空間分析-5-6空間點數(shù)據(jù)分析

1、第五講 空間點數(shù)據(jù)分析,引言點數(shù)據(jù)概述點數(shù)據(jù)分析,--Spatial Point Data Analysis--,1. 引言,點模式分析由植物學家和生態(tài)學家在1930s應用。但是，隨后許多不同領域也開始應用點模式分析，如考古學、流行病學、天文學和犯罪學。一般來說，點模式分析可以用來描述任何類型的事件數(shù)據(jù)（incident data）。因為每一事件都可以抽象化為空間上的一個位置點。,搶劫案,Data,城市發(fā)展的空間演變模式,星羅

2、棋布的村莊,http://www.sphere.ad.jp/togen/photo-n.html,,來源：USGS,Arp 272是兩個螺旋星云——NGC 6050 和 IC 1179相撞形成的，這兩個星云的螺旋臂相互扭結在一起。它們是武仙座星群的一部分。武仙座星群是已知的宇宙中最大的結構：所謂的長城的一部分。Arp 272距離地球大約4.5億光年。,http://news.xinhuanet.com/photo/2008-04/25/

3、content_8047673_4.htm,Arp 240是一對大小相似的螺旋星云——NGC 5257 和NGC 5258。這兩個星系顯然通過一個暗淡的恒星橋相互作用。它們兩個的中心都有超大質量黑洞。Arp 240位于室女座內，距離地球大約3億光年。,http://news.xinhuanet.com/photo/2008-04/25/content_8047673_6.htm,ESO 99-4是一個擁有奇特形狀的星系，它可能是一個早期

4、合并過程的殘余物，沒有成形。ESO 99-4位于北三角座內，距離地球大約4億光年。,軋制鋼橫截面（100×100 微米）573個碳化物顆粒中心,混凝土（10×10×10毫米）（白色為切的剛玉顆粒，黑色為氣孔）,細胞表面的蛋白質位置矩形大?。?07×119 微米,血液樣本（紅細胞為黑色）矩形大?。?25×182 微米,“點”模式在自然與社會經(jīng)濟中普遍存在。 識別空間點模式(spat

5、ial point pattern)的目的是為了更好地理解空間點過程(spatial point progress)，揭示隱藏在空間模式表象之下的空間過程的機理?！?空間隨機/ 聚集/均勻— 過程建模,2. 點數(shù)據(jù)概述,隨機分布：任何一點在任何一個位置發(fā)生的概率相同，某點的存在不影響其它點的分布。又稱泊松分布(Poisson distribution)。均勻分布：個體間保持一定的距離，每一個點盡量地遠離其周圍的鄰近點。在單位(樣方

6、)中個體出現(xiàn)與不出現(xiàn)的概率完全或幾乎相等。聚集分布：許多點集中在一個或少數(shù)幾個區(qū)域，大面積的區(qū)域沒有或僅有少量點?？傮w中一個或多個點的存在影響其它點在同一取樣單位中的出現(xiàn)概率。,空間點數(shù)據(jù)的三種基本分布模式,點數(shù)據(jù)的三種基本空間分布模式,怎樣描述點模式?,一階效應(First-Order Effects)事件間的絕對位置具有決定作用，單位面積的事件數(shù)量在空間上有比較清楚的變化。如，空間上平均值/密度的變化。二階效應(Secon

7、d-Order Effects)事件間的相對位置和距離具有決定作用。如，空間相互作用。,3.1 基于密度的方法：測度一階效應,3. 點數(shù)據(jù)分析,3.2 基于距離的方法：測度二階效應,最近鄰距離： G 函數(shù)、 F 函數(shù) 最近鄰距離的統(tǒng)計檢驗 K 函數(shù) (K Function),樣方分析 樣方分析的統(tǒng)計檢驗 核密度估計,空間點數(shù)據(jù)分析架構,3. 點數(shù)據(jù)分析,3.1 基于密度的方法 ① 樣方分析(Quadra

8、t analysis)② 樣方分析的統(tǒng)計檢驗 ③ 核密度估計 (Kernel Density Estimation),利用所有點：樣方的形狀、大小、方向對結果有影響如果樣方太大/小，那么 ……?,隨機抽樣方法：有增加樣本量的作用可以描述一個沒有完全數(shù)據(jù)的空間點過程,①樣方分析-兩種方式,樣方形狀,http://psychology.exeter.ac.uk/lundy/quadrat.htm,The term “Quad

9、rat” strictly means a four sided figure, but in practice this term is used to mean any sampling unit, whether square, rectangular, circular, hexagonal or even irregular in outline.,樣方分析步驟,a). 研究區(qū)域中打上網(wǎng)格，建議方格大小為： QuadratS

10、ize = 2A /n A：研究區(qū)域面積，n：點的個數(shù)。b). 確定每個網(wǎng)格中點的個數(shù)。c). 計算均值(Mean)、方差(Var)和方差均值比:VMR=Var/Mean,對于均勻分布，方差=0，因此VMR的期望值= 0；對于隨機分布，方差=均值，因此VMR的期望值= 1；對于聚集分布，方差大于均值。因此VMR的期望值 >1 。,注: N = 樣方數(shù)量 = 10,隨機,,隨機,聚集,x,均勻,x,x,樣方

11、分析的缺點,結果依賴于樣方的大小和方向。,總的模式是分散的，但局部有聚集現(xiàn)象。,樣方分析主要依據(jù)點密度， 而不是點之間的相互關系，所以不能區(qū)別圖示的兩種情況：,樣方分析不能探測區(qū)域內的變化。,密度：,密度依賴于研究區(qū)域的大小。a： a, 4a, 16a, 64an： 2, 2, 5, 10 ：2.0, 0.5, 0.31, 0.15,,樣方分析：K-S檢驗,D檢驗,如何

12、比較精確地檢驗零假設？H0：沒有空間模式假設在一區(qū)域內通過隨機放點來模擬零假設，并計算其方差-均值比（VMR）。更進一步地，假如重復模擬1000次，得到模擬結果的直方圖，當H0為真時，1000次VMR的均值將接近于1。直方圖中VMR的尾部值（VMR的抽樣分布），當零假設為真時相對稀少。,②樣方分析的統(tǒng)計檢驗-方差均值比的x2檢驗,如果觀測模式的VMR大于VMRH，則拒絕零假設，相對于隨機模式而言觀測值更趨于均勻分布；如果觀測模式的V

13、MR小于VMRL，也拒絕零假設，相對于隨機模式而言觀測值更趨于聚集分布。,當H0為真時VMR的抽樣分布,如果觀測到VMR的極值（大于VMRH或小于VMRL），則拒絕沒有空間模式的零假設。在這種情況下，1）零假設實際上是真的，而我們拒絕了它，犯了第I類錯誤（棄真）；2）零假設不是真的，我們做了一個正確的決定。為了確定臨界值點（VMRH、VMRL ），首先必須確定所容許犯第I類錯誤的概率。,如果α=0.05，那么1000次模擬當中50個較大

14、的值用于獲取臨界值（50/1000=0.05）。如果把1000次模擬的VMR值從小到大依次排序，第25個值將作為VMRL ，當H0為真時1000次中有25次低于VMRL ；相似地，第975個值將作為VMRH，當H0為真時1000次中有25次高于VMRH 。這樣，當采用該臨界值時，1000次當中有50次，或5%的幾率犯第I類錯誤。,樣方分析：假設檢驗示例,判斷下圖是否空間隨機（共100個點，分布于10×10的樣方內） ？,均值：

15、100/（10×10）=1含3個點的樣方：6個含2個點的樣方：20個含1個點的樣方：42個含0個點的樣方：32個,方差為：{6(3-1)2+20(2-1)2+42(1-1)2+32(0-1)2} /(100-1)=0.77,VMR = 0.77/1 = 0.77<1，趨于均勻分布。如果H0為真，0.77是否小到可以拒絕原假設？,方法：隨機模擬，均值=1重復模擬1000次，建立VMR的抽樣分布，得到的結果從小到

16、大排序。第25個最小值VMRL =0.747，第975個值VMRH =1.313。由于VMRL <0.77< VMRH ，接受原假設，即隨機情況下VMR=0.77不是特別不正常。上述方法即所謂的蒙特卡羅模擬（Monte Carlo Simulation）。優(yōu)點：易于理解和實現(xiàn)缺點：不同的人得到的模擬結果不同，e.g. 10個人可能得到 10個不同的臨界值。,蒙特卡羅模擬方法的基本思想,圓的外切正方形的邊長。,,蒙

17、特卡羅模擬方法的基本思想,,,,,,,,,,,,,,蒙特卡羅模擬方法的基本思想,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,當H0為真時，有一個簡單的方法可以避免采用前述的模擬方法。臨界值可用x2 =(m-1)VMR具有m-1個自由度的x2 分布表確定。當自由度（df）比較大時，

18、 x2 =(m-1)VMR趨于正態(tài)分布。特別地，當H0為真、df > 30的情況下， (m-1)VMR具有均值為m-1、方差為2(m-1）的正態(tài)分布。這意味著,是均值為0、方差為1的標準正態(tài)分布。 在α=0.05的情況下，臨界值分別為zL=-1.96、zH=+1.96。如果zzH ，則拒絕原假設。上例中：,自由度小于30的情況100個點，5×5樣方：VMR = 0.6875。x2=(25-1)×VMR=16.

19、5,由于自由度（df）小于30，需要應用x2分布表。查找df=24、p=0.025和p=0.975，并進行插值，得到上、下臨界值40.5、12。,因為12<16.5< 40.5，所以接受零假設。點模式為空間隨機分布。,,,,基本思想：在研究區(qū)域內的任一點都有一個密度，而不僅僅是在事件點上。該密度通過計數(shù)一定區(qū)域內的事件點數(shù)量，或核(Kernel)進行估計。核以估計點為中心，一定距離為半徑。,其中：C(p,r) 是以待估

20、點p為 圓心、r為半徑的圓。,帶寬：r如果 r太大/小，那么…… ?r 固定？ r 變化？,③ 核密度估計(Kernel Density Estimation, KDE),邊界?,Kernel Windows,© Paul Bolstad, GIS Fundamentals,帶寬選擇是核密度估計中一個具有挑戰(zhàn)性的問題，可以采用不同的帶寬對同一問題進行分析，探測模式的異質性。,,Analysis,,密度估計(帶寬700Km

21、),密度估計(帶寬300Km),密度估計(帶寬500Km),Quartic Kernel Funktion,A,B,C,r = 500m,r = 1000m,r = 3000m,核密度估計(KDE)用途：可視化點模式進行熱點 (hot spot)探測；離散?連續(xù)。 如，疾病與污染。,Spatial smoothing,,Cluster detection,,3.1 基于密度的方法：測度一階效應,3. 點數(shù)據(jù)分析,3.2 基于距

22、離的方法：測度二階效應,最近鄰距離：G 函數(shù)、F 函數(shù) 最近鄰距離的統(tǒng)計檢驗 K 函數(shù),樣方分析 樣方分析的統(tǒng)計檢驗 核密度估計,3.2 基于距離的方法：測度二階效應 ①最近鄰距離方法,計算每個點到其最近鄰點之間的距離， 然后計算所有點最近鄰距離的平均值。對每一個點，根據(jù)其歐幾里德距離最小確定其最近鄰點。平均最近鄰距離的大小，反映點在空間的分布特征。最近鄰距離越小，說明點在空間分布越密集，反之，越離散。,3.2 基于距

23、離的方法 ①最近鄰距離方法：G函數(shù)(Event-Event),歐幾里德距離：,3.2 基于鄰距離的方法 ①最近鄰距離方法：G函數(shù)(Event-Event),與最近鄰距離只采用平均距離不同，G函數(shù)基于最近鄰距離的所有頻率分布。,如果是聚集分布， 的值是大是??？,2024/3/20,河南大學環(huán)境與規(guī)劃學院 zhaoy@henu.edu.cn,52,最近鄰距離的最小值是9.00，即點4&8和點8&4之間的距離，

24、有兩個， 2/12=0.167，所以G(d)在距離等于9時的值為0.167。下一個最近鄰距離的最小值是15.64，即點2的最近鄰距離，有一個，加上前面的兩個最近鄰距離(即9)共有3個，3/12=0.25，所以G(d)在距離等于15.64時的值為0.25。依次累積下去，得到G函數(shù)。,如果點是聚集的，G(d)在短距離內急速上升。如果點趨于均勻分布， G(d)在一定距離內緩慢上升，在該距離內包含大多數(shù)點，之后G(d)快速上升。,3.2

25、基于距離的方法：測度二階效應 ①最近鄰距離方法：F函數(shù)(Point-Event),與G函數(shù)僅僅基于事件間最近鄰距離的頻率分布不同，F(xiàn)函數(shù)基于區(qū)域內任意位置點與事件間最近鄰距離的頻率分布。,三個步驟：隨機選擇m個位置{p1, p2, …, pm}；計算dmin(pi, s) ：pi到點模式S中的任一事件的最小距離；計算：,如果事件是聚集的， F(d)先緩慢上升，而在遠距離處急速上升，因為研究區(qū)的大部分地方?jīng)]有事件點。如果點趨于

26、均勻分布，F(xiàn)(d)先快速上升，而在遠距離處上升緩慢。,G 函數(shù)與 F 函數(shù)的比較,G 函數(shù)與 F 函數(shù)的比較,3.2 最近鄰距離方法②最近鄰距離統(tǒng)計量的統(tǒng)計檢驗,Clark & Evans（1954）發(fā)展了一個最近鄰分析用于分析植物種類的空間分布。采用最近鄰距離的平均值與隨機模式下的期望值之比構建一個所謂的最近鄰統(tǒng)計量：,其中， 為平均最近鄰距離， 為單位面積的點數(shù)。,R的取值從0（所有點聚集到一起）到理論最大值2.

27、14（正六邊形完全均勻）。 R=1表示隨機模式，即觀測值與隨機分布下的期望值相等。,方差：,Clark, P. J. , Evans F. C. Distance to Nearest Neighbor as a Measure of Spatial Relationships in Populations. Ecology, 1954, 35(4): 445-453.,最近鄰指數(shù)(NNI) ：,R的取值從0（所有點聚集到一起）到理論最

28、大值2.14（正六邊形完全均勻）。 如果：R = 0, 所有的點集中于同一位置?聚集分布。如果：R = 1, 無分布模式?隨機分布。即觀測值與隨機分布下的期望值相等。如果：R >1, 每個點趨近于等間距?均勻分布。,60,60,61,61,Step 1: 計算每一個點到其最近鄰的距離（通過計算直角三角形的斜邊）：,62,62,Step 2: 計算不同條件下的距離如果模式是隨機的，平均距離為?其中，密度

29、= n / 面積 = 6/88 = 0.068如果模式完全聚集 (所有點在同一個位置), 那么：如果模式完全分散，那么：,(Based on a Poisson distribution),63,63,Step 3: 計算標準最近鄰指數(shù) (NNI )：,= slightly more dispersed than random,,0,1,,,,2.14,完全聚集（Perfectly clustered）,隨機,完全分

30、散（Perfectly dispersed）,More dispersedthan random,More clusteredthan random,,,空間隨機分布條件下，給定面積內恰有n個點的概率可以用泊松分布描述：,Clark, P. J. , Evans F. C. Distance to Nearest Neighbor as a Measure of Spatial Relationships in Populatio

31、ns[J]. Ecology, 1954, 35(4): 445-453.,Clark, P. J. , Evans F. C. Distance to Nearest Neighbor as a Measure of Spatial Relationships in Populations[J]. Ecology, 1954, 35(4): 445-453.,假設給定面積是半徑為r的圓k等分的一部分，令 為分布的平均密度，那么

32、有：,表示任意給定面積 內，恰有n個點的概率；而 表示任意給定面積內不包含任何事件點的概率（n=0）。,如果圓心任意選取，那么給定面積中距圓心為r的距離內不包含點的概率也為 。作為r的一個函數(shù)，它是到最近鄰的距離≥r的比例。相應地， 是到最近鄰距離≤r的比例。,對 關于

33、r微分，得到 作為r的概率分布函數(shù)。 r的期望（均值），即Re，可以通過r乘以其概率分布函數(shù)并從0到無窮大積分得到。,若取圓為單位圓，即 ，則：,（ ）,（ ）,r的二階矩，E(r2)，可以通過r2乘以其概率分布函數(shù)，并從0到無窮大進行積分得到。,若取圓為單位圓，即 ，

34、則：,（ ）,r的方差為：,若取圓為單位圓，即 ，則r的標準差為：,因此，r的標準差為：,（ ）,最近鄰距離統(tǒng)計量的構建,根據(jù)上述均值和標準差，可以構造出一個服從標準正態(tài)分布N(0,1)的統(tǒng)計量：,當顯著性水平為 時，Z的置信區(qū)間為 。如果 或 ，則觀測模式和完全空間

35、隨機（CSR）之間存在顯著的差異。若Z的符號為負，則模式趨向于聚集；若Z的符號為正，則模式趨向于均勻分布。,,判斷下圖（7×6矩形）的空間分布模式，并進行統(tǒng)計檢驗。,例子：最近鄰統(tǒng)計量,Rogerson, P. A. Statistical Methods for Geography . Sage Publications Ltd, 2001. p.163,平均最近鄰距離： =(1+1+2+3+3+3+3)/6=2.

36、1676個點隨機分布在7×6的矩形內的平均最近鄰距離的期望值為：,例子：最近鄰統(tǒng)計量,近鄰距離統(tǒng)計量為R=2.167/1.323=1.638，即觀測模式的平均最近鄰距離大于完全空間隨機（CSR）模式下的值，模式趨于均勻分布。檢驗統(tǒng)計量：因此，在5%的顯著性水平上，拒絕空間隨機分布的零假設。,例子：最近鄰統(tǒng)計量,但我們忘記了對分析結果具有明顯影響的邊界效應?？梢杂?Monte Carlo模擬方法，在x軸上(0,7)

37、和y軸上(0,6)區(qū)間內隨機選取6個點，并計算其最近鄰距離。模擬10000次，然后計算其平均最近鄰距離，比如為1.62，大于前述的Re=1.323。這主要是因為相對于假想的區(qū)域外的點而言，區(qū)域內靠近邊界上的點與區(qū)域內其他點之間的距離較遠。,例子：最近鄰統(tǒng)計量,對10000次模擬結果從小到大進行排序，顯示第9500個值為2.29。平均最近鄰距離僅有5%的機會大于2.29，我們的觀測模式的平均最近鄰距離為2.167<2.29，因此，在

38、通過Monte Carlo模擬考慮邊界效應后，接受空間分布模式為隨機的零假設。,3.2 基于距離的方法 ③K 函數(shù),Ripley(1976)提出。The K function (variously called ''Ripley's K-function'' and the ''reduced second moment function'') Ripley

39、’s K function can be used to summarize a point pattern, test hypotheses about the pattern, estimate parameters and fit models.,Ripley, B. D. The Second-Order Analysis of Stationary Point Processes. Journal of Applied Pro

40、bability, 1976, 13(2): 255-266.,Volume 3, pp.1796-1803 in Encyclopedia of Environmetrics,與G函數(shù)、F函數(shù)只使用事件或點的最近鄰距離不同，K函數(shù)基于事件間的所有距離。因此，K函數(shù)不僅能探測空間模式，而且可以給出空間模式和尺度的關系。,③K 函數(shù),定義：,K(d) 可以在許多不同的距離尺度上描述點過程的特征。Many ecological point

41、 patterns show a combination of effects, e.g. clustering at large scales and regularity at small scales. The combination can be seen as a characteristic pattern in a plot of the K function.,Volume 3, pp.1796-1803 in Ency

42、clopedia of Environmetrics,假設:平穩(wěn)性(Stationary)：統(tǒng)計特征獨立于絕對位置。特別地，均值和方差是不依賴于空間位置的常數(shù)；協(xié)方差僅依賴于兩點之間的相對位置、距離和方向，而與空間上的絕對位置無關。各向同性( Isotropy)：No directional detection,Ripley’s K 函數(shù),平穩(wěn),各向同性,Cov(Y(s1),Y(s2))=Cov(Y(s9),Y(s10)),Cov

43、(Y(s1),Y(s2)) ≠Cov(Y(s3),Y(s4)),Cov(Y(s1),Y(s2)) =Cov(Y(s3),Y(s4)),K 函數(shù),,,,,經(jīng)驗K函數(shù)估計的四個步驟：對于每一個事件si ，以si為圓心、d 為半徑畫圓C(si,d)計算圓內其他事件點的數(shù)量,3) 計算同一半徑下所有事件的均值,4) 均值除以研究區(qū)內事件密度 得：,聚集?,均勻?,K 函數(shù),每個圓的面積為 ， 為單位面積的

44、事件平均密度。因此， CSR下K(d)的期望值為：,K 函數(shù),當,平均點數(shù)高于CSR下的期望值，在尺度d上聚集。,平均點數(shù)低于CSR下的期望值，在尺度d上分散。,當,K 函數(shù) ? L函數(shù),由于K(d)基于平方距離進行計算，對于大的d其結果會變得非常大，為此，可將K(d)的期望值轉換為零：,當L(d)>0，在尺度d上聚集。當L(d)<0，在尺度d上分散。,K函數(shù)的檢驗：Monte Carlo模擬假設在CSR條件下，對n個

45、事件進行m次獨立的模擬，計算其經(jīng)驗L函數(shù)，并取其上、下界：,邊界校正：,K 函數(shù),邊界校正：1）Ripley校正(Ripley,1977),K 函數(shù),wi是圓C(si, d)位于研究區(qū)域內的比例。2）建立警戒區(qū)：位于警戒區(qū)內的點在計算K(d)時采用，但不作為點模式的一部分。3）環(huán)形邊緣校正（Toroidal edge correction）：假設研究區(qū)的上部和左部分別與下部和右部連接，好像研究區(qū)域是一個圓環(huán)（torus），僅用于矩

46、形研究區(qū)域。,Yamada, I. , Rogerson P. A. An Empirical Comparison of Edge Effect Correction Methods Applied to K-function Analysis[J]. Geographical Analysis, 2003, 35(2): 97-109.,例子：R package spatstatA point pattern giving the

47、 locations of 3605 trees in a tropical rain forest. Accompanied by covariate data giving the elevation (altitude) and slope of elevation in the study region.,K 函數(shù),> library(spatstat)> data(bei)> plot(bei),Barr

48、o Colorado Island熱帶雨林內1000 × 500 m的矩形抽樣區(qū)域,> plot(Kest(bei)) #K function> plot(Lest(bei)) #L function,plot(Kest(bei,correction="none")) #無邊界校正,plot(Kest(bei,correction="Ripley")) #Ripley校

49、正,K 函數(shù)的Monte Carlo模擬,> plot(envelope(simdat, Kest, nsim=99)),空間點數(shù)據(jù)分析總結,基于密度的方法： 樣方分析?統(tǒng)計分析核密度估計基于距離的方法： NND（G/F函數(shù)）?統(tǒng)計分析K函數(shù)：統(tǒng)計模擬檢驗、邊界校正,2024/3/20,河南大學環(huán)境與規(guī)劃學院 zhaoy@henu.edu.cn,93,空間點數(shù)據(jù)分析學習資料,書籍： Bailey, T. an

50、d Gatrell, A. (1995) Interactive Spatial Data Analysis, Longman. pp.98-103. O’Sullivan D. and Unwin D.(2003) Geographic information Analysis, John Wiley & Sons. pp.77-114 Rogerson, P. A. Statistical Methods for

51、Geography . Sage Publications Ltd, 2001. pp.154-164 王遠飛，何洪林. 編著 (2007) 空間數(shù)據(jù)分析方法, 科學出版社. pp.57-93.文章：Clark, P. J. , Evans F. C. Distance to Nearest Neighbor as a Measure of Spatial Relationships in Populations. Ecolog