數(shù)學(xué)史部分4-1-古希臘數(shù)學(xué)1

1、五、燦爛輝煌的古希臘數(shù)學(xué)： ? 杰出的數(shù)學(xué)家有：Thales，Phthagoras，Plato，Eudoxus，Aristotle，Euclid，Archimedes，Apollonius ? 古希臘文明大體分為兩個(gè)時(shí)期：（1） 古典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)（-6～-3世紀(jì)）（2）后希臘時(shí)期的數(shù)學(xué)——亞里山大里亞時(shí)期（-3～6世紀(jì)）,,,,,,,,,,,,,,,,,,非洲,亞洲,波斯帝國(guó),歐洲,尼羅河,地中海,亞歷山大,米利都,埃及

2、,,意大利,雅典,斯巴達(dá),,克里特,薩摩斯,伊利亞,克洛吞,西西里,敘拉古,耶路撒冷,大馬士革,拜占庭,馬其頓,這種方法可能比它以前的更簡(jiǎn)潔，但是使用如此之多的不同符號(hào)，必然要給通常的算術(shù)運(yùn)算帶來(lái)很大的困難。況且，它也模糊了數(shù)字之間的簡(jiǎn)單關(guān)系，例如奇數(shù)和偶數(shù)之間的區(qū)別。,（一）泰勒斯和愛奧尼亞學(xué)派(Ionian school)泰勒斯 Thales，約-624～-546，出生于米利都(Miletus，土耳其)，愛奧尼亞學(xué)派的創(chuàng)始人.“希

3、臘哲學(xué)，科學(xué)之父”.被尊稱為“希臘七賢之首” 七賢：Thales，Solon，Chilon，Periander，Pittacus，Cleobulus，Bias,Thales of Miletus,傳說(shuō)與軼事： 商旅活動(dòng)；炸油機(jī)的故事； 梭倫的故事 ；言談?dòng)哪⒊：姓芾?；預(yù)測(cè)了-585年5月28日下午3點(diǎn)的日食 ；,泰勒斯的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)：1.開創(chuàng)了命題的幾何證明（1）直角都相等（2）對(duì)頂角相等（3）等腰三角形之底

4、角相等（4）直徑等分圓周（5）圓周角定理（6）全等三角形的角邊角定理（7）內(nèi)接于半圓的角必為直角（8）兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例（9）三角形的內(nèi)角和為180度,2.利用金字塔的影長(zhǎng)測(cè)量金字塔的高度（1）Thales在他的影子和他自己一樣長(zhǎng)的時(shí)候記下金字塔影子的長(zhǎng).（2）Thales立下一根竿，然后利用相似三角形 . 3.天文學(xué)：地球的形狀，一年約為365天.,（二）Pythagoras學(xué)派：Pythagroa

5、s：-572__-497, 薩摩斯島(Samos) 克倫吞（Crotona）Pythagroas學(xué)派上帝用數(shù)來(lái)統(tǒng)治宇宙,(This is a detail from the fresco The School of Athens by Raphael),? “四藝”：算術(shù)——數(shù)的絕對(duì)理論， 幾何學(xué)——靜止的量，音樂(lè)——數(shù)的應(yīng)用， 球面學(xué)(天文學(xué))——運(yùn)動(dòng)的量.1.萬(wàn)物皆數(shù)：萬(wàn)事萬(wàn)物都可以表示成整數(shù)及整數(shù)比的形式.

6、2.畢氏定理：,1）在直角三角形斜邊上的正方形等于直角邊上的兩個(gè)正方形；2）直角三角形兩個(gè)直角邊上的兩個(gè)正方形面積之和，等于斜邊上正方形的面積；3）直角三角形斜邊上的長(zhǎng)度的平方等于兩個(gè)直角邊長(zhǎng)度平方之和.,,－Plato,3、形數(shù)：? 三角形數(shù):1,3,6,10… 第n個(gè)三角形數(shù)為,,,? 正方形數(shù):1,4,9,16... 平方數(shù)可以看作從1起連續(xù)奇數(shù)之和,,? 五邊形數(shù)：,,? 六邊形數(shù)：,關(guān)于數(shù)形有趣的定理：

7、 1.任何一個(gè)正方形數(shù)都是兩個(gè)相鄰三角形數(shù)之和. 2.第n個(gè)五邊形數(shù)等于第(n-1)個(gè)三角形數(shù)的三倍加n. 3.從1開始任何兩個(gè)相繼奇數(shù)之和是完全平方數(shù).,,,,,,,,,,,4.任何長(zhǎng)方形數(shù)都是一個(gè)三角形數(shù)的2倍.,,,4、完全數(shù)與親和數(shù)：? 完全數(shù)：一個(gè)數(shù)=除它本身外的所有因子之和.6=1+2+3,

8、 28=1+2+4+7+14, 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248完全數(shù)的相關(guān)性質(zhì)：(1).完全數(shù)可寫為連續(xù)自然數(shù)之和.(2).完全數(shù)的全部正因子的倒數(shù)之和＝2.(3).除6外，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)碼和＝1.(4).第n個(gè)完全數(shù)是一個(gè)n位數(shù).(5).所有的完全數(shù)以6和8交替結(jié)尾.,? 親和數(shù)：m和n，m等于n的因子之和，m等于n的因子之和.　　　　例如：220和284為親和數(shù) 1636年，F(xiàn)er

9、mat宣布17296和18416是親和數(shù).1747年，Euler給出了一個(gè)62對(duì)的親和數(shù)表.,(6).有無(wú)窮多個(gè)完全數(shù).(7).Euclid給出的偶完全數(shù)公式,,5、證明并發(fā)現(xiàn)了5種正多面體：正4， 6， 8， 12， 20面體 火 土 氣 宇宙 水6、正五邊形和相似多邊形的作圖法，并研究了黃金分割. 7、證明了 “三角形內(nèi)角和等于兩直角”.8、最卓越的貢獻(xiàn)——不可通約量的發(fā)現(xiàn)(希帕索斯-Hip

10、pasus)，導(dǎo)致第一次數(shù)學(xué)危機(jī).即邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線與邊長(zhǎng)的比不能表示為整數(shù)或整數(shù)比的形式.,,,,,,,9、代數(shù)恒等式：,10、音階研究的鼻祖：11、天文學(xué)：日、月、五星及其他天體都呈球形，浮懸在太空中.,（三）、柏拉圖及其學(xué)園： 柏拉圖（Plato）公元前427年生于雅典，公元前347年卒于雅典，認(rèn)識(shí)論、數(shù)學(xué)哲學(xué)、數(shù)學(xué)教育.,,-479年，雅典的興起希波克拉底斯（Hippocrates，-470_-430）以后的第一

11、人. 老師：蘇格拉底（Socrate,-469_-399）-387年，在雅典城建立了自己的學(xué)園. 592年,教皇查士丁尼(Justinian)下令關(guān)閉.“不懂幾何者不得入內(nèi)！” 畢氏學(xué)派和亞歷山大里亞學(xué)派之間的紐帶.,蘇格拉底,主要成就：,1、堅(jiān)持嚴(yán)密定義和邏輯證明，數(shù)學(xué)的科學(xué)化;2、知道級(jí)數(shù)的很多重要性質(zhì)；3、闡明了負(fù)數(shù)的概念；4、發(fā)展了分析的證明方法—分析法：5、　　　　　　　構(gòu)成直角三角形；6、幾何學(xué)軌跡；7

12、、深信數(shù)學(xué)是抽象的概念.,,理念論,有四種圓：1)被世人稱為是圓的某種東西；2)圓的定義：在任何方向上的邊界點(diǎn)到中心的距離都是相等的；3)畫出的一個(gè)圓，即旋轉(zhuǎn)圓規(guī)所得到的圓；4)實(shí)質(zhì)性的圓，即圓的理念，它與其他圓的存在密切相關(guān)，但又不同于任何其他的圓他說(shuō)，1).2).3)都是不完善的圓，許多具體的數(shù)學(xué)圓其實(shí)介于這些不完善的圓與唯一的圓的理念之間;4)才是唯一的圓的理念.,8、公理法的前身：9、天文學(xué)10、繼承了畢達(dá)哥拉斯的

13、“萬(wàn)物皆數(shù)”的觀點(diǎn)兩種三角形,正方形的一半,等邊三角形的一半Plato體11、學(xué)園精英：亞里士多德,歐多克斯,門奈赫莫斯,泰特托斯, 歐幾里德,12、主要著作： 35篇《對(duì)話》和13封書札. 《理想國(guó)》13、數(shù)學(xué)美14、傳授數(shù)學(xué)的思想方法（1）因材施教，倡導(dǎo)多層次的數(shù)學(xué)教育；（2）理智助產(chǎn)術(shù)—誘導(dǎo)和啟發(fā)式的傳授方式,Raphael《Athens school》,Palto

14、 Pythagoras,Euclid,歷史：-323～-30年，亞歷山大時(shí)期世界學(xué)術(shù)的中心：　　托勒密王國(guó)的都城－亞歷山大里亞藏書75萬(wàn)卷的圖書館研究機(jī)構(gòu)“藝神之宮” -30年，亞歷山大里亞并入羅馬帝國(guó)版圖希臘數(shù)學(xué)的黃金時(shí)代（-300～-200）代表人物是三大幾何學(xué)家：Euclid，Archimedes，Aollonius.,（四）、阿基米德Archimedes-28

15、7_-212J.策策斯在《史書》中有記載：“智者阿基米德是敘拉古人，著名的機(jī)械制造者，終生研究幾何，活到75歲.”被稱為“數(shù)學(xué)之神.”,數(shù)學(xué)史家貝爾(Bell)說(shuō)：“任何一張列出有史以來(lái)三個(gè)最偉大數(shù)學(xué)家的名單中，必定會(huì)包括阿基米德，另外兩位通常是牛頓和高斯，不過(guò)以他們的豐功偉績(jī)和所處的時(shí)代背景相比，還應(yīng)首推阿基米德.”,1、金冠之謎：流體靜力學(xué)第一定律:物體在流體中減輕的重量,等于排去流體的重量.2、“給我一個(gè)支點(diǎn)，我

16、可以移動(dòng)地球.”—杠桿定律,3、敘拉古保衛(wèi)戰(zhàn)： 　“布匿戰(zhàn)爭(zhēng)” 　　-214年，羅馬名將馬塞勒斯率領(lǐng)大軍圍攻敘拉古，Arcihmedes利用自己的發(fā)明為國(guó)效力，由于Archimedes的防衛(wèi)武器，敘拉古抵抗羅馬人的攻擊，守了三年之久.（1）類似起重機(jī)的器械（2）拋石機(jī)（3）巨大的火鏡 （4）叫”蝎子“的弩炮 （5）阿基米德螺旋泵,火鏡,阿基米德螺旋泵,-212年，敘拉古倫陷,墓碑上的墓志銘,世人的評(píng)價(jià)：,哈密頓(Hamil

17、ton) ：“誰(shuí)不認(rèn)為，Archimedes的名聲比他的戰(zhàn)勝者馬塞勒斯的名聲高？”懷特海(Whitehead) ：“沒有一個(gè)羅馬人死于對(duì)幾何圖形的沉思中.”數(shù)學(xué)家哈代(Hardy)說(shuō)：“Archimedes將被人們記住，而哀斯奇勒斯（希臘悲劇詩(shī)人）將被遺忘，因?yàn)檎Z(yǔ)言會(huì)死，而數(shù)學(xué)思想則不.” 伏爾泰（Voltaire）說(shuō)：“Archimedes頭腦中的想象力，比荷馬頭腦中的要多.”,4、主要數(shù)學(xué)著作：數(shù)學(xué)闡述的典范，寫得完整、簡(jiǎn)煉

18、，顯示出巨大的創(chuàng)造性；計(jì)算計(jì)能和證明的嚴(yán)謹(jǐn)性.最大貢獻(xiàn)也許是某些積分方法的早期萌芽.《論球與圓柱》On the Sphere and Cylmder《論螺線》On Spirals《拋物線弓形面積求積法》 Quadrature of the Parabola,《數(shù)沙器》The Sand-Reckoner《論圓錐線體和類球體》On Conoids and Spheroids《圓的度量》Measurement of Circle

19、《平面圖形的平衡及其重心》On the Equilibrium of Planes or the Centres of Gravity of Planes《論浮體》ON Floating Bodies《引集論》Book of lammas《牛群?jiǎn)栴}》The Cattle-Problem,5、主要成就：①兩點(diǎn)之間直線最短；②S球 = 4S大圓;③V球 = 4V圓錐，V球 =2/3 V外接圓柱；④球缺,球冠,球心角體表面積及體

20、積的研究；⑤用圓錐曲線解三次方程；⑥圓的面積等于一個(gè)以其周長(zhǎng)及半徑作兩份個(gè)直角邊的直角三角形的面積； S圓＝半徑×半周長(zhǎng)⑦圓面積：外切正方形面積之比為11:14；相當(dāng)于取π=22/7，,⑨、利用“窮竭法”研究橢圓,雙曲面,拋物面被一平面所截的體積,與“積分法”十分相似,這是積分的早期來(lái)源之一.利用上,下界來(lái)確定一個(gè)量的近似值,還提供了一個(gè)誤差的估計(jì).⑩、旋轉(zhuǎn)拋物體被垂直于軸的平面所截取的部分的體積

21、等于同底等高的圓錐體的3/2；,,,⑧、圓的周長(zhǎng)與直徑之比小于　　而大于,⑾、著名的阿基米德螺線—— r = aθ結(jié)論：第一面積等于第一圓的１/3.,⑿、《平面圖形的平衡及其重心》中的杠桿定理：若兩重物平衡，則所處的距離與重量成反比.（公理法） ⒀、《數(shù)沙器》以萬(wàn)為單位，建立新的記數(shù)法，使得任何大的數(shù)都能夠表示出來(lái).⒁、拋物線弓形面積等于同底等高的三角形面積的4/3.,⒃、正七邊形作圖法：Archmedes已經(jīng)發(fā)現(xiàn)正七邊形的作圖

22、法，自然不是尺規(guī)作圖，可惜方法已經(jīng)失傳. ⒄、阿基米德公理：若有兩個(gè)量a，b滿足a＜b，則一定存在一個(gè)自然數(shù)n，使na＞b .——這是連續(xù)公理中重要公理之一.,⒂、三角形面積公式 △=s是的半周長(zhǎng)，通常稱為海倫公式.,結(jié)束語(yǔ),歷史上有的數(shù)學(xué)家勇于開辟新的園地，而缺乏縝密的推理，有的數(shù)學(xué)家偏重于邏輯證明，而對(duì)新領(lǐng)域的開拓徘徊不前。阿基米德則二者兼而有之，他將驚人的獨(dú)創(chuàng)與嚴(yán)格的論證融為一體，更善于將計(jì)算技巧與邏輯分析結(jié)合起來(lái)。