淺談微積分中的“定”與“不定”

1、淺談微積分中的淺談微積分中的“定”與“不定不定”白海清PB08207229前幾天看雜志，里面談到生活中的一定和不一定：當(dāng)了博導(dǎo)的，不一定就是眾望所歸；沒當(dāng)博導(dǎo)的不一定不學(xué)無術(shù)。多磨一定是好事，好事不一定多磨?？途赢愢l(xiāng)者不一定不愛國；廝守故土的也不全是愛國者?！皩嵵痢辈灰欢ā懊麣w”，欺世往往可以盜名……很有哲理。這使我聯(lián)想到了微積分.微積分這門課程中概念比較多，涉及的定理公式比較繁瑣，于是也不免有很多“一定”和“不一定”。于是我綜合課本的

2、講解和課后的習(xí)題做了以下一些總結(jié)。（由于公式比較難輸入，我盡量用文字說明。）一收斂一定有界；有界不一定收斂函數(shù)的有界性體現(xiàn)了函數(shù)在定義域內(nèi)取值的特征，而函數(shù)的收斂則反映了函數(shù)在某個極限的取值的歸一性。例如：y=(1)n它在實數(shù)范圍內(nèi)是有界的，但它任何地方都不是收斂的。二可導(dǎo)一定連續(xù)；連續(xù)不一定可導(dǎo)可導(dǎo)是建立在連續(xù)的基礎(chǔ)上的；而可導(dǎo)則必須要求函數(shù)值的增量和自變量增量（△x）的比值在△x→0時極限存在。三x在閉區(qū)間上連續(xù)，則它在區(qū)間的任意一

3、點(diǎn)連續(xù)；f(x)在x0連續(xù)，不一定在它的某個鄰域內(nèi)連續(xù)。前者是顯然的。后者可由反例證明其錯誤性：f(x)=x當(dāng)x為有理數(shù)f(x)=x，當(dāng)x為無理數(shù)。四可積一定有界；有界不一定可積。前者課本中有證明，對于后者可舉出反例，如Dirichlet函數(shù)在[0，1]上是有界但不可積的（Riemann可積）。五f(x)連續(xù)f(x)一定有原函數(shù)；f(x)有原函數(shù)，f(x)不一定連續(xù)。前者是顯然的，書上有證明。對于后者，可以舉出反例。如：F(x)=x2s

4、inx1(x≠0)0(x=0)而F’（x）=f(x)=2xsincosx≠00x=0f(x)在R內(nèi)有原x1x1函數(shù)F(x)，但f(x)不是連續(xù)的。事實上，可以證明，有第一類間斷點(diǎn)的函數(shù)不存在原函數(shù)（用反證法）六連續(xù)一定可積；可積不一定連續(xù)。同上，前者是書上的定理，后者可舉出反例：x0f(x)=1它在[0，1]上是可積但不連續(xù)的。七單調(diào)一定有反函數(shù)；有反函數(shù)不一定單調(diào)。有反函數(shù)只要求x和y的值一一對應(yīng)，故函數(shù)不一定單調(diào)。例如：x0，則f(