軌跡方程的五種求法例題

1、動點軌跡方程的求法動點軌跡方程的求法一、直接法一、直接法按求動點軌跡方程的一般步驟求，其過程是建系設(shè)點，列出幾何等式，坐標代換，化簡整理，主要用于動點具有的幾何條件比較明顯時例1已知直角坐標平面上點Q（2，0）和圓C：122??yx，動點M到圓C的切線長與MQ的比等于常數(shù)??0???（如圖），求動點M的軌跡方程，說明它表示什么曲線【解析解析】：設(shè)M（x，y），直線MN切圓C于N，則有??MQMN，即???MQONMO22，??????2

2、222)2(1yxyx整理得0)41(4)1()1(222222???????????xyx，這就是動點M的軌跡方程若1??，方程化為45?x，它表示過點)045(和x軸垂直的一條直線；若λ≠1，方程化為2222222)1(3112?????????yx）－（，它表示以)012(22???為圓心，13122????為半徑的圓二、代入法二、代入法若動點M（x，y）依賴已知曲線上的動點N而運動，則可將轉(zhuǎn)化后的動點N的坐標入已知曲線的方程或滿

3、足的幾何條件，從而求得動點M的軌跡方程，此法稱為代入法，一般用于兩個或兩個以上動點的情況例2已知拋物線12??xy，定點A（3，1），B為拋物線上任意一點，點P在線段AB上，且有BP:PA=1:2，當點B在拋物線上變動時，求點P的軌跡方程，并指出這個軌跡為哪種曲線【解析解析】：設(shè))()(11yxByxP，由題設(shè)，P分線段AB的比2??PBAP?，∴.2121212311??????yyxx解得2123232311????yyxx.又點B

4、在拋物線12??xy上，其坐標適合拋物線方程，∴.1)2323()2123(2????xy整理得點P的軌跡方程為)31(32)31(2???xy其軌跡為拋物線三、定義法三、定義法若動點運動的規(guī)律滿足某種曲線的定義，則可根據(jù)曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程此法一般用于求圓錐曲線的方程，在高考中常填空、選擇題的形式出現(xiàn)???????????.)1(2)1(212121ttytx由12??ttOQOP和1xxOQOP?得???????????

5、?????????222222tytxtytx或其中t＞1消去t，得點P軌跡方程為)22(222??xyx和)22(222????xyx其軌跡為拋物線yx222?在直線22?x右側(cè)的部分和拋物線yx222??在直線22??x在側(cè)的部分五、交軌法五、交軌法一般用于求二動曲線交點的軌跡方程其過程是選出一個適當?shù)膮?shù)，求出二動曲線的方程或動點坐標適合的含參數(shù)的等式，再消去參數(shù)，即得所求動點軌跡的方程例6已知兩點)20()22(QP?以及一條直

6、線?：y=x，設(shè)長為2的線段AB在直線?上移動，求直線PA和QB交點M的軌跡方程【解析解析】：PA和QB的交點M（x，y）隨A、B的移動而變化，故可設(shè))11()(??ttBttA，則PA：)2)(2(222???????txttyQB：).1(112??????txtty消去t，得.082222?????yxyx當t=－2，或t=－1時，PA與QB的交點坐標也滿足上式，所以點M的軌跡方程是.0822222??????yxxyx以上是求動