第3章彈性力學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)1

1、,李建宇天津科技大學(xué),工程中的有限元方法,Finite Element Method in Engineering,內(nèi)容 3. 彈性力學(xué)基礎(chǔ)知識(shí) (Ⅰ) 3.1 基本假定 3.2 基本概念 3.3 基本方程要求 理解： 彈性力學(xué)基本假定的含義 了解： 彈性力學(xué)基本概念的提煉和用途 掌握：

2、2D 彈性力學(xué)的基本方程課后作業(yè) 閱讀彈性力學(xué)基本概念、方程文獻(xiàn),,,內(nèi)容回顧,彈性力學(xué)與材料力學(xué)的聯(lián)系 ——為何要有彈性力學(xué)？ 1、研究內(nèi)容2、研究對(duì)象3、研究方法,,研究內(nèi)容的聯(lián)系：材料力學(xué)： 彈性變形體在外力作用下的平衡、運(yùn)動(dòng)等問題，及相應(yīng)變形和應(yīng)力彈性力學(xué)： 彈性變形體在外力作用下的平衡、運(yùn)動(dòng)等問題，及相應(yīng)變形和應(yīng)力,

3、內(nèi)容回顧,,彈性力學(xué)與材料力學(xué)的聯(lián)系,基本沒有區(qū)別,研究對(duì)象的聯(lián)系：材料力學(xué)(研究變形體的第一門力學(xué))： 僅為桿、梁、柱、軸等桿狀變形構(gòu)件彈性力學(xué)： 任意形狀變形體,內(nèi)容回顧,,彈性力學(xué)與材料力學(xué)的聯(lián)系,彈性力學(xué)研究對(duì)象更普遍,研究方法的聯(lián)系：材料力學(xué)： 要作出一些關(guān)于構(gòu)件變形狀態(tài)或應(yīng)力分布的假設(shè)，例如拉壓、扭轉(zhuǎn)、彎曲平面假設(shè)，數(shù)學(xué)推演簡單, 但解是近似的彈性力學(xué)：

4、 不作假設(shè)，數(shù)學(xué)推演復(fù)雜，但解比較精確,內(nèi)容回顧,,彈性力學(xué)與材料力學(xué)的聯(lián)系,彈性力學(xué)研究方法更嚴(yán)密，但也更復(fù)雜,,彈性力學(xué)與材料力學(xué)的聯(lián)系——一個(gè)例子,考慮如下簡支梁，由材料力學(xué)，當(dāng)梁跨度 l 與高度 h 之比大于5（即為細(xì)長梁）時(shí)，平面假設(shè)近似成立，并有,但，當(dāng)跨高比小于5時(shí)，上述公式不成立，,什么原理？如何分析？,Ansys演示…,彈性力學(xué)——促進(jìn)數(shù)學(xué)和自然科學(xué)基本理論的建立和發(fā)展；廣泛工程應(yīng)用——造船、建筑、航空

5、和機(jī)械制造等。發(fā)展——形成了一些專門的分學(xué)科；現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)和工程技術(shù)——仍然提出新的理論和工程問題。對(duì)于現(xiàn)代工程技術(shù)和科研工作者的培養(yǎng)——對(duì)于專業(yè)基礎(chǔ)，思維方法以及獨(dú)立工作能力都有不可替代的作用。,彈性力學(xué)的意義,研究對(duì)象——三維彈性體微分單元體入手超靜定問題靜力平衡、幾何變形和本構(gòu)關(guān)系等三方面的條件,彈性力學(xué)的研究方法,數(shù)學(xué)方法實(shí)驗(yàn)方法二者結(jié)合的方法彈性力學(xué)的基本方程——偏微分方程的邊值問題，求解的方法有解析法和近似

6、解法。解析法在數(shù)學(xué)上難度極大，因此僅適用于個(gè)別特殊邊界條件問題。近似解法對(duì)于彈性力學(xué)有重要意義。,彈性力學(xué)的研究方法,數(shù)值解法——計(jì)算機(jī)處理的近似解法?，F(xiàn)代科學(xué)技術(shù)，特別是計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展和廣泛應(yīng)用為基礎(chǔ)。有限元方法為代表的計(jì)算力學(xué)。以有限元為基礎(chǔ)的CAD, CAE等技術(shù)，使計(jì)算機(jī)不僅成為數(shù)值分析工具，而且成為設(shè)計(jì)分析工具。有限元方法以彈性力學(xué)為基礎(chǔ)，有限元方法將計(jì)算數(shù)學(xué)與工程分析相結(jié)合，極大地?cái)U(kuò)展和延伸了彈性力學(xué)理論

7、與方法，取得了當(dāng)代力學(xué)理論應(yīng)用的高度成就。,彈性力學(xué)基本假設(shè),工程問題的復(fù)雜性是諸多方面因素組成的。如果不分主次考慮所有因素，則問題的復(fù)雜，數(shù)學(xué)推導(dǎo)的困難，將使得問題無法求解。根據(jù)問題性質(zhì)，忽略部分暫時(shí)不必考慮的因素，提出一些基本假設(shè)。使問題的研究限定在一個(gè)可行的范圍?；炯僭O(shè)是學(xué)科的研究基礎(chǔ)。超出基本假設(shè)的研究領(lǐng)域是固體力學(xué)其它學(xué)科的研究。,工程材料的特點(diǎn),金屬材料——晶體材料，是由許多原子，離子按一定規(guī)則排列起來的空間格子構(gòu)成

8、，其中間經(jīng)常會(huì)有缺陷存在。高分子材料——非晶體材料，由許多分子的集合組成的分子化合物。工程材料內(nèi)部的缺陷、夾雜和孔洞等構(gòu)成了固體材料微觀結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性。,彈性力學(xué)的基本假定五個(gè)基本假定： 1、連續(xù)性(Continuity) 2、線彈性(Linear elastic)3、均勻性(Homogeneity)4、各向同性(Isotropy)5、小變形假定(Small def

9、ormation),,彈性力學(xué)的基本假定1、連續(xù)性(Continuity),,整個(gè)物體的體積都被組成這個(gè)物體的介質(zhì)所填滿, 不留任何空隙.即，各個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間不存在任何空隙,好處：物體內(nèi)的物理量,例如應(yīng)力形變和應(yīng)變, 才可能是連續(xù)的, 才可以用連續(xù)函數(shù)來表示;,——宏觀假設(shè),彈性力學(xué)的基本假定2、線彈性(Linear elastic),,物體的變形與外力作用的關(guān)系是線性的，除去外力，物體可回復(fù)原狀 ，而且這個(gè)關(guān)系和時(shí)間無關(guān)，也和變形歷史

10、無關(guān)，稱為完全線彈性材料,好處：應(yīng)力應(yīng)變之間的函數(shù)簡化為線性函數(shù)，且材料彈性常數(shù)不隨應(yīng)力或應(yīng)變的變化而改變,彈性力學(xué)的基本假定3、均勻性(Homogeneity),,物體是均勻的, 整個(gè)物體由同一材料組成,好處：各部分物理性質(zhì)相同，不因位置改變而改變。可以截取任意部分為研究對(duì)象。,對(duì)于環(huán)氧樹脂基碳纖維復(fù)合材料，不能處理為均勻材料。,彈性力學(xué)的基本假定4、各向同性(Isotropy),,物體的彈性性質(zhì)在所有各個(gè)方向都相同,好處：物體材

11、料常數(shù)不隨坐標(biāo)方向改變而改變,像木材，竹子以及纖維增強(qiáng)材料等，屬于各向異性材料。,彈性力學(xué)的基本假定5、小變形假定(Small deformation):,,物體的位移和形變是微小的. 即物體的位移遠(yuǎn)小于物體原來的尺寸, 而且應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都遠(yuǎn)小于1,好處：變形與結(jié)構(gòu)原尺寸相比屬高階小量，可略去因變形引起的結(jié)構(gòu)尺寸變化,彈性力學(xué)的幾個(gè)基本概念,1、體力(body forces): 分布在物體體積內(nèi)的力.,,設(shè)體積△V包含P點(diǎn), △V中的體

12、力為△F, 則,體力分量: 體力 f 在 x, y 和 z 軸上的投影, 分別記為 fx, fy, fz,彈性力學(xué)的幾個(gè)基本概念,2、表面力(surface forces): 分布在物體表面的力.,,設(shè)表面積△S包含P點(diǎn), △S中的表面力為△F, 則,表面力分量: 表面力 在 x, y 和 z 軸上的投影, 分別記為,彈性力學(xué)的幾個(gè)基本概念,3、內(nèi)力、平均應(yīng)力和應(yīng)力.,,內(nèi)力 (internal forces) : 物體本身不同部分之

13、間相互 作用的力,應(yīng)力(stress)：如果假設(shè)內(nèi)力分布連續(xù)，命 ΔA無 限減小并趨向 P點(diǎn), 則ΔF/ΔA 將趨向一個(gè)極限 p:,平均應(yīng)力( the average stress):設(shè)作用在包含P點(diǎn)某一個(gè)截面mn上的單元面積ΔA 上的力為ΔF ，則ΔF/ΔA 稱為ΔA 上的平均應(yīng)力；,彈性力學(xué)的幾個(gè)基本概念,4、正應(yīng)力與切應(yīng)力,,正應(yīng)力 (normal stress) :應(yīng)力在作用截面法線方向的分量：,切應(yīng)力( shear stre

14、ss):設(shè)應(yīng)力在作用界面切線方向的分量：,單位 Pa, Pa = 1 N/㎡常用單位 MPa, 1 MPa= 106 Pa,彈性力學(xué)的幾個(gè)基本概念,5、正平行六面體應(yīng)力,,從物體中取出一個(gè)微小的正平行六面體，它的棱邊分別平行于三個(gè)坐標(biāo)軸，長度分別為dx, dy, dz.正平行六面體應(yīng)力,切應(yīng)力符號(hào)的含義,受力面的法線方向,力的方向,,,,應(yīng)力張量（stress tensor）,,,彈性力學(xué)的幾個(gè)基本概念,6、位移

15、、形變、正應(yīng)變、剪應(yīng)變的概念,,正應(yīng)變 (線應(yīng)變normal strain) :各線段單位長度的伸縮： 以伸長為正；縮短為負(fù),切應(yīng)應(yīng)變( 角應(yīng)變shear strain):各線段之間的直角的改變： 以弧度表示，直角變小為正；變大為負(fù),形變（deformation）: 形狀的改變，它包含長度和角度的改變。,正應(yīng)變和剪應(yīng)變的量綱都為一，即無量綱。,位移（displacement）: 是指位置的移動(dòng). 它在 x, y and z 軸

16、上的投影用 u, v 和w。,正應(yīng)變（線應(yīng)變）,,,切應(yīng)變（角應(yīng)變）,,直角改變量,γ=α+β,彈性力學(xué)基本變量小結(jié),,,,,,,,,,,,,彈性力學(xué)的基本方程,,彈性力學(xué)的基本方程之幾何方程,,設(shè)變形前為平面正方形ABCD，而變形后為A’B’C’D’,從以下幾個(gè)方面描述變形：,（1）x方向的相對(duì)伸長量,（2）y方向的相對(duì)伸長量,（3）夾角的變化,彈性力學(xué)的基本方程之幾何方程,,（1）x方向的相對(duì)伸長量,彈性力學(xué)的基本方程之幾何方程,,

17、（2）y方向的相對(duì)伸長量,彈性力學(xué)的基本方程之幾何方程,,（3）夾角的改變,同理,,彈性力學(xué)的基本方程之幾何方程,,同樣方法來考察體素在XOZ和YOZ平面內(nèi)的變形情況，可得,以上是考察了體素在XOY一個(gè)平面內(nèi)的變形情況，,聯(lián)立得到幾何方程，表明應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系：,彈性力學(xué)的基本方程之平衡方程,,以平面問題為例，截取正方形微元體，考察其平衡條件：,考察平衡條件：,（1）沿x方向主矢投影為零（2）沿y方向主矢投影為零（3）關(guān)

18、于任意點(diǎn)的主矩為零,,由于形狀的任意性，彈性力學(xué)要求變形體的任意一點(diǎn)均滿足平衡條件。,,,,,,同理,,,,,略去高階小量，得,,剪應(yīng)力互等定理,彈性力學(xué)的基本方程之平衡方程,,二維問題平衡條件：,平衡方程：,3.3 彈性力學(xué)的基本方程之平衡方程,,三維問題微元體的平衡：,平衡方程：,彈性力學(xué)的基本方程之物理方程——廣義Hooke定律,,材料常數(shù)：E，G，v,E：彈性模量，（elastic modulus）或：楊氏模量（Young

19、’s modulus）,G：剪切模量，（shear modulus）,ν：泊松比，（Poisson’s ratio）,三個(gè)常數(shù)之間的關(guān)系：,,彈性力學(xué)的基本變量、方程小結(jié),,基本變量：,基本方程：,15個(gè)變量,平衡方程,幾何方程,物理方程,15個(gè)方程,,,,可解否？如何解？,彈性力學(xué)的發(fā)展和研究方法,彈性力學(xué)是一門有悠久歷史的學(xué)科，早期研究可以追溯到1678年，胡克（R.Hooke）發(fā)現(xiàn)胡克定律。這一時(shí)期的研究工作主要是通過實(shí)驗(yàn)方法

20、探索物體的受力與變形之間的關(guān)系。,近代彈性力學(xué)的研究是從19世紀(jì)開始的?？挛?828年提出應(yīng)力、應(yīng)變概念，建立了平衡微分方程，幾何方程和廣義胡克定律。柯西的工作是近代彈性力學(xué)的一個(gè)起點(diǎn)，使得彈性力學(xué)成為一門獨(dú)立的固體力學(xué)分支學(xué)科。,柯西（A.L.Cauchy）,而后，世界各國的一批學(xué)者相繼進(jìn)入彈性力學(xué)研究領(lǐng)域，使彈性力學(xué)進(jìn)入發(fā)展階段。1856年，圣維南（A.J.Saint-Venant）建立了柱體扭轉(zhuǎn)和彎曲的基本理論；,圣維南（

21、A.J.Saint-Venant）,1862年，艾瑞（G.B.Airy）發(fā)表了關(guān)于彈性力學(xué)的平面理論；1881年，赫茲建立了接觸應(yīng)力理論；,赫茲（H.Hertz）,1898年，基爾霍夫建立了平板理論;,1824年生於德國，1887年逝世。曾在海登堡大學(xué)和柏林大學(xué)任物理學(xué)教授，他發(fā)現(xiàn)了電學(xué)中的“基爾霍夫定理”，同時(shí)也對(duì)彈性力學(xué)，特別是薄板理論的研究作出重要貢獻(xiàn)。,基爾霍夫(G.R.Kirchoff),1930年，Гадёркин發(fā)展了

22、應(yīng)用復(fù)變函數(shù)理論求解彈性力學(xué)問題的方法等。另一個(gè)重要理論成果是建立各種能量原理；提出一系列基于能量原理的近似計(jì)算方法。許多科學(xué)家.像拉格朗日(J.L.Lagrange)，樂甫(A.E.H.Love)，鐵木辛柯(S.P.Timoshenko)做出了貢獻(xiàn)。中國科學(xué)家錢偉長，錢學(xué)森，徐芝倫，胡海昌,等在彈性力學(xué)的發(fā)展，特別是在中國的推廣應(yīng)用做出了重要貢獻(xiàn)。,錢偉長,錢學(xué)森,胡海昌,徐芝倫,楊桂通,再 見,課后作業(yè),搜索、閱讀彈性力學(xué)