高中函數(shù)對(duì)稱性總結(jié)

1、高中函數(shù)對(duì)稱性總結(jié)高中函數(shù)對(duì)稱性總結(jié)新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)教材上就函數(shù)的性質(zhì)著重講解了單調(diào)性、奇偶性、周期性，但在考試測驗(yàn)甚至高考中不乏對(duì)函數(shù)對(duì)稱性、連續(xù)性、凹凸性的考查。尤其是對(duì)稱性，因?yàn)榻滩纳蠈?duì)它有零散的介紹，例如二次函數(shù)的對(duì)稱軸，反比例函數(shù)的對(duì)稱性，三角函數(shù)的對(duì)稱性，因而考查的頻率一直比較高。以筆者的經(jīng)驗(yàn)看，這方面一直是教學(xué)的難點(diǎn)，尤其是抽象函數(shù)的對(duì)稱性判斷。所以這里我對(duì)高中階段所涉及的函數(shù)對(duì)稱性知識(shí)做一個(gè)粗略的總結(jié)。一、對(duì)稱性的概念及常

2、見函數(shù)的對(duì)稱性一、對(duì)稱性的概念及常見函數(shù)的對(duì)稱性1、對(duì)稱性的概念①函數(shù)軸對(duì)稱：如果一個(gè)函數(shù)的圖像沿一條直線對(duì)折，直線兩側(cè)的圖像能夠完全重合，則稱該函數(shù)具備對(duì)稱性中的軸對(duì)稱，該直線稱為該函數(shù)的對(duì)稱軸。②中心對(duì)稱：如果一個(gè)函數(shù)的圖像沿一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，所得的圖像能與原函數(shù)圖像完全重合，則稱該函數(shù)具備對(duì)稱性中的中心對(duì)稱，該點(diǎn)稱為該函數(shù)的對(duì)稱中心。2、常見函數(shù)的對(duì)稱性（所有函數(shù)自變量可取有意義的所有值）①常數(shù)函數(shù)：既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱，其中

3、直線上的所有點(diǎn)均為它的對(duì)稱中心，與該直線相垂直的直線均為它的對(duì)稱軸。②一次函數(shù)：既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱，其中直線上的所有點(diǎn)均為它的對(duì)稱中心，與該直線相垂直的直線均為它的對(duì)稱軸。③二次函數(shù)：是軸對(duì)稱，不是中心對(duì)稱，其對(duì)稱軸方程為x=b(2a)。④反比例函數(shù)：既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱，其中原點(diǎn)為它的對(duì)稱中心，y=x與y=x均為它的對(duì)稱軸。⑤指數(shù)函數(shù)：既不是軸對(duì)稱，也不是中心對(duì)稱。⑥對(duì)數(shù)函數(shù)：既不是軸對(duì)稱，也不是中心對(duì)稱。⑦冪函數(shù)：顯然冪函數(shù)中

4、的奇函數(shù)是中心對(duì)稱，對(duì)稱中心是原點(diǎn)；冪函數(shù)中的偶函數(shù)是軸對(duì)稱，對(duì)稱軸是y軸；而其他的冪函數(shù)不具備對(duì)稱性。⑧正弦函數(shù)：既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱，其中（kπ，0）是它的對(duì)稱中心，x=kππ2是它的對(duì)稱軸。⑨正弦型函數(shù)：正弦型函數(shù)y=Asin(ωxφ)既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱，只需從ωxφ=kπ中解出x，就是它的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)當(dāng)然為零；只需從ωxφ=kππ2中解出x，就是它的對(duì)稱軸；需要注意的是如果圖像向我總結(jié)為：設(shè)（xy）為原曲線圖像

5、上任一點(diǎn)，如果（xy）也在圖像上，則該曲線關(guān)于x軸對(duì)稱；如果（xy）也在圖像上，則該曲線關(guān)于y軸對(duì)稱；如果（xy）也在圖像上，則該曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；如果（yx）也在圖像上，則該曲線關(guān)于y=x對(duì)稱；如果（yx）也在圖像上，則該曲線關(guān)于y=x軸對(duì)稱。2、抽象函數(shù)的對(duì)稱性猜測①軸對(duì)稱例6如果函數(shù)y=f(x)滿足f(x1)=f(4x)，求該函數(shù)的所有對(duì)稱軸。（任意取值代入例如x=0有f(1)=f(4)，正中間2.5，從而該函數(shù)關(guān)于x=2.5對(duì)稱

6、）例7如果函數(shù)y=f(x)滿足f(x)=f(x)，求該函數(shù)的所有對(duì)稱軸。（按上例一樣的方法可以猜出對(duì)稱軸為x=0，可見偶函數(shù)是特殊的軸對(duì)稱）例8如果f(x)為偶函數(shù)，并且f(x1)=f(x3)，求該函數(shù)的所有對(duì)稱軸。（因?yàn)閒(x1)=f(x3)，按上例可以猜出對(duì)稱軸x=1，又因?yàn)樗?為周期，所以x=k是它所有的對(duì)稱軸，k∈Z）②中心對(duì)稱例9如果函數(shù)y=f(x)滿足f(3x)f(4x)=6，求該函數(shù)的對(duì)稱中心。（因?yàn)樽宰兞考悠饋頌?時(shí)函

7、數(shù)值的和始終為6，所以中點(diǎn)固定為（3.5，3），這就是它的對(duì)稱中心）例10如果函數(shù)y=f(x)滿足f(x)f(x)=0，求該函數(shù)的所有對(duì)稱中心。（按上例一樣的方法可以猜出對(duì)稱中心為（0，0），可見奇函數(shù)是特殊的中心對(duì)稱）例11如果f(x)為奇函數(shù)，并且f(x1)f(x3)=0，求該函數(shù)的所有對(duì)稱中心和對(duì)稱軸。（由周期性定義知周期為4，又f(x1)=f(x3)，從而f(x1)=f(x3)，按上例知x=1為對(duì)稱軸，所以x=12n為對(duì)稱軸，（