協(xié)方差矩陣基礎(chǔ)

1、一、統(tǒng)計學(xué)的基本概念一、統(tǒng)計學(xué)的基本概念統(tǒng)計學(xué)里最基本的概念就是樣本的均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差。首先，我們給定一個含有n個樣本的集合，下面給出這些概念的公式描述：均值：標(biāo)準(zhǔn)差：方差：均值描述的是樣本集合的中間點，它告訴我們的信息是有限的，而標(biāo)準(zhǔn)差給我們描述的是樣本集合的各個樣本點到均值的距離之平均。以這兩個集合為例，[081220]和[891112]，兩個集合的均值都是10，但顯然兩個集合的差別是很大的，計算兩者的標(biāo)準(zhǔn)差，前者是8.3后者是1

2、.8，顯然后者較為集中，故其標(biāo)準(zhǔn)差小一些，標(biāo)準(zhǔn)差描述的就是這種“散布度”。之所以除以n1而不是n，是因為這樣能使我們以較小的樣本集更好地逼近總體的標(biāo)準(zhǔn)差，即統(tǒng)計上所謂的“無偏估計”。而方差則僅僅是標(biāo)準(zhǔn)差的平方。二、為什么需要協(xié)方差二、為什么需要協(xié)方差標(biāo)準(zhǔn)差和方差一般是用來描述一維數(shù)據(jù)的，但現(xiàn)實生活中我們常常會遇到含有多維數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)集，最簡單的是大家上學(xué)時免不了要統(tǒng)計多個學(xué)科的考試成績。面對這樣的數(shù)據(jù)集，我們當(dāng)然可以按照每一維獨立的計算其

3、方差，但是通常我們還想了解更多，比如，一個男孩子的猥瑣程度跟他受女孩子的歡迎程度是否存在一些聯(lián)系。協(xié)方差就是這樣一種用來度量兩個隨機變量關(guān)系的統(tǒng)計量，我們可以仿照方差的定義：來度量各個維度偏離其均值的程度，協(xié)方差可以這樣來定義：協(xié)方差的結(jié)果有什么意義呢？如果結(jié)果為正值，則說明兩者是正相關(guān)的（從協(xié)方差可以引出“相關(guān)系數(shù)”的定義），也就是說一個人越猥瑣越受女孩歡迎。如果結(jié)果為負值，就說明兩者是負圖1使用Matlab生成樣本集根據(jù)公式，計算協(xié)

4、方差需要計算均值，前面特別強調(diào)了，協(xié)方差矩陣是計算不同維度之間的協(xié)方差，要時刻牢記這一點。樣本矩陣的每行是一個樣本，每列是一個維度，因此我們要按列計算均值。為了描述方便，我們先將三個維度的數(shù)據(jù)分別賦值：圖2將三個維度的數(shù)據(jù)分別賦值計算dim1與dim2，dim1與dim3，dim2與dim3的協(xié)方差：圖3計算三個協(xié)方差協(xié)方差矩陣的對角線上的元素就是各個維度的方差，下面我們依次計算這些方差：圖4計算對角線上的方差這樣，我們就得到了計算協(xié)方