數(shù)學史第1章數(shù)學起源與早期發(fā)展

1、數(shù) 學 史,范永順,緒論,數(shù)學史主要研究數(shù)學科學發(fā)生發(fā)展及其規(guī)律。,學習數(shù)學史的意義：,1、數(shù)學是一門積累性很強的學科，不了解數(shù)學史就不能了解數(shù)學學科。 古代文明中形成的十進位值制記數(shù)法和四則運算法則，我們今天仍在使用，諸如哥德巴赫猜想等歷史上的難題，長期以來一直是現(xiàn)代數(shù)論領域中的研究熱點。 著名的數(shù)學大師都具有深厚的數(shù)學史修養(yǎng)或者兼及數(shù)學史研究，并善于從歷史素材中汲取養(yǎng)分，做到古為今用，推陳出新 。,,2、通過學習數(shù)學史

2、可以了解數(shù)學知識的來龍去脈，有利于教學。 活躍課堂氣氛，增加學習興趣，提高教學效果．如在講無窮遞縮等比數(shù)列的和時，可以從“芝諾悖論”講起。 2011山東理13 :執(zhí)行右圖所示的程序框圖，輸入l=2，m=3，n=5，則輸出的y的值是,,,3、通過學習數(shù)學史可以獲得人文科學的修養(yǎng)。 通過數(shù)學史學習，可以使數(shù)學專業(yè)的學生在接受數(shù)學專業(yè)訓練的同時，獲得人文科學方面的修養(yǎng)，文科或其它專業(yè)的學生通過數(shù)學史的學習可以了解數(shù)學概貌，獲得

3、數(shù)理方面的修養(yǎng)。而歷史上數(shù)學家的業(yè)績與品德也會在人格培養(yǎng)上發(fā)揮十分重要的作用。,,4、學習數(shù)學史料有利于掌握數(shù)學思想。 數(shù)學中有許多數(shù)學思想．如，當美索不達米亞的牧人第一次使用小石子來表示羊只時，就意味著對應思想的產生；而當他們第一次試圖使用什么記號將羊只的總數(shù)記錄下來時，就意味著符號思想的出現(xiàn),,學習要求 本課程開卷考試和課程論文結合的考核方式。 要求在課堂上簡要記筆記。參考書目：李文林.數(shù)學史概論梁宗巨.世界

4、數(shù)學史通論李迪.中國數(shù)學史簡編(美)H.伊夫斯.數(shù)學史上的歷程碑,,網站: http://mkd.lyge.cn/zhanzheng/a04/000.htmhttp://mkd.lyge.cn/ 糜克定的科學園——趣味數(shù)學、數(shù)學樂園糜克定的科學園——世界著名數(shù)學家傳記,1、數(shù)學的萌芽,數(shù)學起源與早期發(fā)展,數(shù)的概念的形成大約是在30萬年以前,記數(shù)是伴隨著計數(shù)的發(fā)展而發(fā)展的,● 手指記數(shù),亞里士多德：采用十進制是因為多數(shù)人生來具有

5、十個手指,● 石子記數(shù),● 結繩記數(shù),● 刻痕記數(shù),《周易·系辭下》：上古結繩而治，后世圣人，易之以書契。,,基普（印加）,幼狼脛骨（捷克）,大約五千年前，出現(xiàn)書寫記數(shù)及相應的記數(shù)系統(tǒng)。,幾種古老文明的早期記數(shù)系統(tǒng)：,,,,◆巴比倫數(shù)字：六十進制◆瑪雅數(shù)字：二十進制,◆其余數(shù)字：十進制,記數(shù)系統(tǒng)的出現(xiàn)使數(shù)與數(shù)之間的運算成為可能,,最初的幾何知識從人們對形的直覺中萌發(fā)出來。這組照片顯示了早期人類不止是對圓、三角形、正方形等一系

6、列幾何形式的認識，而且還有對全等、相似、對稱等幾何性質的應用。,在不同地區(qū)，幾何學的來源不盡相同：,● 古埃及： 土地的丈量,● 古印度：宗教實踐,● 古代中國：天文觀測,興起于埃及、美索不達米亞、中國和印度等地域的古代文明稱為“河谷文明”。早期數(shù)學，就是在尼羅河、底格里斯河與幼發(fā)拉底河、黃河與長江、印度河與恒河等河谷地帶首先發(fā)展起來的。,1.1 埃及數(shù)學,埃及文明以古老的象形文字和巨大的金字塔為象征。,埃及象形文字產生于公元前350

7、0年左右，約公元前2500年被簡化為一種更易書寫的“僧侶文”，后又發(fā)展成所謂“通俗文”。長期以來，這些神秘的文字始終是不解之謎。,吉薩金字塔(公元前2600年),1799年，拿破倫遠征軍的士兵在埃及古港口羅賽塔發(fā)現(xiàn)一塊石碑，碑上刻有用三種文字----希臘文、埃及僧侶文和象形文記述的同一銘文，才使精通希臘文的學者找到了解讀埃及古文字的鑰匙。,古埃及人在一種用紙莎草壓制成的草片上書寫，這些紙草書有的幸存至今。我們關于古埃及數(shù)學的知識，主要就

8、是依據(jù)了兩部紙草書----萊茵德紙草書和莫斯科紙草書。,萊茵德紙草書最初發(fā)現(xiàn)于埃及底比斯古都廢墟，1858年為蘇格蘭收藏家萊茵德(H.Rhind)購得，因名。該紙草書現(xiàn)存?zhèn)惗卮笥⒉┪镳^,見圖.,有時人們也稱這部紙草書為阿姆士紙草書，他在公元前1650年左右用僧侶文抄錄了這部紙草書，而根據(jù)阿姆士所加的前言可知，他抄錄的是一部已經流傳了兩個多世紀的更古老的著作，其中涉及的數(shù)學知識一部分可能得傳于英霍特普(Imhotep)，此人是法老卓塞爾的

9、御醫(yī)，同時也是一位傳奇式的建筑師，曾督造過這位法老的金字塔。,●莫斯科紙草書又叫戈列尼雪夫紙草書，1893年由俄國貴族戈列尼雪夫在埃及購得，現(xiàn)藏莫斯科普希金精細藝術博物館。據(jù)研究，這部紙草書是出自第十二王朝一位佚名作者的手筆（約公元前1890年），也是用僧侶文寫成。,這兩部紙草書實際上都是各種類型的數(shù)學問題集。,這種記數(shù)制以不同的特殊記號分別表示10的前六次冪：簡單的一道豎線表示1，倒置的窗或骨（∩）表示10，一根套索表示100，一朵蓮

10、花表示1000，彎曲的手指表示10 000，一條江鱈魚表示100 000，而跪著的人像（可能指永恒之神）則表示1 000 000.其他數(shù)目是通過這些數(shù)目的簡單累積來表示的，如數(shù)12 345則被記作 100 1 000 10 000 100 000 1000 000 12345,,在兩部紙草書中，象形文字被簡化為僧侶文數(shù)字:,28在象形文字中被表示為 ,而在僧侶文中被寫成

11、 ，值得注意的是這里把代表較小數(shù)字的8（記二個4）的符號（=）置于左邊而不是右邊。,隨著青銅文化的崛起，分數(shù)概念與分數(shù)記號應運而生。 埃及象形文字用一種特殊的記號來表示單位分數(shù)（即分子為一的分數(shù)）：在整數(shù)上方畫一個長橢圓； 紙草書中采用的僧侶文，則用一點來代替長橢圓號。在多位數(shù)的情形，則點號置于最右邊的數(shù)碼之上。,例如 象形文字 僧侶文字,單位分數(shù)的廣泛使用成為埃及數(shù)學一個重要而有趣的特色

12、。埃及人將所有的真分數(shù)都表示成一些單位分數(shù)的和。為了使這種分解過程做起來更為容易，萊茵德紙草書在阿姆士的前言之后給出了一張形如 2/k（k 為從5到101的奇數(shù)）的分數(shù)分解為單位分數(shù)之和的表。利用這張表，可以把例如7/29這樣的分數(shù)表成單位分數(shù)之和：,埃及人最基本的算術運算是加法。乘法運算是通過逐次加倍的程序來實現(xiàn)的。如69×19是這樣來進行的：將69加倍到138，又將這個結果加倍到276，再加倍到552，再加倍到1104(此

13、即69的16倍)。因為19=16+2+1，所以69×19的答數(shù)應為1104+138+69=1311。,紙草書中有些問題可以被歸之為我們今天所說的代數(shù)學范疇，它們相當于求解形如 或 的一次方程。,埃及人稱未知數(shù)為“堆”(aha,讀作“何”)。如萊茵德紙草書第24題：已知“堆”與七分之一“堆”相加為19，求“堆”的值。,紙草書作者所用的解

14、法實質是一種算術方法，即現(xiàn)在所謂的“假位法”： 先假設一個特殊的數(shù)作為“堆”值（多半是假值），將其代入等號左邊去運算，然后比較得數(shù)與應得結果，再通過比例方法算出正確答數(shù)。,在上例中，數(shù)7作為未知數(shù) 的試驗值，于是 ，而應得結果是 ，這兩個結果之比為 等于 ，將7乘以（ ）即得正確的

15、 “堆”值為 。,19,埃及幾何學是尼羅河的贈禮。古希臘歷史學家希羅多德在公元5世紀曾訪問考察過埃及，并在其著作《歷史》一書中寫道： 西索斯特里斯……在埃及居民中進行了一次土地劃分?！偃绾铀疀_毀了一個人所得的任何一部分土地，國王就會派人去調查，并通過測量來確定損失地段的確切面積?！艺J為，正是由于這類活動，埃及人首先懂得了幾何學，后來又把它傳給了希臘人。,現(xiàn)存的紙草書中可以找到正方形

16、、矩形、等腰梯形等圖形面積的正確公式，例如萊茵德紙草書中的第52題，通過將等腰梯形轉化為矩形的圖形變換，得出了等腰梯形面積的正確公式。,埃及人對圓面積給出了很好的近似。萊茵德紙草書第50題假設一直徑為9的圓形土地，其面積等于邊長為8的正方形面積。如果與現(xiàn)代公式相比較，就相當于取值為 。,埃及人在體積計算中達到了很高的水平，代表性例子是莫斯科紙草書中的14題。這道題給出了計算平截頭方錐體積的公式

17、，用現(xiàn)代符號表示相當于：,,這個公式是精確的，并且具有對稱的形式。,埃及數(shù)學是實用數(shù)學,但也有個別例外，例如萊茵德紙草書第79題： 7座房，49只貓，343只老鼠，2401顆麥穗，16807赫卡特。 有人認為這是一個數(shù)謎：7座房子，每座房里養(yǎng)7只貓，每只貓抓7只老鼠，每只老鼠吃7顆麥穗，每顆麥穗可產7赫卡特糧食，問房子、貓、老鼠、麥穗和糧食各數(shù)值總和。,埃及文明在歷代王朝的更迭中表現(xiàn)出一種靜止的特性。萊茵德紙草書

18、和莫斯科紙草書中的數(shù)學，在數(shù)千年漫長的歲月中很少變化。加法運算和單位分數(shù)的計算顯得笨重繁復。古埃及人的面積、體積算法對精確公式與近似公式往往不作明確區(qū)分，這又使它們的實用幾何帶上了粗糙的色彩。這一切都阻礙埃及數(shù)學向更高的水平發(fā)展。公元前4世紀希臘人征服埃及之后，這一古老的數(shù)學文化完全被蒸蒸日上的希臘數(shù)學所取代。,1.2古巴比倫數(shù)學,底格里斯河與幼發(fā)拉底河所灌溉的美索不達米亞平原，也是人類文明的發(fā)祥地之一。早在公元前四千年，蘇美爾人就在這

19、里建立起城邦國家并創(chuàng)造了文字。,兩河流域的居民用尖蘆管在濕泥板上刻寫楔形文字，然后將泥板曬干或烘干。迄今已有約50萬塊泥板文書出土。對楔形文字的釋讀比埃及文字要晚，關鍵的一步是在19世紀70年代邁出的，當時發(fā)現(xiàn)的貝希斯敦石崖，上面用三種文字（波斯文、埃及文和巴比倫文）記載著波斯王大流士一世的戰(zhàn)功。對波斯文的知識使人們得以揭開古巴比倫文字的奧秘。,1.2古巴比倫數(shù)學,1.2古巴比倫數(shù)學,,,,泥版楔形文

20、 　 普林頓322,現(xiàn)存泥板文書中大約有300塊是數(shù)學文獻。對這些泥板文書的研究揭示了一個遠比古埃及人先進的美索不達米亞早期數(shù)學文化。,美索不達米亞人創(chuàng)造了一套以60進制為主的楔形文記數(shù)系統(tǒng)。這種記數(shù)制對60以內的整數(shù)采用簡單十進累記法，例如59記 。 對于大于59的數(shù)，則采用六十進制的位制記法。同一個記號，根據(jù)它在數(shù)字表示中的相對位置而賦予不同的值，這種位值原理是美索不達米亞數(shù)學的一項

21、突出成就。,例如 這一寫法中，右邊的 表示兩個單位；中間的 表示基數(shù)（60）的2倍；而左邊的 則表示基數(shù)（60）的平方的2倍，因此這個數(shù)字是指 ，用十進制寫出來就是7322。,這種位值制是不徹底的，因為其中沒有零號。這樣，美索不達米亞人表示122和7202的形式是相同的，人們只能根據(jù)上、下文來消除二義性。不過在公元前3世紀

22、的泥板文書中開始出現(xiàn)一個專門的記號，用來表示沒有數(shù)字的空位。這記號是由兩個斜置的小楔形組成。有了這個空位記號，人們就很容易將數(shù)與 區(qū)分開來了。,美索不達米亞人的記數(shù)制遠遠勝于埃及象形數(shù)字之處，還在于他們巧妙地將位值原理推廣應用到整數(shù)以外的分數(shù)。美索不達米亞人對分數(shù)能夠跟對整數(shù)一樣運算自如。,美索不達米亞人長于計算，這不只是與他們優(yōu)良的記數(shù)系統(tǒng)有關。美索不達米亞的學者還表現(xiàn)出發(fā)展程序化算法的熟練技巧。他們創(chuàng)

23、造了許多成熟的算法，開方根計算就是有代表性的例子之一。這種開方程序既簡單又有效：設 是所求平方根，并設 是這根的首次近似；由方程 求出第二次近似 ，若 偏小，則 偏大，反之亦然。取算術平均值 為下一步近似，因為 總是偏大，再下一步近似 必偏小，取算術平均值 將得到更好的結果

24、。這一程序實際上可以無限繼續(xù)下去。耶魯大學收藏的一塊古巴比倫泥板（編號7289），其上載有 的近似值，結果準確到六十進制三位小數(shù)，用現(xiàn)代符號寫出來是1.414 213，是相當精確的逼近。,美索不達米亞人還經常利用各種數(shù)表來進行計算，在現(xiàn)有的300多塊數(shù)學泥板文書中，就有200多塊是數(shù)學用表，包括乘法表、倒數(shù)表、平方表、立方表、平方根表、立方根表，甚至還有指數(shù)（對數(shù)）表。,美索不達米亞數(shù)學在代數(shù)領域內達到了相當?shù)母叨取碜怨?/p>

25、巴比倫時代的一些泥板文書則表明，已能卓有成效地處理相當一般的三項二次方程。,例如，耶魯大學收藏的一塊泥板文書中有這樣的問題： 已知依幾布姆(igibum)比依古姆(igum)大7。問依幾布姆和依古姆各為多少？這里igibum和igum是古巴比倫數(shù)學文獻中表示互為倒數(shù)的兩個數(shù)的專有術語，在十進制中則相當于乘積為六十之冪的兩個數(shù)。若以x表示igibum，y表示igum，則該題相當于求解方程組,這又相當于先求解一個一元二次方

26、程：題中給出的算法相當于:,也就是今天熟知的二次方程 的求根公式：,由于正系數(shù)二次方程沒有正根，因此在古代與中世紀，甚至在近代早期，二次方程一直是被分成以下三類（其中 ）：,,,來研究。,古埃及人沒有留下解三次方程的紀錄，美索不達米亞泥板文書中卻不乏三次方程的例子。像 這樣的純三次方程，主要是通過查立方表或立方根表來求解。形如

27、 的混合三次方程也是籍現(xiàn)成的表來求解。巴比倫人編有專門的 的數(shù)值表（其中 為整數(shù)）。,美索不達米亞幾何也是與測量等實際問題相聯(lián)系的數(shù)值計算。美索不達米亞學者已掌握三角形、梯形等平面圖形和棱柱、平截頭方錐等一些立體圖形體積的公式。,在美索不達米亞河谷地區(qū)，圓面積通常被取作半徑平方的三倍，也就是說取圓周率 為3，其精確度自然在埃及人之下。但也有學者采用 作為 的近似

28、值，與埃及人至少是旗鼓相當。,有一些泥板文書上的數(shù)學問題說明美索不達米亞數(shù)學除了實用的動機外，有時也表現(xiàn)出理論興趣。這方面最典型的例子是一塊叫“普林頓322”的泥板文書。該泥板文書最初來源不明因曾被一位叫普林頓(G.A.Plimpton)的人收藏而得名（322是普林頓的收藏編號），現(xiàn)存美國哥倫比亞大學圖書館,如圖,,其年代當在公元前1600年以前,,,,普林頓322實際上是一張表格，由4列15行六十進制數(shù)字組成：,1945年，美籍德國學

29、者諾依格包爾首先揭示了普林頓322的數(shù)論意義。,根據(jù)諾依格包爾等人的研究，普林頓322數(shù)表與所謂“整勾股數(shù)”有關。滿足關系式 的一組整數(shù) 叫整勾股數(shù)，西方文獻中也成“畢達哥拉斯數(shù)”。,,,總的來說，古代美索不達米亞數(shù)學與埃及數(shù)學一樣主要是解決各類具體問題的實用知識，處于原始算法積累時期。幾何學作為一門獨立的學科還不存在。埃及紙草書和巴比倫泥板文書中匯集的各種幾何圖形