函數(shù)對稱性的探求

1、函數(shù)函數(shù)對稱性的探究稱性的探究——沙雪蓉沙雪蓉函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主線，是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是整個高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。函數(shù)的性質(zhì)是競賽和高考的重點與熱點，函數(shù)的對稱性是函數(shù)的一個基本性質(zhì)，對稱關(guān)系不僅廣泛存在于數(shù)學(xué)問題之中，而且利用對稱性往往能更簡捷地使問題得到解決，對稱關(guān)系還充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美。本文擬通過函數(shù)自身的對稱性和不同函數(shù)之間的對稱性這兩個方面來探討函數(shù)與對稱有關(guān)的性質(zhì)。一、一、函數(shù)自身的對稱性探究函數(shù)自身的對稱性探究定理定理

2、1.函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點A(ab)對稱的充要條件是f(x)f(2a－x)=2b證明：（必要性）設(shè)點P(xy)是y=f(x)圖像上任一點，∵點P(xy)關(guān)于點A(ab)的對稱點P‘（2a－x，2b－y）也在y=f(x)圖像上，∴2b－y=f(2a－x)即yf(2a－x)=2b故f(x)f(2a－x)=2b，必要性得證。（充分性）設(shè)點P(x0y0)是y=f(x)圖像上任一點，則y0=f(x0)∵f(x)f(2a－x)=2b∴f(x0

3、)f(2a－x0)=2b，即2b－y0=f(2a－x0)。故點P‘（2a－x0，2b－y0）也在y=f(x)圖像上，而點P與點P‘關(guān)于點A(ab)對稱，充分性得征。推論：推論：函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于原點O對稱的充要條件是f(x)f(－x)=0定理定理2.函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱的充要條件是f(ax)=f(a－x)即f(x)=f(2a－x)（證明留給讀者）推論：函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱的充要條件是f(x)=f

4、(－x)定理3.①若函數(shù)y=f(x)圖像同時關(guān)于點A(ac)和點B(bc)成中心對稱（a≠b），則y=f(x)是周期函數(shù)，且2|a－b|是其一個周期。同理可證：函數(shù)x－a=f(ya)的圖像上任一點關(guān)于直線x－y=a的軸對稱點也在函數(shù)y=f(x)的圖像上。故定理5中的③成立。推論：推論：函數(shù)y=f(x)的圖像與x=f(y)的圖像關(guān)于直線x=y成軸對稱。三、三、三角函數(shù)圖像的對稱性列表三角函數(shù)圖像的對稱性列表函數(shù)對稱中心坐標(biāo)對稱軸方程y=s

5、inx(kπ0)x=kππ2y=cosx(kππ20)x=kπy=tanx(kπ20)無注：①上表中k∈Z②y=tanx的所有對稱中心坐標(biāo)應(yīng)該是(kπ20)，而在岑申、王而冶主編的浙江教育出版社出版的21世紀(jì)高中數(shù)學(xué)精編第一冊（下）及陳兆鎮(zhèn)主編的廣西師大出版社出版的高一數(shù)學(xué)新教案（修訂版）中都認(rèn)為y=tanx的所有對稱中心坐標(biāo)是(kπ0)，這明顯是錯的。四、函數(shù)對稱性應(yīng)用舉例函數(shù)對稱性應(yīng)用舉例例1：定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿足：f(10x