M滿足，求集合M（用A，B表示）。BAMBABAMBMA?????