數學學論文畢業(yè)論文實數完備性基本定理等價性的證明

1、17實數完備性基本定理等價性的證明實數完備性基本定理等價性的證明摘要摘要本文通過循環(huán)證明對實數完備性基本定理的等價性作出了證明.關鍵詞關鍵詞實數完備性基本定理等價性循環(huán)證明1引在這一節(jié)，主要對本文所用到的定義，定理及推論作以介紹.定義定義設閉區(qū)間列具有如下性質：????nnba（i）????11???nnnnbaba?21?n（ii）=0??nnnab???lim則稱為閉區(qū)間套，或簡稱區(qū)間套.????nnba確界原理確界原理設S為非空數

2、集.若S有上界，則S必有上確界；若S有下界，則S必有下確界.單調有界定理單調有界定理在實數系中，有界的單調數列必有極限.區(qū)間套定理區(qū)間套定理若是一個閉區(qū)間套，則在實數中存在唯一的一點????nnba，使得即???21???nbann?.21????nban?推論推論若是區(qū)間套所確定的點，則對任給的??21???nbann?????nnba0，存在N0，使得當nN時有?.????????nnba有限覆蓋定理有限覆蓋定理設H為閉區(qū)間的一個（

3、無限）開覆蓋，則從H中可??ba選出有限個開區(qū)間來覆蓋.??ba聚點定理聚點定理實數軸上任一有限無界點集S至少有一個聚點.柯西收斂準則柯西收斂準則數列收斂的充要條件是：對任給的0，存在正整數??na?N，使得當nmN時有〈.nnba??37（2）且nb??.21??n（3）聯(lián)合（1）及（3）即得.na??nb?.21??n（4）最后證明滿足（4）的是唯一的，設數也滿足???na???21???nbn則由（4）式有，????nb??na.

4、21??n由區(qū)間套的條件（ii）得??0lim???????nnnab??故有.????3由區(qū)間套定理證明有限覆蓋定理由區(qū)間套定理證明有限覆蓋定理證用反證法假設定理的結論不成立，即不能用H中有限個開區(qū)間來覆蓋.??ba將等分為兩個子區(qū)間，則其中至少有一個子區(qū)間不能用H中有限個??ba開區(qū)間來覆蓋.記這個子區(qū)間為，則，且??11ba??11ba??ba?.??abab???2111再將等分為兩個子區(qū)間，同樣，其中至少有一個子區(qū)間不能用H?