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1、淺談微積分中的淺談微積分中的“定”與“不定不定”白海清PB08207229前幾天看雜志,里面談到生活中的一定和不一定:當(dāng)了博導(dǎo)的,不一定就是眾望所歸;沒當(dāng)博導(dǎo)的不一定不學(xué)無術(shù)。多磨一定是好事,好事不一定多磨??途赢愢l(xiāng)者不一定不愛國;廝守故土的也不全是愛國者?!皩嵵痢辈灰欢ā懊麣w”,欺世往往可以盜名……很有哲理。這使我聯(lián)想到了微積分.微積分這門課程中概念比較多,涉及的定理公式比較繁瑣,于是也不免有很多“一定”和“不一定”。于是我綜合課本的
2、講解和課后的習(xí)題做了以下一些總結(jié)。(由于公式比較難輸入,我盡量用文字說明。)一收斂一定有界;有界不一定收斂函數(shù)的有界性體現(xiàn)了函數(shù)在定義域內(nèi)取值的特征,而函數(shù)的收斂則反映了函數(shù)在某個極限的取值的歸一性。例如:y=(1)n它在實數(shù)范圍內(nèi)是有界的,但它任何地方都不是收斂的。二可導(dǎo)一定連續(xù);連續(xù)不一定可導(dǎo)可導(dǎo)是建立在連續(xù)的基礎(chǔ)上的;而可導(dǎo)則必須要求函數(shù)值的增量和自變量增量(△x)的比值在△x→0時極限存在。三x在閉區(qū)間上連續(xù),則它在區(qū)間的任意一
3、點(diǎn)連續(xù);f(x)在x0連續(xù),不一定在它的某個鄰域內(nèi)連續(xù)。前者是顯然的。后者可由反例證明其錯誤性:f(x)=x當(dāng)x為有理數(shù)f(x)=x,當(dāng)x為無理數(shù)。四可積一定有界;有界不一定可積。前者課本中有證明,對于后者可舉出反例,如Dirichlet函數(shù)在[0,1]上是有界但不可積的(Riemann可積)。五f(x)連續(xù)f(x)一定有原函數(shù);f(x)有原函數(shù),f(x)不一定連續(xù)。前者是顯然的,書上有證明。對于后者,可以舉出反例。如:F(x)=x2s
4、inx1(x≠0)0(x=0)而F’(x)=f(x)=2xsincosx≠00x=0f(x)在R內(nèi)有原x1x1函數(shù)F(x),但f(x)不是連續(xù)的。事實上,可以證明,有第一類間斷點(diǎn)的函數(shù)不存在原函數(shù)(用反證法)六連續(xù)一定可積;可積不一定連續(xù)。同上,前者是書上的定理,后者可舉出反例:x0f(x)=1它在[0,1]上是可積但不連續(xù)的。七單調(diào)一定有反函數(shù);有反函數(shù)不一定單調(diào)。有反函數(shù)只要求x和y的值一一對應(yīng),故函數(shù)不一定單調(diào)。例如:x0,則f(
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