2013版高考數(shù)學(xué)人教a版·數(shù)學(xué)文全程復(fù)習(xí)方略配套課件7.3 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

1、第三節(jié) 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系,三年8考 高考指數(shù):★★★1．理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義；2．了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理；3．能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題．,1.點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系是本節(jié)的重點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn)．2.從考查形式看，以考查點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系為主，同時(shí)考查邏輯推理能力和空間想象能力.3.從考查題型看，多以選擇題、填空題的形式考查，有時(shí)也出現(xiàn)在解答題中

2、，一般難度不大，屬低中檔題.,1.平面的基本性質(zhì),【即時(shí)應(yīng)用】(1)思考：①三個(gè)公理的作用分別是什么？②你能說出公理2的幾個(gè)推論嗎？提示：①公理1的作用：(ⅰ)判斷直線在平面內(nèi)；(ⅱ)由直線在平面內(nèi)判斷直線上的點(diǎn)在平面內(nèi)．公理2的作用：確定平面的依據(jù)，它提供了把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的條件．公理3的作用：(ⅰ)判定兩平面相交；(ⅱ)作兩平面的交線；(ⅲ)證明點(diǎn)共線．,②公理2的三個(gè)推論為：(ⅰ)經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)

3、，有且只有一個(gè)平面；(ⅱ)經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；(ⅲ)經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．,(2)判斷下列說法的正誤(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填寫“√”或“×”)①如果兩個(gè)不重合的平面α,β有一條公共直線a，就說平面α,β相交，并記作α∩β=a ( )②兩個(gè)平面α,β有一個(gè)公共點(diǎn)A，就說α,β相交于過A點(diǎn)的任意一條直線

4、 ( )③兩個(gè)平面α,β有一個(gè)公共點(diǎn)A，就說α,β相交于A點(diǎn)，并記作α∩β=A ( )④兩個(gè)平面ABC與DBC相交于線段BC ( ),【解析】根據(jù)平面的性質(zhì)公理3可知①對(duì)；對(duì)于②，其錯(cuò)誤在于“任意”二字上；對(duì)于③，錯(cuò)誤在于α∩β=A上；對(duì)于④，應(yīng)為平面ABC和平面DBC相交于直線BC.答

5、案：①√ ②× ③× ④×,(3)平面α,β相交，在α,β內(nèi)各取兩點(diǎn)，這四點(diǎn)都不在交線上，這四點(diǎn)能確定_________個(gè)平面．【解析】如果這四點(diǎn)在同一平面內(nèi)，那么確定一個(gè)平面；如果這四點(diǎn)不共面，則任意三點(diǎn)可確定一個(gè)平面，所以可確定四個(gè)．答案：1或4,2.空間中兩直線的位置關(guān)系(1)空間兩直線的位置關(guān)系,(2)平行公理和等角定理①平行公理:平行于___________的兩條直線平行．用符號(hào)表

6、示：設(shè)a,b,c為三條直線，若a∥b,b∥c，則a∥c．②等角定理:空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角____________．,同一條直線,相等,或互補(bǔ),(3)異面直線所成的角①定義：已知兩條異面直線a,b，經(jīng)過空間中任一點(diǎn)O作直線a′∥a,b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的_____________叫做異面直線所成的角(或夾角)．②范圍：______.,銳角(或直角),【即時(shí)應(yīng)用】(1)思考：不相交的兩條直

7、線是異面直線嗎？不在同一平面內(nèi)的直線是異面直線嗎？提示：不一定．因?yàn)閮蓷l直線沒有公共點(diǎn)，這兩直線可能平行也可能異面；因?yàn)椴煌谌魏我粋€(gè)平面內(nèi)的直線為異面直線，故該結(jié)論不一定正確．,(2)和兩條異面直線都相交的兩條直線的位置關(guān)系是_______.【解析】畫出圖形分析.圖①中，AB、CD與異面直線a、b都相交，此時(shí)AB、CD異面；圖②中，AB、AC與異面直線a、b都相交，此時(shí)AB、AC相交.答案：異面或相交,3.空間直線與平

8、面、平面與平面的位置關(guān)系,圖形語言,符號(hào)語言,公共點(diǎn),直線與平 面,相交,a∩α=A,個(gè),平行,a∥α,個(gè),在平 面內(nèi),a?α,個(gè),,,,,,,,,,,,a,α,α,A,,,,,1,0,,,無數(shù),,a,,,,,α,,a,平面與平面,平行,α∥β,個(gè),相交,α∩β=l,個(gè),,,,,無數(shù),0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,α,β,β,l,α,【即時(shí)應(yīng)用】(1)判斷下列說法是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填寫“√”或“

9、15;”)①經(jīng)過三點(diǎn)確定一個(gè)平面 ( )②梯形可以確定一個(gè)平面 ( )③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面 ( )④如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合 ( )(2)兩個(gè)不重合的平面可把空間分成_________部分．,【解析】(1)經(jīng)過不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，∴①不正確；兩

10、條平行線可以確定一個(gè)平面，∴②正確；兩兩相交的三條直線可以確定一個(gè)或三個(gè)平面，∴③正確；命題④中沒有說清三個(gè)點(diǎn)是否共線，∴④不正確.(2)當(dāng)兩平面平行時(shí)可分為3部分；當(dāng)兩平面相交時(shí)分為4部分．答案：(1)①× ②√ ③√ ④×(2)3或4,平面的基本性質(zhì)及其應(yīng)用【方法點(diǎn)睛】考查平面基本性質(zhì)的常見題型及解法(1)判斷所給元素(點(diǎn)或直線)是否能確定唯一平面，關(guān)鍵是分析所給元素是否具有

11、確定唯一平面的條件，此時(shí)需要利用公理2及其推論．(2)證明點(diǎn)或線共面問題，一般有兩種途徑：①首先由所給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)；②將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合．,(3)證明點(diǎn)共線問題，一般有兩種途徑：①先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；②直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線上．(4)證明線共點(diǎn)問題，常用的方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直

12、線經(jīng)過該點(diǎn)．,【例1】(1)給出以下四個(gè)命題①不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；②若點(diǎn)A、B、C、D共面，點(diǎn)A、B、C、E共面，則點(diǎn)A、B、C、D、E共面；③若直線a、b共面，直線a、c共面，則直線b、c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面.正確命題的個(gè)數(shù)是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3,(2)如圖，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB

13、=90°，BC∥AD且BC= AD，BE∥AF且BE= AF，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn).①證明：四邊形BCHG是平行四邊形；②C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面？為什么？,【解題指南】(1)根據(jù)確定平面的公理及推論進(jìn)行判斷.(2)①證明BC、GH平行且相等即可；②證明EF∥CH，由此構(gòu)成平面，再證點(diǎn)D在該平面上．,【規(guī)范解答】(1)選B.①假設(shè)其中有三點(diǎn)共線，則該直線和直線外的另一點(diǎn)確定一個(gè)平面.這與四點(diǎn)不共面矛盾，故

14、其中任意三點(diǎn)不共線，所以①正確.②從條件看出兩平面有三個(gè)公共點(diǎn)A、B、C，但是若A、B、C共線，則結(jié)論不正確；③不正確；④不正確，因?yàn)榇藭r(shí)所得的四邊形的四條邊可以不在一個(gè)平面上，如空間四邊形.,(2)①由題設(shè)知，F(xiàn)G=GA，F(xiàn)H=HD，所以GH∥AD且GH= AD,又BC∥AD且BC= AD，故GH∥BC且GH=BC，所以四邊形BCHG是平行四邊形．,②C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面．理由如下：由BE∥AF且BE= AF，G是F

15、A的中點(diǎn)知，BE∥GF且BE=GF，所以四邊形EFGB是平行四邊形，所以EF∥BG.由①知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC，F(xiàn)H共面.又點(diǎn)D在直線FH上，所以C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面.,【互動(dòng)探究】本例第(2)題的條件不變，如何證明“FE，AB，DC交于一點(diǎn)”？【證明】由例題可知，四邊形EBGF和四邊形BCHG都是平行四邊形，故可得四邊形ECHF為平行四邊形．∴EC∥HF，且EC= DF．∴四邊形ECDF為梯形．∴

16、FE，DC交于一點(diǎn)，設(shè)FE∩DC=M．,∵M(jìn)∈FE，F(xiàn)E?平面BAFE，∴M∈平面BAFE．同理M∈平面BADC．又平面BAFE∩平面BADC=BA，∴M∈BA．∴FE,AB,DC交于一點(diǎn)．,【反思·感悟】點(diǎn)共線和線共點(diǎn)問題，都可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)在直線上的問題來處理，實(shí)質(zhì)上是利用公理3，證明點(diǎn)在兩平面的交線上，解題時(shí)要注意這種轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用．,【變式備選】如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AD，BC，CD

17、上的點(diǎn)，設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P．求證：P、A、C三點(diǎn)共線．【證明】∵EG∩FH=P，P∈EG，EG?平面ABC，∴P∈平面ABC．同理P∈平面ADC.∴P為平面ABC與平面ADC的公共點(diǎn)．又平面ABC∩平面ADC=AC.∴P∈AC.∴P、A、C三點(diǎn)共線．,空間中兩直線的位置關(guān)系【方法點(diǎn)睛】判定空間直線位置關(guān)系的方法空間中兩直線位置關(guān)系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定，對(duì)于異面直線，可采用直接法或反證法；對(duì)于平行直線，可

18、利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、公理4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理；對(duì)于垂直關(guān)系，往往利用線面垂直的性質(zhì)來解決．【提醒】在空間中兩直線的三種位置關(guān)系中，驗(yàn)證異面直線及其所成角是考查的熱點(diǎn).,【例2】如圖，在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，則在下列命題中，錯(cuò)誤的為( )(A)AC⊥BD(B)AC∥截面PQMN(C)AC=BD(D)異面直線PM與BD所成的角為45°【解題指南】結(jié)合圖形，根據(jù)有關(guān)的知識(shí)逐一

19、進(jìn)行判斷．注意本題選擇的是錯(cuò)誤選項(xiàng)！,【規(guī)范解答】選C.因?yàn)樗倪呅蜳QMN為正方形，所以PQ∥MN，又PQ平面ADC，MN?平面ADC，所以PQ∥平面ADC.又平面BAC∩平面DAC=AC，所以PQ∥AC.同理可證QM∥BD.由PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正確；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正確；異面直線PM與BD所成的角等于PM與PN所成的角，故D正確；綜上知C錯(cuò)誤.,【反思·

20、感悟】解決此類問題常出現(xiàn)的錯(cuò)誤是不善于挖掘題中的條件，不能將問題適當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化；另外，圖形復(fù)雜、空間想象力不夠、分析問題不到位等，也是常出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因．,【變式訓(xùn)練】設(shè)A，B，C，D是空間四個(gè)不同的點(diǎn)，在下列命題中，不正確的是( )(A)若AC與BD共面，則AD與BC共面(B)若AC與BD是異面直線，則AD與BC是異面直線(C)若AB=AC，DB=DC，則AD⊥BC(D)若AB=AC，DB=DC，則AD=BC,【解析】選D.對(duì)于

21、A，易知點(diǎn)A，B，C，D共面，故AD與BC共面，所以A正確；對(duì)于B，假設(shè)AD與BC不異面，則可得AC與BD共面，與題意矛盾，故B正確；對(duì)于C，如圖，E為BC中點(diǎn)，易證得直線BC⊥平面ADE，從而AD⊥BC，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)四點(diǎn)構(gòu)成空間四面體時(shí)，只能推出AD⊥BC，但二者不一定相等，故D錯(cuò)誤.,異面直線所成的角【方法點(diǎn)睛】1.找異面直線所成的角的方法一般有三種找法：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作

22、平行線平移；補(bǔ)形平移．2.求異面直線所成角的步驟(1)作：通過作平行線，得到相交直線；(2)證：證明相交直線所成的角或其補(bǔ)角為異面直線所成的角；(3)算：通過解三角形，求出該角．,【例3】(2012·銀川模擬)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，(1)求A1C1與B1C所成角的大??；(2)若E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，求A1C1與EF所成角的大小.【解題指南】利用正方體中的平行關(guān)系，將兩異面直

23、線所成的角轉(zhuǎn)化成三角形的內(nèi)角進(jìn)行求解．,【規(guī)范解答】(1)如圖，連接AC、AB1，由ABCD-A1B1C1D1是正方體，知AA1C1C為平行四邊形，所以AC∥A1C1，從而B1C與AC所成的角就是A1C1與B1C所成的角.由AB1=AC=B1C可知∠B1CA=60°,即A1C1與B1C所成角為60°.,,,,,,,,,,,,,,,,B,A,E,C,D,F,D1,B1,C1,A1,,,,,,(2)如圖，連接B

24、D，由AA1∥CC1，且AA1=CC1可知A1ACC1是平行四邊形，∴AC∥A1C1.∴AC與EF所成的角就是A1C1與EF所成的角.∵EF是△ABD的中位線，∴EF∥BD.又∵AC⊥BD,∴EF⊥AC,即所求角為90°.,【反思·感悟】1.求異面直線所成的角時(shí)，常采用平行平移的方法，轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角來求解.解題時(shí)常常借助三角形的中位線來完成轉(zhuǎn)化.2.在求異面直線所成的角時(shí)常犯的錯(cuò)誤是忽視角的范圍，如在

25、解三角形的過程中求得三角形內(nèi)角的余弦值為負(fù)時(shí)，必須轉(zhuǎn)化為(0， ］內(nèi)的角．,【變式訓(xùn)練】如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，求：(1)異面直線AB與A1D1所成的角；(2)AD1與DC1所成的角.,【解析】(1)∵A1B1∥AB，而A1D1⊥A1B1，∴A1D1⊥AB，∴AB與A1D1所成的角為90°.(2)連接AB1，B1D1，∵AB1∥DC1，∴AB1與AD1所成的角即為DC1與AD1所成的角.

26、又AD1=AB1=B1D1，∴△AB1D1為正三角形.∴AD1與AB1所成的角為60°.∴AD1與DC1所成的角為60°.,【變式備選】在空間四邊形ABCD中，已知AD=1， 且AD⊥BC，對(duì)角線 求AC和BD所成的角．,【解析】如圖，分別取AD、CD、AB、BD的中點(diǎn)E、F、G、H，連接EF、FH、HG、GE、GF.由三角形的中位線定理知,

27、EF∥AC，且 GE∥BD，且 GE和EF所成的銳角(或直角)就是AC和BD所成的角.同理， GH∥AD，HF∥BC，又AD⊥BC，∴∠GHF=90°，∴GF2=GH2+HF2=1，在△EFG中，EG2+EF2=1=GF2，∴∠GEF=90°，即AC和BD所成的角為90°.,【滿分指導(dǎo)】求異面直線所成角主觀題的規(guī)范解答【典例】(12

28、分)(2011·上海高考改編)已知ABCD—A1B1C1D1是底面邊長為1的正四棱柱，高AA1=2，求(1)異面直線BD與AB1所成角的余弦值；(2)四面體AB1D1C的體積.【解題指南】(1)利用平行平移法得到異面直線所成的角，轉(zhuǎn)化為解三角形的問題；(2)利用割補(bǔ)法求體積即可．,【規(guī)范解答】(1)連BD，AB1，B1D1，AD1.……………………1分∵BD∥B1D1,∴異面直線BD與AB1所成角為∠AB1D1(或

29、其補(bǔ)角)，記∠AB1D1=θ, …………………………3分由已知條件得在△AB1D1中，由余弦定理得 ………6分∴異面直線BD與AB1所成角的余弦值為 ………………………………………………………………7分,(2)連接AC，CB1，CD1，則所求四面體的體積…………………………………………………………………12分,【閱卷人點(diǎn)撥】通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以

30、下失分警示和備考建議：,1.(2011·浙江高考)若直線l不平行于平面α，且lα，則( )(A)α內(nèi)的所有直線與l異面(B)α內(nèi)不存在與l平行的直線(C)α內(nèi)存在唯一的直線與l平行(D)α內(nèi)的直線與l都相交,【解析】選B.由題意可得直線l與平面α相交，如圖:對(duì)A，由于α內(nèi)所有不過交點(diǎn)的直線與l異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，如果α內(nèi)存在與l平行的直線，則直線l與α平行，直線不存在，故B正確；對(duì)C，可得直線l與α平行

31、，與題設(shè)不符，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，α內(nèi)所有不過交點(diǎn)的直線與l異面，故D錯(cuò)誤.,2.(2012·福州模擬)如圖在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為( ),【解析】選D.連接BC1，A1C1，則BC1∥AD1，∴∠A1BC1為異面直線A1B與AD1所成角或所成角的補(bǔ)角，設(shè)AB=1，則A1A=2，在△A1BC1中，由余弦定理得：,3.(2

32、012·鄭州模擬)已知：空間四邊形ABCD(如圖所示)，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，G、H分別是BC、CD上的點(diǎn)，且 求證：(1)E、F、G、H四點(diǎn)共面；(2)三直線FH、EG、AC共點(diǎn).,【解析】(1)連接EF、GH.由E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，∴EF BD，又CG= BC，CH= DC，∴HG BD，∴EF∥HG且EF≠HG.∴EF、HG可確定平面α,即E、F、G、H