解三角形專題

1、1解三角形專題一、基礎(chǔ)知識：1、正弦定理：，其中為外接圓的半徑2sinsinsinabcRABC???RABC:正弦定理的主要作用是方程和分式中的邊角互化。其原則為關(guān)于邊，或是角的正弦值是否具備齊次的特征。如果齊次則可直接進行邊化角或是角化邊，否則不可行例如：（1）222222sinsinsinsinsinABABCababc???????（2）（恒等式）coscossincossincossinbCcBaBCCBA?????（3）22

2、sinsinsinbcBCaA?2、余弦定理：2222cosabcbcA???變式：（1）222cos2bcaAbc???①此公式通過邊的大小（角兩邊與對邊）可以判斷出是鈍角還是銳角A當時，，即為銳角；222bca??cos0A?A當（勾股定理）時，，即為直角；222bca??cos0A?A當時，，即為鈍角222bca??cos0A?A②觀察到分式為齊二次分式，所以已知的值或者均可求出abc::abccosA（2）此公式在已知和時不需要

3、計算出的值，進????2221cosabcbcA????bc?bcbc行整體代入即可3、三角形面積公式：（1）（為三角形的底，為對應(yīng)的高）12Sah??ah（2）111sinsinsin222SabCbcAacB???（3）（為三角形內(nèi)切圓半徑，此公式也可用于求內(nèi)切圓半徑）??12Sabcr????r（4）海倫公式：????????12Sppapbpcpabc???????（5）向量方法：（其中為邊所構(gòu)成的向量，方向任意）????221

4、2Sabab????????ab??ab證明：??2222222111sinsin1cos244SabCSabCabC?????3ADBADC??????coscosADBADC???①②可得：????22222ABACADBD???（2）角平分線定理：如圖，設(shè)為中ADABC:的角平分線，則BAC?ABBDACCD?證明：過作∥交于DDEACABEBDBEDCAE??EDADAC???為的角平分線AD?BAC?EADDAC????EDA

5、EAD????為等腰三角形EAD?:EAED??而由可得：BDBEBEDCAEED???BEDBAC:::BEABEDAC?ABBDACCD??二、典型例題：例1：（1）的內(nèi)角所對的邊分別為，若，則ABC:ABCabc2660cbB????_____C?（2））的內(nèi)角所對的邊分別為，若，則ABC:ABCabc2630cbC????_____B?思路：（1）由已知求可聯(lián)想到使用正弦定理：BbcCsinsinsinsinbccBCBCb??

6、?代入可解得：。由可得：，所以1sin2C?cb?60CB???30C??答案：30C??（2）由已知求可聯(lián)想到使用正弦定理：CbcBsinsinsinsinbcbCBBCc???代入可解得：，則或，由可得：，所以和3sin2B?60B??120B??cb?CB?60B??均滿足條件120B??答案：或60B??120B??小煉有話說：對比（1）（2）可發(fā)現(xiàn)對于兩邊及一邊的對角，滿足條件的三角形可能唯一確定，也有可能兩種情況，在判斷時可