管理運籌學(xué)-單純形法的靈敏度分析與對偶

1、1,第六章 單純形法的靈敏度分析與對偶,§1　單純形表的靈敏度分析§2　線性規(guī)劃的對偶問題§3　對偶規(guī)劃的基本性質(zhì)§4　對偶單純形法,2,§1　單純形表的靈敏度分析,一、目標(biāo)函數(shù)中變量Ck系數(shù)靈敏度分析1.在最終的單純形表里，X k是非基變量 由于約束方程系數(shù)增廣矩陣在迭代中只是其本身的行的初等變換與Ck沒有任何關(guān)系，所以當(dāng)Ck變成Ck+ Ck時，在最終單純形表中其系數(shù)

2、的增廣矩陣不變，又因為Xk是非基變量，所以基變量的目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)不變，即CB不變，可知Zk也不變，只是Ck變成了Ck+ Ck。這時 K= Ck-Zk就變成了Ck+ Ck- Zk= K+ Ck。要使原來的最優(yōu)解仍為最優(yōu)解，只要 K+ Ck≤0即可，也就是Ck的增量 Ck≤- K。2.在最終的單純形表中， X k是基變量 當(dāng)Ck變成Ck+ Ck時，最終單純形表

3、中約束方程的增廣矩陣不變，但是基變量的目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)CB變了，則ZJ(J=1,2,…..,N)一般也變了，不妨設(shè)CB=(CB1, CB2。。。, Ck,…， CBm),當(dāng)CB變成=(CB1, CB2。。。,Ck+ Ck,…,CBm),則： ZJ=(CB1, CB2。。。, Ck,…，CBm)(a’1j , a’2j ,…, a’Kj ,…, a’mj) Z’J=(CB1, CB2。。。, Ck+

4、 Ck,…，CBm)(a’1j , a’2j ,…, a’Kj ,…, a’mj) = ZJ + Ck a’Kj,3,§1　單純形表的靈敏度分析,根據(jù)上式可知 檢驗數(shù) J (J=1,2,…..,M)變成了 ’J,有 ’ J=CJ-Z’J= J+ CK a’Kj 。要使最優(yōu)解不變，只要當(dāng)J K時， ’J <=0,4,§1　單純形表

5、的靈敏度分析,例： 目標(biāo)函數(shù)：Max z=50X1+100X2 約束條件：X1+X2≤300 2X1+X2≤400 X2≤250 X1，X2≥0最優(yōu)單純形表如下,5,§1　單純形表的靈敏度分析,我們先對非基變量S1的目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)C3進(jìn)行靈敏度分析。

6、 這里δ3=-50，所以當(dāng)c3的增量Δc3≤50，最優(yōu)解不變。 再對基變量x1的目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)c1進(jìn)行靈敏度分析。 在a11’,a12’,a13’,a14’,a15’中，除了知道a11’和 a13’大于0， a15’小于0，可知 ，有 。同樣有 。這樣可以知道當(dāng)-50≤Δc1≤50時，

7、也就是x1的目標(biāo)函數(shù)c1’在0≤c1’≤100時最優(yōu)解不變。 在最終的單純形表中，用C’1代替原來的C1=50,計算得表,6,§1　單純形表的靈敏度分析,,從δ3≤0，得到-c1’≤0,即c1’≥0，并且從δ5≤0，得到c1’≤100。 那么如果c1’取值超出這個范圍，必然存在一個檢驗數(shù)大于0，我們可以通過迭代來得到新的最優(yōu)解。,7,§1　單純形表的靈敏度分析,二、約束方程中常數(shù)項的靈敏度分

8、析 從上表我們可以發(fā)現(xiàn)各個松弛變量的值，正好等于相應(yīng)變量的對偶價格。在最優(yōu)解中S2 =50是基變量，即為，原料A有50千克沒用完，再增加A原料是不會增加利潤的， A的對偶價格為0。對于任何為基變量的松弛變量所對應(yīng)的約束條件的對偶價格為0。,8,§1　單純形表的靈敏度分析,可以看出，上題中對于設(shè)備臺時數(shù)約束來說，當(dāng)其松弛變量在目標(biāo)函數(shù)中從0變到Z3=50時，也就是只要當(dāng)前余下一臺時數(shù)設(shè)備從

9、不能獲利變成獲利50元時，譬如有人愿意出50元買一個設(shè)備時，我們就不必為生產(chǎn)Ι、П產(chǎn)品而使用完所有的設(shè)備臺時了，這說明了設(shè)備臺時數(shù)的對偶價格就是Z3=50元。 對于含有大于等于號的約束條件，添加剩余變量化為標(biāo)準(zhǔn)型。這時這個約束條件的對偶價格就和這個剩余變量的 有關(guān)了。這將使得最優(yōu)目標(biāo)值特別“惡化”而不是改進(jìn)，故這時約束條件的對偶價格應(yīng)取 值的相反數(shù)- 。 對于含有等于號

10、的約束條件，其約束條件的對偶價格就和該約束方程的人工變量有關(guān)了。其約束條件的對偶價格就等于此約束方程的人工變量的 值。,9,下表給出了一個由最終單純形表對于不同約束類型的對偶價格的取值。 從對偶價格的定義,可以知道當(dāng)對偶價格為正時它將改進(jìn)目標(biāo)函數(shù)的值，當(dāng)對偶價格為負(fù)時它將使得目標(biāo)函數(shù)朝著與最優(yōu)化相反的方向前進(jìn)。 下面我們研究當(dāng)右端項bj發(fā)

11、生變化時，在什么范圍內(nèi)其對偶價格不變。由于bj的變化并不影響系數(shù)矩陣的迭代，故其最終單純形表中的系數(shù)矩陣沒有變化。由此可見當(dāng)bj變化時，要使原來的基不變得到的基本可行解仍然是可行解，也就是所求的基變量的值一定要大于0。所謂使其對偶價格不變的bj的變化范圍，也就是使其最優(yōu)解的所有基變量不變，且所得的最優(yōu)解仍然是可行的bj的變化范圍。,,§1　單純形表的靈敏度分析,10,§1　單純形表的靈敏度分析,當(dāng)bj中的第k

12、項bK 變成 時，也就是原來的初始單純形表中的b向量變成了b’向量,11,§1　單純形表的靈敏度分析,這樣在最終單純形表中基變量XB的解就變成了 如要使XB成為可行解，只要使上述等式的右邊>0，就可求出 的取值范圍，也就是使得第K個約束條件的對偶價格不變的bk的變化范圍。

13、 ，,12,§1　單純形表的靈敏度分析,下面我們?nèi)砸缘诙吕?在最終單純形表上對bj 進(jìn)行靈敏度分析。最終單純形表如下所示：,13,§1　單純形表的靈敏度分析,我們對b1進(jìn)行靈敏度分析，因為在第一個約束方程中含有松弛變量S1, 實際意義可以描述為：當(dāng)設(shè)備臺時數(shù)的對偶價格不變，都為每設(shè)備臺時數(shù)在250與325之間變化，則設(shè)備臺時數(shù)的對偶價格不變，都為每臺設(shè)備臺時50元。,

14、14,§1　單純形表的靈敏度分析,三、約束方程系數(shù)矩陣A靈敏度分析下面分兩種情況討論 1.在初始單純形表上的變量Xk的系數(shù)列Pk改變?yōu)镻’k經(jīng)過迭代后，在最終單純形表上Xk是非基變量。由于單純形表的迭代是約束方程的增廣矩陣的行變換，Pk變成Pk’僅僅影響最終單純形表上第k列數(shù)據(jù)，包括Xk的系數(shù)列、Zk以及 k，這時最終單純形表上的Xk的系數(shù)列就變成了B-1Pj’,而Zk就變成CBB-1Pk’，新的檢驗數(shù)

15、 k=Ck-CBB-1Pk’。若 k≤0，則原最優(yōu)解仍然為最優(yōu)解。若 k 〉0，則繼續(xù)進(jìn)行迭代以求出最優(yōu)。 例 以第二章例1為基礎(chǔ)，設(shè)該廠除了生產(chǎn)Ι，Ⅱ種產(chǎn)品外，現(xiàn)在試制成一個新產(chǎn)品Ⅲ，已知生產(chǎn)產(chǎn)品Ⅲ,每件需要設(shè)備2臺時，并消耗A原料0.5公斤。B原料1.5公斤，獲利150元，問該廠應(yīng)該生產(chǎn)該產(chǎn)品多少？解：這是一個增加新變量的問題。我們可以把它認(rèn)為是一個改變變量X3在初始表上的系數(shù)列的問題，,15,§1　單純形表的靈敏

16、度分析,接上頁,16,§1　單純形表的靈敏度分析,例 假設(shè)上例題中產(chǎn)品Ш的工藝結(jié)構(gòu)有了改進(jìn)，這時生產(chǎn)1件Ш產(chǎn)品需要使用1.5臺設(shè)備 ，消耗原料A為2千克，原料B為1千克，每件Ш產(chǎn)品的利潤為160元，問該廠的生產(chǎn)計劃是否要修改。 解：首先求出X3在最終表上的系數(shù)列,,17,§1　單純形表的靈敏度分析,接下來又可以有新的迭代S3進(jìn)基，,,18,§1　單純形表的靈敏度分析,接上頁

17、 可知此規(guī)模的最優(yōu)解X1=0, X2=0, S1=0, S2=0, S3=50, X3=200,此時，最大目標(biāo)函數(shù)為32000元。也就是說，該廠的新的生產(chǎn)計劃為不生產(chǎn)Ι、П產(chǎn)品，生產(chǎn)Ш產(chǎn)品200件, 可獲得最大利潤32000元。,19,§1　單純形表的靈敏度分析,2.在初始表上的變量XK的系數(shù)PK改變?yōu)镻’K，經(jīng)過迭代后，在最終表上XK是基變量，在這種情況下原最優(yōu)解的可行性和最優(yōu)解都可能被破

18、壞，問題十分復(fù)雜，一般不去修改原表而是直接計算。,20,§1　單純形表的靈敏度分析,四、增加一個約束條件的靈敏度分析,在原線性規(guī)劃中增加一個約束條件時,先將原問題的最優(yōu)解的變量值代入新增的約束條件，如滿足則說明新增的條件沒有起到限制作用，故原最優(yōu)解不變，否則將新增的約束添入原最終單純形表上進(jìn)一步求解。 下面仍以第三章例1為例來加以說明。 例：假如該工廠除了在設(shè)備臺時，原材料A、B上對該廠的生產(chǎn)有限制外，還有電

19、力供應(yīng)上的限制。最高供應(yīng)電量為5000度，而生產(chǎn)一個Ⅰ產(chǎn)品需要用電10度，而生產(chǎn)一個Ⅱ產(chǎn)品需要用電30度。試分析此時該廠獲得最大利潤的生產(chǎn)計劃？,21,§1　單純形表的靈敏度分析,,解：先將原問題的最優(yōu)解,=50，,=250代入用電量的約束條件,得：10×50+30×250=500+7500>5000,所以原題的最優(yōu)解不是本題的最優(yōu)解。在用電量的約束條件中加入松馳變量S4后得：,,把這個約束條件加入

20、到原最終單純形表上，其中S4為基變量，得表如下：,,22,§1　單純形表的靈敏度分析,,在上表中的X1，X2不是單位向量，故進(jìn)行行的線性變換，得,把上表中的S4行的約束可以寫為：,上式兩邊乘以（-1），再加上人工變量a1得：,用上式替換上表中的S4行，得下表：,23,§1　單純形表的靈敏度分析,,24,§1　單純形表的靈敏度分析,,由上表可知，最優(yōu)解為：,即該工廠在添加了用電限量以后的最優(yōu)生產(chǎn)計劃為Ⅰ產(chǎn)品生

21、產(chǎn)140件，Ⅱ產(chǎn)品生產(chǎn)120件。,25,每一個線性規(guī)劃問題，都存在每一個與它密切相關(guān)的線性規(guī)劃的問題，我們稱其為原問題，另一個為對偶問題。例題1 某工廠在計劃期內(nèi)安排Ⅰ、Ⅱ兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需設(shè)備A、B、C臺時如表所示 該工廠每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品 可獲利50元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品Ⅱ可獲利100元，問工廠應(yīng)分別生產(chǎn)多少 產(chǎn)品和Ⅱ產(chǎn)品，才能使工廠獲利最多？解：設(shè) 為產(chǎn)品 的計劃產(chǎn)量， 為產(chǎn)品

22、Ⅱ的計劃產(chǎn)量，則有目標(biāo)函數(shù)： Max z=50 +100約束條件： ，,§2 線性規(guī)劃的對偶問題,26,現(xiàn)在我們從另一個角度來考慮這個問題。假如有另外一個工廠要求租用該廠的設(shè)備A、B、C，那么該廠的廠長應(yīng)該如何來確定合理的租金呢？ 設(shè)

23、 分別為設(shè)備A、B、C的每臺時的租金。為了敘述方便，這里把租金定義為扣除成本后的利潤。作為出租者來說，把生產(chǎn)單位 產(chǎn)品所需各設(shè)備的臺時各總租金不應(yīng)低于原利潤50元，即 ，否則就不出租還是用于生產(chǎn) 產(chǎn)品以獲利50元；同樣把 生產(chǎn)一單位 產(chǎn)品所需各設(shè)備的臺時的總租金也不應(yīng)當(dāng)?shù)陀谠麧?00元， 即，否則這些設(shè)備臺時就不出租，還是用于生產(chǎn) 產(chǎn)品以獲利100元

24、。但對于租用者來說，他要求在滿足上述要求的前提下，也就是在出租者愿意出租的前提下盡量要求全部設(shè)備臺時的總租金越低越好，即min ，這樣我們得到了該問題的數(shù)學(xué)模型： 目標(biāo)函數(shù)： 約束條件： 這樣從兩個不同的角度來考慮同一個工廠的最大利潤（最小租金）的問題，所建立起來的兩個線性模

25、型就是一對對偶問題，其中一個叫做原問題，而另外一個叫對偶問題。,§2 線性規(guī)劃的對偶問題,27,如果我們把求目標(biāo)函數(shù)最大值的線性規(guī)劃問題看成原問題，則求目標(biāo)函數(shù)最小值的線性規(guī)劃問題看成對偶問題。下面來研究這兩個問題在數(shù)學(xué)模型上的關(guān)系。 1 求目標(biāo)函數(shù)最大值的線性規(guī)劃問題中有n 個變量 m個約束條件，它的約束條件都是小于等于不等式。而其對偶則是求目標(biāo)函數(shù)為最小值的線性規(guī)劃問題，有m個變量n個約束

26、條件，其約束條件都為大于等于不等式。 2 原問題的目標(biāo)函數(shù)中的變量系數(shù)為對偶問題中的約束條件的右邊常數(shù)項，并且原問題的目標(biāo)函數(shù)中的第i個變量的系數(shù)就等于對偶問題中的第i個約束條件的右邊常數(shù)項。 3 原問題的約束條件的右邊常數(shù)項為對偶問題的目標(biāo)函數(shù)中的變量的系數(shù)。并且原問題的第i個約束條件的右邊常數(shù)項就等于零對偶問題的目標(biāo)函數(shù)中的第i個變量的系數(shù)。 4 對偶問題的約束條件的系數(shù)矩陣A是原問題約束

27、矩陣的轉(zhuǎn)置。 設(shè) A=則,§2 線性規(guī)劃的對偶問題,28,如果我們用矩陣形式來表示，則有原問題： 其中A是 矩陣m*n，該問題有m個約束條件n個變量，x= ,b= , c=

28、 對偶問題： 其中 是A的轉(zhuǎn)置， 是b的轉(zhuǎn)置, 是c的轉(zhuǎn)置, y= 現(xiàn)在我們用單純形法求對偶問題的解。,§2 線性規(guī)劃的對偶問題,29,加上剩余變量 和人工變量 ，把此問題化成標(biāo)準(zhǔn)型如下：把上述數(shù)據(jù)

29、填入單純形表計算。,§2 線性規(guī)劃的對偶問題,30,§2 線性規(guī)劃的對偶問題,,31,由上表，最優(yōu)解： =50， -f 的最大值為-27500，即目標(biāo)函數(shù)f的最大值為f=27500元。 從上面可知租金：A設(shè)備為50元，B設(shè)備為0元，C設(shè)備為5

30、0元。這樣把工廠的所有設(shè)備出租可共得租金27500元。對出租者來說這租金是出租者愿意出租設(shè)備的最小費用，因為這是目 標(biāo)函數(shù)的最小值。 通過比較，我們發(fā)現(xiàn)：對偶問題的最優(yōu)解即最佳租金恰好等于原問題各種設(shè)備的對偶價格，這在道理上也能講得通。 對于兩個有對偶關(guān)系的線性規(guī)劃的問題，我們只要求得了其中一個最優(yōu)解，就可以從這個問題的對偶價格而求得其對偶問題的最優(yōu)解，知道其中一個最優(yōu)值也就找到了其對偶問題的最優(yōu)值，因為這兩

31、個最優(yōu)值相等。,§2 線性規(guī)劃的對偶問題,32,下面來闡述如何寫出一個線性規(guī)劃問題的對偶問題。為了便于闡述，我們不妨以下面的線性規(guī)劃為例，寫出它的對偶問題。 S.T.,§2 線性規(guī)劃的對偶問題,33,這是一個求最大值的線性規(guī)劃問題，為了寫出它的對偶問題，我們不妨把它的約束條件都變換成取小于號

32、的不等式。顯然第一個約束條件已符合要求，不要做任何變動，而第二個約束條件，我們只要兩邊都乘以（-1），使不等號方向改變即可，得 這樣第二個約束條件也就符合要求。對于第三個約束條件，我們可以用小于等于和大于等于兩個約束條件來替代它。即有 顯然，這兩個約束條件與原來第三個約束條件是等價的，我們再把其中的兩邊都乘以（-1），得,§2 線性規(guī)劃的對偶問

33、題,34,通過上面的一些變換，我們得到了一個和原線性規(guī)劃等價的線性規(guī)劃問題： s.t.,§2 線性規(guī)劃的對偶問題,35,這個求最大值的線性規(guī)劃問題的約束條件都取小于等于號，我們馬上可以寫出其對偶問題： s.t.,§2 線性規(guī)劃的對偶問題,36,這里

34、 和 一樣都是不同的決策變量，為了表示這兩個決策變量都來源于原問題的第三個約束條件，記為 。 因為在該對偶問題中 和 的系數(shù)只相差一個符號，我們可以把上面的對偶問題化為： s.t.,§2 線性規(guī)劃的對偶問題,37,,進(jìn)一步，我們可以令

35、 ，這時當(dāng) 時， ，當(dāng) 時， 。這也就是說，盡管 但 的取值可以為正，可以為0，可以為負(fù)，即 沒有非負(fù)限制。 這樣我們把原規(guī)劃的對偶問題化為

36、 s.t. 沒有限制。 對照原線性規(guī)劃問題，我們可以知

37、道： 當(dāng)原線性規(guī)劃問題的第i個約束條件取等號時，則其對偶問題的 i個決策變量沒有非負(fù)限制。 如果當(dāng)原線性規(guī)劃問題中的第 i個決策變量 沒有非負(fù)限制時，我們也可以用 進(jìn)行替換，這里 ， ，用類似的方法知道其對偶問題中第 i個約束條件取等號。,

38、7;2 線性規(guī)劃的對偶問題,38,另外，用大于等于0的兩個決策變量之差來代替無非負(fù)限制的決策變量也是求解含有無非負(fù)限制的決策變量的線性規(guī)劃問題的一種方法。 原線性規(guī)劃問題為： s.t. 無非負(fù)限制。,§2 線性規(guī)劃的對偶問題,39,§3　對偶規(guī)劃的基本性質(zhì),對偶規(guī)劃的基本性質(zhì)1．對稱性

39、。即對偶問題的對偶是原問題。2．弱對偶性。即對于原問題（Ⅰ）和對偶問題（Ⅱ）的可行解 都有C ≤bT 。 由弱對偶性，可得出以下推論：（1）原問題任一可行解的目標(biāo)函數(shù)值是其對偶問題目標(biāo)函數(shù)值的下界；反之對偶問題任一可行解的目標(biāo)函數(shù)值是其原問題目標(biāo)函數(shù)值的上界。（2）如原問題有可行解且目標(biāo)函數(shù)值無界（或具有無界解），則其對偶問題無可行解；反之對偶問題有可行解且目標(biāo)函數(shù)值無界，則其原問題無可行解（注意：本

40、點性質(zhì)的逆不成立，當(dāng)對偶問題無可行解時，其原問題或具有無界解或無可行解，反之亦然）。（3）若原問題有可行解而其對偶問題無可行解，則原問題目標(biāo)函數(shù)值無界；反之對偶問題有可行解而其原問題無可行解，則對偶問題的目標(biāo)函數(shù)值無界。,,,,40,§3　對偶規(guī)劃的基本性質(zhì),3．最優(yōu)性。如果 是原問題(Ⅰ)的可行解， 是對偶問題(Ⅱ)的可行解，并且 C = bT ，則 和 分別為原問題(Ⅰ)和對偶問題(

41、Ⅱ)的最優(yōu)解。4．強對偶性。即若原問題(Ⅰ)及其對偶問題(Ⅱ)都有可行解，則兩者都有最優(yōu)解；且它們的最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)都相等。5．互補松弛性。在線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解中，如果對應(yīng)某一約束條件的對偶變量值為非零，則該約束條件取嚴(yán)格等式；反之，如果約束條件取嚴(yán)格不等式，則其對應(yīng)的對偶變量一定為零也即 若yi*>0,則有 若 ，則有yi*=0,,,,,4

42、1,§4　對偶單純形法,對偶單純形法也是解決線性規(guī)劃問題的一種方法。對偶單純形法是在保持原有問題的所有檢驗數(shù)都小于0的情況下，通過迭代使得所有的約束都大于等于0，最后求得最優(yōu)解。 簡化計算是對偶單純形法的優(yōu)點，但是它在使用上有很大的局限，這主要是大多數(shù)線性規(guī)劃問題很難找到初始解使得其所有檢驗數(shù)都小于0。但是在靈敏度分析中，有時需要對偶單純形法，這樣可以簡化處理。下面以第二節(jié)例一為例。 上節(jié)分析中