《應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)》第4章概率論基礎(chǔ)

1、1,本章教學(xué)目標：簡要介紹概率的基礎(chǔ)知識，主要供學(xué)員回顧復(fù)習(xí)概率知識的參考，為統(tǒng)計學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)提供所需的基礎(chǔ)知識；掌握查各種概率分布表時Excel統(tǒng)計函數(shù)的使用；能運用概率知識解決企業(yè)經(jīng)營管理中的實際問題。運用動態(tài)模擬方法驗證中心極限定理；項目投資決策的應(yīng)用案例分析。,第4章 概率論基礎(chǔ),2,本章主要內(nèi)容,§4.1 隨機試驗與隨機事件§4.2 概 率§4.3 隨機變量及其分布函數(shù)&#

2、167;4.4 離散型隨機變量§4.5 連續(xù)型隨機變量§4.6 隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差§4.7 大數(shù)定律和中心極限定理§4.8 新產(chǎn)品投資決策案例分析 本章內(nèi)容的重點：條件概率、事件的獨立性、二項分布、正態(tài)分布、Excel統(tǒng)計函數(shù)的使用。,3,在市場經(jīng)濟環(huán)境下，企業(yè)所面臨的是充滿不確定因素的市場經(jīng)濟環(huán)境，企業(yè)的任何決策都存在不同程度的風險。正確的決策可以

3、為企業(yè)帶來巨大的經(jīng)濟效益和發(fā)展機遇，但重大的決策失誤也會給企業(yè)造成巨大的經(jīng)濟損失，并有可能使企業(yè)從此陷入困境甚至破產(chǎn)倒閉。因此，如何提高決策的科學(xué)性，并盡可能降低和規(guī)避決策的風險，是所有企業(yè)的高層經(jīng)營管理決策者都面臨的共性問題。 利用概率論的知識，可以幫助決策者進行風險型決策分析，利用所能獲得的各種信息，還可以大大降低決策的風險程度，盡可能避免重大的經(jīng)濟損失，并為企業(yè)帶來可觀的經(jīng)濟效益和良好的發(fā)展機遇。,引言,4,光大電器公司開

4、發(fā)了一種新型洗衣機，生產(chǎn)該洗衣機的經(jīng)濟規(guī)模為100萬臺/年，需要投入的生產(chǎn)線設(shè)備、模具、工裝等固定投資費用為2000萬元，項目的建設(shè)期為一年，固定投資費用在建設(shè)期初一次投入。產(chǎn)品投產(chǎn)時還需投入生產(chǎn)流動資金1000萬元。由于洗衣機產(chǎn)品的技術(shù)進步較快，估計該產(chǎn)品的市場壽命期為5年，5年末固定資產(chǎn)殘值為固定投資額的20%，流動資金可在壽命期末全部收回。由于洗衣機的市場競爭非常激烈，該新型洗衣機投入生產(chǎn)后的經(jīng)濟效益具有很大的不確定性。為了提高

5、產(chǎn)品投資決策的科學(xué)性，該公司在決定是否投資生產(chǎn)該新型洗衣機之前，進行了一些市場調(diào)查預(yù)測和項目的經(jīng)濟可行性研究。,項目投資實例,5,市場調(diào)查和預(yù)測分析估計，產(chǎn)品上市后銷售量將達到生產(chǎn)能力的80%以上（暢銷）、50%～80%（銷售一般）、不足50%（滯銷）的可能性分別為40%、30%、30%。 另經(jīng)財務(wù)部門所作的財務(wù)預(yù)測分析，在產(chǎn)品出現(xiàn)”滯銷”、”一般”和”暢銷”三種銷售狀況下，該項目投產(chǎn)后的年凈現(xiàn)金流量將分別為100萬元、600萬元和

6、1000萬元。 考慮到籌資成本和資金的機會成本，貼現(xiàn)率應(yīng)取6%。,6,為使對該新產(chǎn)品項目的投資決策更具科學(xué)性，總經(jīng)理召開了有銷售、生產(chǎn)、財務(wù)、技術(shù)等部門負責人參加的會議。會上銷售部經(jīng)理建議，為減小決策風險，應(yīng)在決定是否投資生產(chǎn)前先利用原有設(shè)備進行少量試生產(chǎn)（100臺），并將試生產(chǎn)的洗衣機免費贈送給不同地區(qū)的一些用戶進行為期3個月的試用，以取得用戶的反饋信息。為此，銷售部經(jīng)理還設(shè)計了用戶試用后的信息反饋表，包括功能、使用效果、方便程度

7、、外觀、可靠性五大類共25個指標，每項指標都由用戶按1～5分打分，加權(quán)平均后的滿分為100分。根據(jù)用戶試用后反饋結(jié)果的總平均分，可將用戶對該洗衣機的評價分為”不滿意”（低于60分）、”尚可”（60～90分）和”滿意”（高于90分）三種可能結(jié)果。,銷售部經(jīng)理的建議,7,銷售部經(jīng)理認為，為減少決策風險，應(yīng)根據(jù)對用戶試用反饋情況進行分析后再作是否投資生產(chǎn)該洗衣機的決定。銷售部經(jīng)理還提供了過去許多企業(yè)在產(chǎn)品正式投產(chǎn)之前采用類似試用或試銷方法的用

8、戶反饋結(jié)果與產(chǎn)品正式生產(chǎn)上市后銷售狀況之間的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，見表1表1 銷售狀況與試用結(jié)果間的統(tǒng)計資料,8,總經(jīng)理指示財務(wù)部經(jīng)理對銷售部經(jīng)理所提方案的費用進行估算。在下一次的會議上，財務(wù)部經(jīng)理給出了試生產(chǎn)、分發(fā)用戶試用及收集用戶反饋信息等項工作的總費用估算結(jié)果，估計需要100萬元。會上有人提出是否值得花100萬元進行試生產(chǎn)并免費贈送用戶試用，并展開了激烈的爭論。總經(jīng)理希望能對各種可行方案的風險及經(jīng)濟效益進行科學(xué)的分析與評價。,如何進行

9、科學(xué)決策？,9,以上案例屬于“有追加信息的風險型決策”問題，案例的分析需要用到一些概率知識，包括條件概率、全概率公式、貝葉斯公式和數(shù)學(xué)期望等，以及項目凈現(xiàn)值等知識。在本章的最后一節(jié)，我們將運用所學(xué)的概率知識對該例進行分析，并且還將討論信息的價值問題。,10,一．隨機試驗 人們在研究經(jīng)濟管理以及其他社會問題中，通?？偸峭ㄟ^調(diào)查或?qū)ι鐣F(xiàn)象的觀察來獲取所研究問題的有關(guān)數(shù)據(jù)；在自然科學(xué)領(lǐng)域中，人們也是通過科學(xué)實驗或?qū)ψ匀滑F(xiàn)象的觀察來獲取

10、所需要的資料。 對社會現(xiàn)象的觀察和對自然現(xiàn)象的科學(xué)實驗在概率論和統(tǒng)計學(xué)中都統(tǒng)稱為試驗。如果試驗可在相同的條件下重復(fù)進行，而且試驗的結(jié)果不止一個，每次試驗前不能確定將會出現(xiàn)哪一結(jié)果，這樣的試驗就稱為隨機試驗，簡稱試驗。 例如，在一批產(chǎn)品中任意抽取一件進行檢驗；企業(yè)市場調(diào)查人員就本企業(yè)的產(chǎn)品和服務(wù)進行的用戶滿意度調(diào)查；對某產(chǎn)品進行的壽命試驗等等都是隨機試驗。,§4.1 隨機試驗與隨機事件,11,1．基本事件——試驗

11、中每一可能出現(xiàn)的結(jié)果，稱為該試驗的一個基本事件或樣本點。2．復(fù)合事件——由多個基本事件構(gòu)成的集合。 基本事件和復(fù)合事件統(tǒng)稱為隨機事件，常用字母A，B，C，… 表示。3．樣本空間——由試驗E所有基本事件組成的集合，稱為E的樣本空間，常用字母S表示。4．必然事件——每次試驗中必然發(fā)生的事件；樣本空間S是必然事件。5．不可能事件——試驗中不可能發(fā)生的事件；不含任何基本事件的空集是不可能事件；記為φ。,二. 隨機事件,12,,【例1

12、】擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù). 記A1為{出現(xiàn)偶數(shù)點}；A2為{小于4的點}，A3為{不超過6的點}，A4為{大于6的點}。 則：S ={1，2，3，4，5，6}； A1={2，4，6}； A2={1，2，3}； A3=S； A4=φ【例2】在一批產(chǎn)品中連續(xù)抽取二次，每次任取一件進行檢驗，分別記T、F為抽到正品和次品，并記A1為{第一次抽到的是正品}，A2為{抽到一個正品}，A3為{兩次抽到的質(zhì)量相

13、同}，則： S = {(T，T)，(T，F(xiàn))，(F，T)，(F，F(xiàn))}； A1={(T，T)，(T，F(xiàn))}； A2={(T，F(xiàn))，(F，T)}； A3={(T，T)，(F，F(xiàn))},13,1．事件的包含若A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生，則稱B包含A或A包含于B，記為B?A或A?B。,2．事件的并 “A與B至少有一個發(fā)生”的事件，稱為A并B，記為A∪B,三. 事件間的關(guān)系和運算,14,,3.事件的交“A與B同時發(fā)生”，

14、稱為A交B，記為 A∩B或AB。,4.互斥(互不相容)事件 若A與B不能同時發(fā)生，即AB=φ，則稱A與B互斥。 顯然，基本事件都是互斥的。,15,,5.事件的差“A發(fā)生而B不發(fā)生”的事件，稱為A與B的差，記為A-B。,6.互逆(對立)事件 若試驗中，A與B必有且僅有一個發(fā)生，即同時滿足A∪B=S和AB=φ，則稱A與B互逆(對立)， 并稱A是B的逆事件，反之亦然，記為,16,,7．事件運算的性質(zhì)(1)交換律：A∪B=

15、B∪A； AB=BA(2)結(jié)合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C) (AB)C=A(BC)(3)分配律： (A∪B)C=(AC)∪(BC) (AB)∪C=(A∪C)(B∪C)(4)對偶律：,17,【例3】如何表示復(fù)雜事件,在一批產(chǎn)品中連續(xù)抽檢3個產(chǎn)品，記Ai={第i個是次品}，i=1,2,3, 用Ai間的關(guān)系表示以下事件： (1) 至少有一個次品：,A1∪A2

16、∪A3,A1A2A3,(4) 至少有一個正品：,(3) 3個都是正品：,(2) 3個都是次品：,其中(1)與(3)是互逆事件，(2)與(4)也是互逆事件。,18,,課堂練習(xí)1,在一批產(chǎn)品中連續(xù)抽取3個產(chǎn)品進行檢驗，記Ai={第i個抽到的是次品}，i=1,2,3。試用Ai間的運算關(guān)系表示以下事件： (1)至少有一個正品；(2)全部是正品； (3)恰有一個次品； (4)不多于2個次品； (5)不多于2個正品； (6)不多

17、于1個次品。,19,一．頻率與概率 在日常生活、經(jīng)濟管理和科學(xué)研究中，人們經(jīng)常需要了解今后某些事情或結(jié)果發(fā)生可能性的大小，以便為應(yīng)采取的決策提供依據(jù)。如新產(chǎn)品上市后有多大可能性會暢銷和滯銷，購買彩票中獎的可能性等等。概率也就是通常所說的事情發(fā)生的可能性大小。事件的概率與在重復(fù)試驗中該事件出現(xiàn)的頻率之間有著非常密切的關(guān)系。,§4.2 概 率,20,1.頻率,對于隨機事件A，在一次試驗中我們無法預(yù)言它是否會發(fā)生，但是在相

18、同條件下的重復(fù)試驗的次數(shù)n充分大以后，可以發(fā)現(xiàn)事件A發(fā)生的次數(shù)nA與試驗次數(shù)n之比將在某個確定值附近波動，這一比值就稱為事件A發(fā)生的頻率，記為fn(A)。 顯然，頻率具有以下性質(zhì)： (1) 0≤fn(A)≤1 (2) fn(S)=1； fn(Φ)=0 (3) 若AB=Φ，則 fn(A∪B)= fn(A)+ fn(B),21,2.概率,由于頻率并非是一個穩(wěn)定的值，因此用它來刻畫事件發(fā)生的可能性大小是有缺陷的

19、。人們發(fā)現(xiàn)，隨著重復(fù)試驗次數(shù)的增多，事件A發(fā)生的頻率fn(A)就逐漸穩(wěn)定地趨于某個常數(shù)P(A) 附近，這一客觀存在的常數(shù)P(A) 就稱為事件A的概率。 例如，不斷擲一枚勻質(zhì)硬幣，則隨著拋擲的次數(shù)增加，我們可以發(fā)現(xiàn)硬幣落地后正面（或反面）朝上的次數(shù)占總的拋擲次數(shù)的比例會逐漸穩(wěn)定地趨于1/2，因此擲一枚勻質(zhì)硬幣落下后正面朝上的概率就是0.5。 由于頻率與概率的密切關(guān)系，因而在實際應(yīng)用中，當無法由理論上確知某些事件的概率時，就

20、可以用事件發(fā)生的頻率作為其概率的估計值,22,3.概率的性質(zhì),(1)0≤P(A)≤1(2)P(S)=1； P(φ)= 0,(4)若AB=φ，則P(A∪B)= P(A)+P(B) (*)(5)P(A∪B)= P(A)+P(B)-P(AB) (*) 性質(zhì)(4)稱為概率的加法定理，還可以推廣到多個事件的場合。 性質(zhì)(5)稱為概率的廣義加

21、法定理。,23,,課堂練習(xí)2：廣義加法定理的推廣,設(shè)A、B、C為任意三個事件，P(A)、P(B)、P(C)、P(AB)、P(AC)、P(BC)、P(ABC)都已知，求P(A?B?C),24,某汽車零件廠生產(chǎn)為某汽車發(fā)動機企業(yè)配套的活塞銷，以每箱500件出廠，主機廠對該廠的活塞銷采用如下抽樣檢驗方法：從一箱中任取10件進行檢驗，只要發(fā)現(xiàn)次品就判定該箱產(chǎn)品不合格并作退貨處理，如果退貨率超過2%，則該廠將被取消供貨資格。目前該廠出廠活塞銷的次

22、品率為0.4%。該廠產(chǎn)品遭退貨的概率有多大？該廠產(chǎn)品的質(zhì)量是否有待進一步提高？為滿足主機廠的供貨質(zhì)量要求，該廠出廠產(chǎn)品的次品率至少應(yīng)降低到什么水平？,案例1,25,稱滿足以下條件的試驗為古典概型：(1)試驗的樣本空間僅有有限個基本事件；(2)試驗中每一基本事件發(fā)生的概率相等。 古典概型中事件的概率計算公式：,4.等可能概型(古典概型),26,【例4】古典概型概率的計算,在100件產(chǎn)品中有5件是次品，從中任取10件，求以下

23、事件的概率：(1)A ={全為正品}，(2)B ={恰有1件次品}，(3)C ={至少有3件次品}，(4)D ={至少有1件次品}。,27,(1) 取到的10件正品只能從95件正品中抽取，共有,解：將每一種可能的取法作為一個基本事件,(2)1件次品是從5件次品中抽得的，另9件是從95件正品中抽取的，共有,種不同取法；樣本空間總,數(shù)為,，故,P(A)=,=0.5838,種不,同取法，故,P(B)=,,=0.3394,28,古典概型

24、概率的計算,(3) ∵ {至少有3件次品}={恰有3件次品}∪{恰有4件次品}∪{恰有5件次品}，且以上等式右邊三個事件是互斥的，故 =0.0066(4) 顯然，D = 　，故 P(D)= P( )= 1- P(A) =1- 0.5838 = 0.4162,29,該廠出廠產(chǎn)品的次品率為0.4%，每箱500件，即每箱中平均有2件次品，498件正品。從一箱中

25、任取10件檢驗，發(fā)現(xiàn)次品則判定該箱產(chǎn)品不合格并作退貨處理。則該廠產(chǎn)品遭退貨的概率為P{次品數(shù)?1}。P{次品數(shù)?1}=1-P{0個次品} =,該廠遭退貨的概率為3.964%，不能達到主機廠的質(zhì)量要求，將面臨被取消供貨資格的危險。,=0.03964,案例1解答,30,該廠產(chǎn)品的次品率至少應(yīng)控制在什么水平之下？,通過計算，要保持該主機廠供貨商的資格，該廠出廠產(chǎn)品的次品率至少應(yīng)降低到 0.2% 以下（每箱中平均只有1件次品，

26、499件正品），才能滿足主機廠的質(zhì)量檢驗要求。 P{次品數(shù)?1}=1-P{0個次品} =,= 0.02,31,某地區(qū)死亡人口統(tǒng)計資料表明，該地區(qū)人口死亡年齡不低于60歲的占80%，死亡年齡不低于80歲的占20%。問：該地區(qū)現(xiàn)年60歲的人能活到80歲的概率是多少？,案例2,32,1．定義 設(shè)A、B是兩個事件，且P(A)>0，稱在A已發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率為B對A的條件概率，記為P(B|A)?！纠?/p>

27、5】產(chǎn)品抽樣檢驗問題 已知10件產(chǎn)品中有3件是次品，從中先后抽取2件，作不放回抽樣，求第一次取到次品后，第二次再取到次品的概率。 解：設(shè)A={第一次取到的是次品}，B={第二次取到的是次品}，當A發(fā)生后，還剩下9件產(chǎn)品，其中有2件次品，故 P(B|A)=2/9,二. 條件概率,33,2. 概率的乘法公式,設(shè)A、B為兩個事件，且P(A)>0，則 P(AB)=P(A)P(B|A) (*)由概率的乘

28、法公式，可得求條件概率的如下公式：,(*),34,【例6】在例5所給問題中，求抽到的二件都是次品的概率。,解：由題意， 即要求P(AB)， P(AB)= P(A)P(B|A) = 3/10×2/9=1/15,35,某地區(qū)死亡人口統(tǒng)計資料表明，該地區(qū)人口死亡年齡不低于60歲的占80%，死亡年齡不低于80歲的占20%。問：該地區(qū)現(xiàn)年60歲的人能活到80歲的概率是多少？解：設(shè)A={壽命?60}, B={

29、壽命?80}， 求P(B|A)。?B ? A，∴ P(AB)=P(B),P(B|A)=P(AB)/P(A)=P(B)/P(A) =0.2/0.8=0.25,案例2解答,36,統(tǒng)計資料表明，某地癌癥發(fā)病率為千分之五，現(xiàn)該地區(qū)正進行癌癥普查。普查試驗的結(jié)果為陰性或陽性。以往的臨床資料表明，癌癥患者試驗反應(yīng)為陽性的概率是0.95，健康人試驗反應(yīng)呈陽性的概率是0.04。問：(1)當某人試驗反應(yīng)為陽性時他確患癌癥

30、的概率； (2)試驗反應(yīng)為陰性者患癌癥的概率。,案例3,37,3．全概率公式,若A1,A2,A3,…,An為樣本空間S的一個完備事件組，即滿足條件：(1) A1∪A2∪A3∪…∪An = S(2) AiAj =φ，i≠j；i,j=1,2,3,…,n(3) P(Ai)>0，i=1,2,3,…,n,則對任一事件B，都有(*),38,4．貝葉斯(Bayes)公式,若A1,A2,A3,…,An 為樣本空間S的一個完備事件組，則對任

31、一事件B,(P(B)>0), 有,i=1,2,…,n (*) 貝葉斯公式在風險型決策中有非常重要的應(yīng)用，詳見本章最后的案例。,39,【例7】貝葉斯公式的簡單應(yīng)用,某產(chǎn)品由甲、乙、丙三個班組生產(chǎn)，甲、乙、丙班的產(chǎn)量分別占全部產(chǎn)量的50%、30%和20%；次品率分別為2%、3%和1%。現(xiàn)任取1件進行檢驗，求：(1)抽到的是甲班生產(chǎn)，且是次品的概率； (2)抽到次品的概率； (3)若抽到的是次品，求該次品是丙班生產(chǎn)的概率。

32、,40,解：記A1，A2，A3，分別為抽到的產(chǎn)品是甲班、乙班、丙班生產(chǎn)的，B={抽到的是次品}。(1) 由概率的乘法公式， P(A1B)= P(A1)P(B|A1)=0.50×0.02=0.01(2) 由全概率公式 P(B)=P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3) =0.5╳0.02+0.3╳0.03+0.2╳0.01= 0.021(3) 由Bayes公式,,41,

33、Bayes公式更主要的應(yīng)用是風險型決策分析。在通過試驗?zāi)塬@取追加信息的條件下，修正所研究問題的概率分布，達到降低風險，獲得更大效益的目的。在Bayes公式中各事件和概率都有特殊的意義，其中：P(Ai)——稱為事件Ai的先驗概率，由過去的統(tǒng)計資料或根據(jù)經(jīng)驗估計得到；B ——為某一試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果之一；P(B|Ai)——已知的條件概率，由該類試驗的統(tǒng)計資料獲得，反映了試驗的精度(所提供追加信息量的大小)。P(Ai|B)——稱為后

34、驗概率，即當試驗出現(xiàn)結(jié)果B時，對Ai概率分布的修正。,關(guān)于Bayes公式,42,統(tǒng)計資料表明，某地癌癥發(fā)病率為千分之五，現(xiàn)該地區(qū)正進行癌癥普查。普查試驗的結(jié)果為陰性或陽性。以往的臨床資料表明，癌癥患者試驗反應(yīng)為陽性的概率是0.95，健康人試驗反應(yīng)呈陽性的概率是0.04。問：(1)當某人試驗反應(yīng)為陽性時他確患癌癥的概率； (2)試驗反應(yīng)為陰性者患癌癥的概率。,案例3解答,43,記：A1={癌癥患者}， A2={健康人}，

35、 B1={反應(yīng)陽性}， B2={反應(yīng)陰性},由題意可知，P(A1)=0.005，P(A2)=0.995，P(B1|A1)=0.95， P(B2|A1)=0.05，P(B1|A2)=0.04，P(B2|A2)=0.96， 由全概率公式：P(B1)= P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B1|A2) = 0.005×0.95+0.995×0.004 = 0.04455 P(B2)=

36、1- P(B1)=1- 0.04455=0.95545。 由Bayes公式可得,即普查試驗反應(yīng)為陽性者確患癌癥的概率是10.66%，而反應(yīng)為陰性者患癌癥的概率為萬分之2.6。,44,若事件A發(fā)生的概率不受B是否發(fā)生的影響，反之亦然，則稱事件A與B相互獨立。即 P(B|A)=P(B) (*) P(A|B)=P(A)由 P(AB)=P(A)P(B|A)，可得A、B獨立等價于 P(A

37、B)=P(A)P(B) (*),三. 事件的獨立性,45,【例8】不同抽樣方法的差異,已知10件產(chǎn)品中有二件次品，分別采用放回抽樣和不放回抽樣方法，從中任取二件，求抽到的都是次品的概率。解：記 A={第一次抽到的是次品}, 　　 B={第二次抽到的是次品}。(1)采用放回抽樣，A、B獨立，則 P(AB)=P(A)P(B)= 2/10×2/10 = 0.04(2)不放回抽樣, A、B

38、不獨立，則 P(AB)= P(A)P(B|A)= 2/10×1/9 = 0.022,46,課堂練習(xí)3,用甲,乙兩種防空導(dǎo)彈同時向一架入侵的敵機射擊。已知甲導(dǎo)彈的命中率為0.6，乙導(dǎo)彈的命中率為0.7，求敵機被擊中的概率。,47,一．隨機變量任何隨機試驗的試驗結(jié)果，都可以定量化并用隨機變量表示。例如，在燈泡壽命試驗中，令X為“燈泡壽命”(小時)，則X為一隨機變量。 {X>500}，{X≤1000}，{800

39、<X≤1200}等表示了不同的隨機事件。,§4.3 隨機變量及其分布函數(shù),48,1．分布函數(shù),設(shè)X是一隨機變量，x是任意實數(shù)，稱函數(shù) F(x)=P{X≤x} (*)為X的分布函數(shù)。顯然，對任意實數(shù) x1< x2，有 P{ x１<Ｘ≤ x2 }= P{ X≤ x2 }-P{ X≤ x1 }

40、 = F( x2 )- F( x1 ) (*)2．分布函數(shù)的性質(zhì)(1)0≤F( x )≤1； x∈(－∞,＋∞)(2)對任意 x1< x2，F(xiàn)( x1 )≤F( x2 )(3),49,一．離散型隨機變量的概率分布1．離散型隨機變量的概率分布 設(shè)離散型隨機變量X的所有可能取值為 xk，記 P{X= xk}= Pk ， k=1,2,…稱上式為X的概率分布或分布律

41、，簡稱分布。2．概率分布的性質(zhì) (1) 0 ≤Pk ≤1；k=1,2,… (2) ? Pk = 1 (3),§4.4 離散型隨機變量,50,將E獨立地重復(fù)進行n次，令X為“事件A發(fā)生的次數(shù)”，則,若試驗E僅有兩個可能結(jié)果A和 , 記,P(A) = p，P( )=1-p = q ，(0 < P < 1),q=1-P，k=0,1,2,…,n 稱X服從二項分布(Binomial dis

42、tribution)，記為X～B (n, p) 由于上式中的第k項恰好是二項式 (p+q)n 展開式中的第k項，故稱之為二項分布。,二. 二項分布,51,【例9】設(shè)某臺設(shè)備所加工產(chǎn)品的次品率為0.02，求90件產(chǎn)品中次品數(shù)≥2的概率。,解：將加工90件產(chǎn)品視為90重貝努利試驗，令X為次品數(shù)，由題意，p=0.02，q=0.98, 則P{X≥2}=1-P{X=0}-P{X=1},52,可用 Excel 的BINOMDIST函數(shù)求解

43、二項分布問題,BINOMDIST函數(shù)的語法規(guī)則：格式： BINOMDIST( k, n, p, 邏輯值)功能：當?shù)?個參數(shù)的邏輯值為1時，返回二項分布的累積概率P{X≤k}的值；當邏輯值為0時，返回二項分布的概率P{X=k}的值。,53,某加工零件的機加工車間有30臺相同型號的機床，每臺機床運行時的電耗為2千瓦。由于裝拆零件等輔助時間的原因，每臺機床在工作日中平均有30%的時間處于停止運行狀態(tài)下。該車間現(xiàn)由一臺功率為40千瓦的變壓器

44、供電。根據(jù)供電負荷規(guī)范要求，該車間在工作日中用電量超過供電負荷的概率不能大于10%。試借助Excel進行分析： (1)現(xiàn)有的變壓器能否滿足要求？ (2)該車間至少應(yīng)配置多大功率的變壓器才能滿足需要？,案例4 車間用電負荷問題,54,設(shè)X為該車間在工作日中任一時刻正在運行的機床數(shù)，由于各機床的運行與否是獨立的，故 X～B(n，p)，其中n=30，p=1-0.3=0.7 該車間現(xiàn)配置的變壓器供電量能滿足同

45、時運行的機床數(shù)為：40/2=20臺，使用 Excel 的BINOMDIST函數(shù)，可求得： P{X≤20}=0.410.9 24臺×2千瓦/臺=48千瓦 故該車間應(yīng)配置至少48千瓦的變壓器才能滿足要求。,案例4分析,55,一． 連續(xù)型隨機變量的概率密度1．定義 對連續(xù)型隨機變量X，如果存在非負可積函數(shù)?( x )，使得對任意實數(shù) x，有,則稱?( x )為X的概率密度函數(shù)，簡稱概

46、率密度或密度。,§4.5 連續(xù)型隨機變量,56,2．概率密度的性質(zhì),(4)若?( x )在點 x 處連續(xù),則：,由(3)式可知，X的分布函數(shù) F( x )的值，以及X落在區(qū)間 ( x1，x2 ] 上的概率，就是相應(yīng)區(qū)間上概率密度曲線下的面積，見下圖所示。,57,,,分布函數(shù)和密度函數(shù)的關(guān)系,,,,f (x),x,x,,0,(*),,,,,f (x),x,b,,0,a,,,58,1．指數(shù)分布 若隨機變量X的概率密度為,其中λ

47、>0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布（Exponential distribution）。不難求得指數(shù)分布的分布函數(shù)為：,二．幾種重要的連續(xù)型分布,59,指數(shù)分布的應(yīng)用,通常產(chǎn)品的無故障工作時間服從指數(shù)分布，其參數(shù)?就是失效率，1/? 則是平均無故障工作時間?！纠?0】設(shè)某品牌彩電無故障工作時間服從λ=1/2000 的指數(shù)分布。求該種彩電無故障工作時間不少于1000小時的概率。解：設(shè)X為該彩電的無故障工作時間，則P{X

48、≥1000}=1-P{X≤1000}=1-F(1000) =1-(1-e-1000/2000)= e-0.5 = 0.6065,60,可用 Excel 的EXPONDIST函數(shù)求解指數(shù)分布問題,EXPONDIST函數(shù)的語法規(guī)則：格式： EXPONDIST (x ,λ, 邏輯值)功能：當邏輯值為1時，返回指數(shù)分布的分布函數(shù)P{X≤x}的值；當邏輯值為0時，返回指數(shù)分布的密度函數(shù)值。,61,設(shè)隨機變量X的概率密度為,其中?、?為常數(shù)，

49、且?>0，則稱X服從參數(shù)為?,?的正態(tài)分布(Normal distribution)，記為X～N(?,?2)。正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形見下圖所示。,2．正態(tài)分布,62,正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形,x,,,,f (x),0,,,,?=0.5,?=1,?=2,,,,?,0,,,f (x),x,,,?1,,,?2,動態(tài)演示,63,(1)正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì),① ?( x ) 在 x =μ處達到最大值，x 離μ越遠，f ( x ) 的值越小

50、，且以 x 軸為漸近線；② 曲線關(guān)于x =μ對稱；③ ?越小，曲線越陡峭，?反映了X取值的離散程度；④ 對相同的?，改變μ值相當于曲線的平移。,64,(2)標準正態(tài)分布,稱 ? = 0，? =1 的正態(tài)分布為標準正態(tài)分布，記為 Z～ N(0,1)，其密度函數(shù)和分布函數(shù)分別記為 φ ( x ) 和 ? ( x ) 。 (3) 正態(tài)分布表的使用 正態(tài)分布表給出的是標準正態(tài)分布的分布函數(shù)的值? ( x) 。查正態(tài)分布表時常要

51、用到以下關(guān)系(*)① P{ Z≤a } = ? ( a ) ② P{ Z > a } =1-? ( a ) ③ P{a<Z≤b}=?(b)-?(a) ④ ? ( -a ) = 1-? ( a ),0,,,,a,-a,φ(x),,?(-a),1-?(a),,x,,,65,,【例11】設(shè)X～N(0, 1)， 求 ① P{X≤1.89}， ② P{X>-2.13}，③ P{-0.97-

52、2.13}=1- ?(-2.13) = ?(2.13)=0.9834③ P{-0.97<X≤2.35} = ?(2.35)- ?(-0.97) = ?(2.35)-(1- ?(0.97)) = 0.9906-1+0.8340=0.8246,66,設(shè)某廠生產(chǎn)的某種電子產(chǎn)品的壽命服從μ=8年，?=2年的正態(tài)分布，問 (1)該產(chǎn)品壽命小于5年的概率是多少？

53、 (2)壽命大于10年的概率是多少？ (3)廠方要對外承諾，若該產(chǎn)品在保用期內(nèi)失效可免費更換，廠方希望將產(chǎn)品的免費更換率控制在1%以內(nèi)，問保用年限最長可定為幾年？,案例5 保用年限應(yīng)定為幾年？,67,(5)非標準正態(tài)分布的標準化變換,設(shè) X～N(?,?2)，則,～N(0,1) (*),上式就稱為正態(tài)分布的標準化變換。,68,(6)非標準正態(tài)分布的查表,設(shè)X～N(?,?2)，則計算時可運用以下關(guān)系(*)：,69,設(shè)某廠生

54、產(chǎn)的某種電子產(chǎn)品的壽命服從μ=8年，?=2年的正態(tài)分布，問(1)該產(chǎn)品壽命小于5年的概率是多少？ (2)壽命大于10年的概率是多少？(3)廠方要對外承諾，若該產(chǎn)品在保用期內(nèi)失效可免費更換，廠方希望將產(chǎn)品的免費更換率控制在1%以內(nèi)，問保用年限最長可定為幾年？,案例5解答,70,設(shè)X為該產(chǎn)品的使用壽命，則X～N(8,22),(3)設(shè)保用年限最長可定為 n 年，則由題意,查表得：(8-n) /2 ? 2.33，得 n ? 3.34，取

55、n =3，故保用年限最長可定為3年。,71,可用 Excel 的NORMDIST函數(shù)求解正態(tài)分布問題,NORMDIST函數(shù)的語法規(guī)則：格式： NORMDIST( x,μ,σ, 邏輯值)功能：當邏輯值為1時，返回正態(tài)分布的分布函數(shù)P{X≤x}的值；當邏輯值為0時，返回其密度函數(shù)值。,72,【例12】設(shè) X～N(?,?2), 求：(1)P{?-?<X<?+?}， (2)P{?-2?<X<?+2?}，

56、(3)P{?-3?<X<?+3?}解：P{?-?<X<?+?}=?(1)-?(-1) =2?(1)-1=0.6826 同理可得： P{?-2?<X<?+2?}=2?(2)-1=0.9544 P{?-3?<X<?+3?}=2?(3)-1=0.9974,X落在(?-3?,?+3?)內(nèi)的概率為99.74%，落在該區(qū)間外的概率僅為0

57、.26%，幾乎是不可能事件。正態(tài)分布的這一性質(zhì)稱為 “3?法則”，在質(zhì)量管理中常運用這一法則判斷生產(chǎn)過程是否出現(xiàn)異常。,3?法則,73,,課堂練習(xí)4,某臺加工缸套外徑的機床，當將尺寸定位在μ時，所加工的缸套外徑尺寸X~N(μ,σ2)，其中σ=0.01(mm)，缸套外徑的允許公差為 0.02 (mm)，求 (1)該機床加工缸套的合格率； (2)當σ= 0.007時，所加工缸套的合格率又為多少? 由本題的計算結(jié)果，可知正態(tài)分布中的參

58、數(shù)σ反映了該機床的什么指標?,74,(7)正態(tài)分布的性質(zhì),且X與Y獨立，則,① 若 ， ，,② 設(shè) ,且相互獨立， i = 1,2,…,n， 則,75,一．數(shù)學(xué)期望1．離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期設(shè)離散型隨機變量X的分布律為 P{X=xk}=Pk，k=1,2,…，稱級數(shù),為X的數(shù)學(xué)期望，簡稱均值。 由定義可知，離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望，就是以概率Pk為權(quán)數(shù)，對

59、X的所有可能取值的加權(quán)平均值，故期望也稱為均值。,§4.6 數(shù)學(xué)期望和方差,76,2．連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望,連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望為：,若X～N(μ,σ2)，則 E(X) =μ3．數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 設(shè) c，k，b為常數(shù)，X，Y 為隨機變量 (1) E(C)= C； (2) E(kX)=kE(X)； (3) E(kX＋b)=kE(X)+b； (4) E(X±Y)=E(X)&#

60、177;E(Y)； (5) 若X，Y獨立，則 E(XY)= E(X)E(Y),77,方差是反映隨機變量取值離散程度的數(shù)字特征。1．定義 對隨機變量X，若 E{[X- E(X)]2} 存在，則稱它為X的方差，記為D(X)或Var(X),即 D(X)= E{[X–E(X)]2}并稱,為X的標準差。標準差與X具有相同的量綱。,二. 方差,78,設(shè)c，k，b為常數(shù)，X，Y為隨機變量(1) D(c)= 0；

61、(2) D(kX)=k2D(X)； D(kX＋b)=k2D(X)(3) 若X、Y獨立，則： D(X±Y)=D(X)＋D(Y),2．方差的性質(zhì),79,設(shè)隨機變量Xi(i =1,2,…,n)相互獨立，且具有有限的數(shù)學(xué)期望和方差，若每個Xi對總和?Xi 的影響不大，則隨機變量 Y=?Xi 就近似服從正態(tài)分布分布。 在自然界和社會經(jīng)濟領(lǐng)域中，大量的隨機現(xiàn)象都是由許多獨立的隨機因素的共同影響所造成的。中心極限定理說明了大

62、量隨機現(xiàn)象都服從或近似服從正態(tài)分布的原因。這也是在統(tǒng)計學(xué)中通常都假定總體服從正態(tài)分布的理論依據(jù)。中心極限定理的驗證,§4.7 大數(shù)定律和中心極限定理,80,光大電器公司開發(fā)了一種新型洗衣機，生產(chǎn)該洗衣機的經(jīng)濟規(guī)模為100萬臺/年，需要投入的生產(chǎn)線設(shè)備、模具、工裝等固定投資費用為2000萬元，項目的建設(shè)期為一年，固定投資費用在建設(shè)期初一次投入。產(chǎn)品投產(chǎn)時還需投入生產(chǎn)流動資金1000萬元。由于洗衣機產(chǎn)品的技術(shù)進步較快，估計該產(chǎn)

63、品的市場壽命期為5年，5年末固定資產(chǎn)殘值為固定投資額的20%，流動資金可在壽命期末全部收回。由于洗衣機的市場競爭非常激烈，該新型洗衣機投入生產(chǎn)后的經(jīng)濟效益具有很大的不確定性。為了提高產(chǎn)品投資決策的科學(xué)性，該公司在決定是否投資生產(chǎn)該新型洗衣機之前，進行了一些市場調(diào)查預(yù)測和項目的經(jīng)濟可行性研究。,項目投資決策實例,81,市場調(diào)查和預(yù)測分析估計，產(chǎn)品上市后銷售量將達到生產(chǎn)能力的80%以上（暢銷）、50%～80%（銷售一般）、不足50%（滯銷

64、）的可能性分別為40%、30%、30%。 另經(jīng)財務(wù)部門所作的財務(wù)預(yù)測分析，在產(chǎn)品出現(xiàn)”滯銷”、”一般”和”暢銷”三種銷售狀況下，該項目投產(chǎn)后的年凈現(xiàn)金流量將分別為100萬元、600萬元和1000萬元。 考慮到籌資成本和資金的機會成本，貼現(xiàn)率應(yīng)取6%。,82,為使對該新產(chǎn)品項目的投資決策更具科學(xué)性，總經(jīng)理召開了有銷售、生產(chǎn)、財務(wù)、技術(shù)等部門負責人參加的會議。會上銷售部經(jīng)理建議，為減小決策風險，應(yīng)在決定是否投資生產(chǎn)前先利用原有設(shè)備進

65、行少量試生產(chǎn)（100臺），并將試生產(chǎn)的洗衣機免費贈送給不同地區(qū)的一些用戶進行為期3個月的試用，以取得用戶的反饋信息。為此，銷售部經(jīng)理還設(shè)計了用戶試用后的信息反饋表，包括功能、使用效果、方便程度、外觀、可靠性五大類共25個指標，每項指標都由用戶按1～5分打分，加權(quán)平均后的滿分為100分。根據(jù)用戶試用后反饋結(jié)果的總平均分，可將用戶對該洗衣機的評價分為”不滿意”（低于60分）、”尚可”（60～90分）和”滿意”（高于90分）三種可能結(jié)果。,銷

66、售部經(jīng)理的建議,83,銷售部經(jīng)理認為，為減少決策風險，應(yīng)根據(jù)對用戶試用反饋情況進行分析后再作是否投資生產(chǎn)該洗衣機的決定。銷售部經(jīng)理還提供了過去許多企業(yè)在產(chǎn)品正式投產(chǎn)之前采用類似試用或試銷方法的用戶反饋結(jié)果與產(chǎn)品正式生產(chǎn)上市后銷售狀況之間的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，見表1表1. 銷售狀況與試用結(jié)果間的統(tǒng)計資料,84,總經(jīng)理指示財務(wù)部經(jīng)理對銷售部經(jīng)理所提方案的費用進行估算。在下一次的會議上，財務(wù)部經(jīng)理給出了試生產(chǎn)、分發(fā)用戶試用及收集用戶反饋信息等項工作

67、的總費用估算結(jié)果，估計需要100萬元。會上有人提出是否值得花100萬元進行試生產(chǎn)并免費贈送用戶試用，并展開了激烈的爭論?？偨?jīng)理希望能對各種可行方案的風險及經(jīng)濟效益進行科學(xué)的分析與評價。,如何進行科學(xué)決策？,85,1.投產(chǎn)后各種銷售狀況下的項目凈現(xiàn)值 記 PWj(i),j=1,2,3 分別為滯銷,一般和暢銷時的項目凈現(xiàn)值。,PW1(6)=-2000-1000×1.06-1+100×1.06-2+100&#

68、215;1.06-3 +100×1.06-4+100×1.06-5+1500×1.06-6=-1559PW2(6)=-2000-1000×1.06-1+600×1.06-2+600×1.06-3 +600×1.06-4+600×1.06-5+2000×1.06-6=428同理可得 PW3

69、(6)=2018,案例分析,86,記X為該產(chǎn)品的未來銷售狀況，X1、X2、X3分別代表滯銷、一般和暢銷。并記V1(X),V2(X)分別為投產(chǎn)和不投產(chǎn)兩種決策方案的項目凈現(xiàn)值，則E[V1(X)]=0.3×(-1559)+0.3×428+0.4×2018=468E[V2(X)]=0故最優(yōu)決策是投產(chǎn)，投產(chǎn)該產(chǎn)品6年中可為企業(yè)帶來468萬元的期望凈收益(按凈現(xiàn)值計)。但該產(chǎn)品投產(chǎn)后有30%的可能性會滯銷。一