數(shù)學歸納原理和最小數(shù)原理的等價性證明

1、數(shù)學歸納原理和最小數(shù)原理的等價性證明這兩個原理都是自然數(shù)公理系統(tǒng)中最基本的原理，人們常常用最小數(shù)原理證明數(shù)學歸納原理。我發(fā)現(xiàn)用數(shù)學歸納原理也可以證最小數(shù)原理。所謂的最小數(shù)原理是指：自然數(shù)集合的任意非空子集必有最小元素。一：用數(shù)學歸納原理證最小數(shù)原理。當自然數(shù)的非空子集只含一個元素時，這個元素就是最小元素。設n元集有最小元素，對于n1元集，新加入的元素與n元集中的最小數(shù)比較，若新加入的元素不大于該最小數(shù)，則新加入的元素為最小數(shù)，否則，原來

2、的n元集中的最小數(shù)仍是n1元集的最小數(shù)。由數(shù)學歸納原理，含任意個自然數(shù)數(shù)目的自然數(shù)子集都有最小數(shù)。得證。二：用最小數(shù)原理證數(shù)學歸納原理：p(o)成立，且p(n)成立可導出p(n1)成立，則對于一切自然數(shù)np(n)成立。否則，若對于若干個（可能有限個，也可能無限個）自然數(shù)m1……mi……(i≥1）使命題不成立，由最小數(shù)原理，這若干個自然數(shù)有最小數(shù)記為w，而且，w一定是正數(shù)，那么，就一定存在唯一的自然數(shù)bb1=w.b不屬于這個使命題不成立的

3、元素組成的集合，因為b比最小數(shù)還小。則p(b)是成立的，由規(guī)則，p(b1)也成立即p(w)成立。矛盾。故對于一切自然數(shù)np(n)成立。證畢。其實以上發(fā)現(xiàn)也沒啥大不了的，很直觀淺顯。這兩個原理的等價性得證后，兩者中的任意一條都可以作為皮亞杰五條公理中的一條嗎？不行！因為最小數(shù)原理中的小于最開始還是沒有定義的！。還有，該等價關(guān)系非我第一次發(fā)現(xiàn)，由于其十分簡單，在我發(fā)現(xiàn)等價性后，我在華羅庚的《數(shù)學歸納法》最后找到了同樣的結(jié)論。由于A非空，至少

4、有一自然數(shù)a∈A，而a＋1(＞a)不在M中所然，就有10∈M(0不大于任一自然數(shù))；2若m∈M，則m＋1∈M根據(jù)歸納公理，應有M＝N此與M≠N相矛盾這個自然數(shù)m0就是集合A的最小數(shù)因為對任何a∈A，都有m0意a∈A，于是m0＋1∈M，這又與m0的選取相矛盾反之，利用最小數(shù)原理也可以證明歸納公理因此，最小數(shù)原理與歸納公理是等價的定理定理2(數(shù)學歸納法原理)一個與自然數(shù)相關(guān)的命題T(n)，如果1T(n0)(n0≥0)為真；2假設T(n)(n

5、≥n0)為真，則可以推出T(n＋1)也為真那么，對所有大于等于n0的自然數(shù)n，命題T(n)為真證用反證法若命題T(n)不是對所有自然數(shù)n為真，則M=｛m｜m∈N，m≥n0且T(m)不真｝非空根據(jù)定理1，M中有最小數(shù)m0由1，m0＞n0，從而m0－1≥n0且T(m01)為真由2，取n=m01即知T(m0)為真此與T(m0)不真相矛盾從而證明了定理2在具體運用數(shù)學歸納法進行數(shù)學證明時，有多種不同形式運用定理2中兩個步驟進行證明的，為Ⅰ型數(shù)學