概率論第1講

1、2024/3/19,1,概率論第1講,第一章　預(yù)備知識(shí),本文件可從網(wǎng)址http://appmath.cn上下載,2024/3/19,2,概率論是研究隨機(jī)事件的規(guī)律性的一個(gè)數(shù)學(xué)分支, 直觀地說(shuō)是指這樣的事件: 在一次試驗(yàn)中, 它出現(xiàn)與否是具有偶然性的, 但是在大量重復(fù)試驗(yàn)中, 它卻是具有內(nèi)在的必然性即規(guī)律性的.,2024/3/19,3,第一章 預(yù)備知識(shí),第一節(jié) 排列與組合,2024/3/19,4,乘法原理: 如果一個(gè)過(guò)程可以分成兩個(gè)

2、階段進(jìn)行, 第一個(gè)階段有m種不同的做法, 第二個(gè)階段有n種不同的做法, 且第一個(gè)階段的任一種做法都可以與第二個(gè)階段的任一種做法配成整個(gè)過(guò)程的一種做法, 那末整個(gè)過(guò)程應(yīng)該有m?n種的做法.,2024/3/19,5,一, 排列從n個(gè)不同的元素中, 任意取出r個(gè)不同的元素(0 < r ? n)按照一定的順序排成一列, 這樣的一列元素叫做從n個(gè)不同元素中取r個(gè)不同元素組成的一種排列. 對(duì)于所有不同排列的種數(shù), 通常表示為,2024/3/

3、19,6,先設(shè)0<r<n, 每一種排列由在r個(gè)有次序位置上各放上一個(gè)元素所組成. 第一個(gè)位置上的元素有n種不同的取法; 在它取定之后, 第二個(gè)位置上的元素只有n-1種不同的取法; 前兩個(gè)元素取定之后, 第三個(gè)位置上的元素只有n-2種不同的取法; 依次類(lèi)推, 第r個(gè)位置上的元素只有n-r+1種不同的取法, 因此按乘法原理, 所求排列種數(shù)為,2024/3/19,7,或改寫(xiě)為,2024/3/19,8,當(dāng)r=n時(shí), 所求排列種數(shù)為n

4、!. 若規(guī)定0!=1, 則上式仍然成立. 因此, 當(dāng)0<r?n時(shí), 上述排列問(wèn)題的答案總可以表達(dá)成,2024/3/19,9,例1 計(jì)算從八個(gè)不同的元素中任取三個(gè)的排列種數(shù).解 所求排列種數(shù)為,2024/3/19,10,例2 從1,2,3,4,5,6,7七個(gè)數(shù)中任取三個(gè)不同的數(shù)組成的三位數(shù)中有幾個(gè)是偶數(shù)?解 所得的三位數(shù)是偶數(shù), 它的個(gè)位上應(yīng)是2,4,6中的一個(gè). 因此, 按置在個(gè)位上的數(shù)有三種不同的取法, 而十位, 百位上的數(shù)

5、共有6?5種不同的取法. 從而所求的個(gè)數(shù)為 3?6?5=90,2024/3/19,11,以上排列問(wèn)題中參加排列的元素是不允許重復(fù)的. 但有時(shí)需要考慮允許重復(fù)的情況, 例如電話號(hào)碼就允許數(shù)字重復(fù). 現(xiàn)考慮從n個(gè)各不相同的元素里任取一個(gè), 然后放回去, 再取一個(gè), 然后又放回去, 這樣共進(jìn)行r次, 問(wèn)所得不同的排列共有多少種? 顯然, 這種情況下排列種數(shù)共有,2024/3/19,12,例3 用0,1,2,...,9這十個(gè)

6、數(shù)字組成三位數(shù), 在這些三位數(shù)中,(1) 如考慮數(shù)字可以重復(fù), 問(wèn)可以組成多少不同的三位數(shù)?(2) 三個(gè)數(shù)字沒(méi)有重復(fù)的有幾個(gè)?(3) 三個(gè)數(shù)字都相同的有幾個(gè)?(4) 只有兩個(gè)數(shù)字相同的有幾個(gè)?,2024/3/19,13,解 (1) 在數(shù)字可以重復(fù)的情況下, 計(jì)算能組成多少個(gè)不同的三位數(shù)時(shí), 由于百位數(shù)上不能放置0, 所以組成的不同的三位數(shù)的個(gè)數(shù)應(yīng)為 9?10?10=900,2024/3/19,14,(2

7、) 百位上的數(shù)字有9種不同的取法. 在百位上的數(shù)字取定后, 十位上的數(shù)字有9種不同的取法. 在百位和十位上的數(shù)字都取定后, 個(gè)位上的數(shù)字只有8種不同的取法, 所以沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為 9?9?8=648.,2024/3/19,15,(3) 由于百位上的數(shù)字有9種不同的取法, 在百位上的數(shù)字取定后, 十位上及個(gè)位上的數(shù)字隨之而定, 所以三個(gè)數(shù)字都相同的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為9.,2024/3/19,16,(4) 只

8、有百位上與十位上的數(shù)字相同的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為9?9, 只有十位上與個(gè)位上的數(shù)字相同的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為9?9, 只有百位上與個(gè)位上的數(shù)字相同的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為9?9. 所以只有兩個(gè)相同數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為9?9+9?9+9?9=243,2024/3/19,17,二, 組合設(shè)有n個(gè)不同的元素, 從它們中間任取r個(gè)(0 < r ? n)構(gòu)成一組. 這里, 不考慮這r個(gè)元素的次序, 只研究有多少種不同的取法, 這就是組合問(wèn)題. 稱(chēng)每一個(gè)取

9、得的組為一個(gè)組合. 對(duì)于所有不同的組合的種數(shù), 通常把它記作,2024/3/19,18,從n個(gè)不同元素中任取r個(gè)元素出來(lái), 得到一個(gè)組合, 對(duì)這r個(gè)元素進(jìn)行各種排列, 共得r!種不同的排列, 但所有這些排列均是由一種組合變來(lái)的, 所以排列的種數(shù),是組合種數(shù),的r!倍, 即,2024/3/19,19,例4 有五本不同的數(shù)學(xué)書(shū), 八本不同的物理書(shū), 從中任取兩本數(shù)學(xué)書(shū), 四本物理書(shū). 問(wèn)有多少種不同的取法?解 從五本數(shù)學(xué)書(shū)中任取兩本, 種

10、數(shù)為,從八本物理書(shū)中任取四本, 種數(shù)為,因此所求總數(shù)為10?70=700.,2024/3/19,20,第二節(jié) 集合,2024/3/19,21,集合, 有時(shí)簡(jiǎn)稱(chēng)為集, 是具有某種特定性質(zhì)的事物所組成的集體. 通常用大寫(xiě)字母A,B,C,...來(lái)表示集合. 組成集合的各個(gè)事物稱(chēng)為這集合的元素. 如果e是集合A的一個(gè)元素, 便記作e?A. 如果e不是A的元素記作e?A. 如果集合A是由元素e1,e2,...等組成的, 記作A={e1,e2,

11、...},2024/3/19,22,集合的元素可以是任意種類(lèi)的對(duì)象: 點(diǎn), 數(shù), 函數(shù), 事件, 人等等. 例如,(1) 全體自然數(shù)組成的集合A, 表示為:A={1,2,...};(2)在給定直線上全體點(diǎn)組成的集合;(3)平面上區(qū)域D中所有點(diǎn)組成的集合;(4)數(shù)軸上所有區(qū)間組成的一個(gè)集合;(5)定義域?yàn)閰^(qū)間(a,b)的所有連續(xù)函數(shù);(6)某地區(qū)所有學(xué)齡前兒童組成的一個(gè)集合.,2024/3/19,23,在討論集合時(shí), 重復(fù)

12、的元素只算一次. 例如把{1,2,2,3}與{1,2,3}看作是同一個(gè)集合.,2024/3/19,24,如果一個(gè)集合中只有有限多個(gè)元素, 稱(chēng)這集合為有限集. 如果一個(gè)集合中有無(wú)限多個(gè)元素, 稱(chēng)這集合為無(wú)限集.如果一個(gè)無(wú)限集中的諸元素能與全體自然數(shù)構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系, 則稱(chēng)這無(wú)限集為可數(shù)集或可列集, 否則為不可數(shù)集.,2024/3/19,25,2024/3/19,26,集合之間的關(guān)系與集合的運(yùn)算,2024/3/19,27,一, 子集如果

13、屬于集合A的任一元素都屬于集合B, 則稱(chēng)集合A是集合B的子集, 記作A?B(或B?A), 讀作A含于B(或B包含A).,,,B,A,2024/3/19,28,例如, 由所有偶數(shù)組成的集合是由所有整數(shù)組成的集合的子集; 區(qū)間(1,2)是區(qū)間(1,4)的子集. 特別地, 一個(gè)集合A是它自己的一個(gè)子集. 顯然, 當(dāng)A?B且B?C時(shí), A?C.,2024/3/19,29,為了討論方便, 把不含任何元素的集合稱(chēng)為空集, 記作?. 把空集?作為任一

14、集合A的子集, 即對(duì)任一集合A, ??A.如果A?B且B?A, 則稱(chēng)集合A,B相等, 記作A=B,書(shū)上印錯(cuò),2024/3/19,30,二, 并集由至少屬于集合A或集合B二者之一的所有元素所組成的集合稱(chēng)為集合A與集合B的并集, 記作A?B.,,,,A,B,2024/3/19,31,例如, 集合{1,2,3}與集合{3,4,5}的并集為集合{1,2,3,4,5}; 區(qū)間(1,3)與(2,4)的并集為區(qū)間(1,4); 區(qū)間

15、(-?,3)與區(qū)間(-?,1)的并集為區(qū)間(-?,3),2024/3/19,32,,,由平面上坐標(biāo)滿足1<x<2的點(diǎn)的全體組成的集合與由坐標(biāo)滿足2<y<4的點(diǎn)的全體組成的集合的并集如圖所示:,,,,,,,O,1,2,2,4,y,x,2024/3/19,33,,三, 交集由同時(shí)屬于集合A及集合B的所有元素所組成的集合稱(chēng)為集合A與集合B的交集, 記作A?B,,,A,B,2024/3/19,34,例如, 區(qū)間(-

16、?, 3)與區(qū)間(1, +?)的交集為區(qū)間(1,3); 由平面上圓x2+y2=1內(nèi)的所有點(diǎn)的集合與由橫坐標(biāo)大于零的所有點(diǎn)組成的集合的交集如圖所示的右半圓.,,,,,x,y,1,1,O,2024/3/19,35,如果A?B=?, 即A,B無(wú)公共元素, 就稱(chēng)集合A與集合B互不相交.例如, 由所有正數(shù)組成的集合與由所有負(fù)數(shù)組成的集合互不相交; 區(qū)間(1,2)與區(qū)間(2,3)互不相交.,2024/3/19,36,,集合的并與交滿足如下的分配率

17、:(A?B)?C=(A?C)?(B?C).,,,,A,B,C,2024/3/19,37,證 下列諸關(guān)系式是相互等價(jià)的:e?(A?B)?C,e?A?B且e?C,e?A?C或e?B?C,e?(A?C)?(B?C).從而上述分配律成立.,2024/3/19,38,集合的并及交可以從兩個(gè)推廣到有限多個(gè)或可數(shù)多個(gè)集合上去, 諸集合A1,A2,...的并集A1?A2?...就是由至少屬于A1,A2,...中一個(gè)的所有元素組成的集

18、合; 諸集合A1,A2,...的交集A1?A2?...就是由同時(shí)屬于A1,A2,...的所有元素組成的集合. 分配律對(duì)于有限個(gè)或可數(shù)多個(gè)集合的并集也成立,即(A1?A2?...)?C=(A1?C)?(A2?C)?...,2024/3/19,39,,四, 差集 余集設(shè)A,B為任意兩個(gè)集合, 稱(chēng)由屬于集合A而不屬于集合B的所有元素組成的集合為集合A與集合B的差集, 記作A-B,,,A,B,2024/3/19,40,例如, 區(qū)間(1,4)

19、與區(qū)間(0,2)的差集為區(qū)間[2,4). 特殊地, 如果A與B不相交, 則A-B=A,2024/3/19,41,設(shè)B?U, 稱(chēng)U-B為B在U內(nèi)的余集, 記作,,,B,U,2024/3/19,42,例如, 當(dāng)U為整個(gè)數(shù)軸時(shí), 區(qū)間(-?,a)在U內(nèi)的余集為[a,+?),2024/3/19,43,下面給出幾條關(guān)于余集的性質(zhì), 設(shè)A,B,...等都是U的子集, 為簡(jiǎn)便起見(jiàn), 略去表達(dá)余集時(shí)的下標(biāo)U.,2024/3/19,44,作業(yè): 第1