數(shù)學悖論及其對數(shù)學發(fā)展的影響

1、數(shù)學悖論及其對數(shù)學發(fā)展的影響摘要：數(shù)學悖論，曾經(jīng)引起了數(shù)學界的無數(shù)爭端，它使得數(shù)學前進的腳步一次次陷入迷途。然而，每一次數(shù)學悖論的解決、澄清，又會對數(shù)學前進的腳步加快，產(chǎn)生許多新的思想、新的學科，它又使得數(shù)學飛翔，畢答哥拉斯悖論的解決，使得數(shù)學向公理化、演繹化的方向發(fā)展。貝克萊悖論引起的第二次數(shù)學危機的解決以及微積分的發(fā)現(xiàn)，使人們的眼睛從有限走向無限，微積分在這一時期的到了完善。羅素悖論引起的第三次數(shù)學危機，又使人們對集合論的基礎產(chǎn)生了

2、懷疑，邏輯主義、直覺主義和形式主義之間激烈的爭論，最終，哥德爾25歲時的發(fā)現(xiàn)又使得數(shù)學走向了新的紀元。1畢答哥拉斯悖論與第一次數(shù)學危機1.1畢答哥拉斯悖論畢答哥拉斯悖論，又稱希帕索斯悖論。大約公元前580年到公元前500年左右，產(chǎn)生在撒摩斯島的著名哲學家、數(shù)學家、天文學家、音樂家、教育家畢答哥拉斯（與我國孔子，印度釋迦牟尼基本同時）。這位偉大的天才創(chuàng)辦了以其名字命名的學派——畢答哥拉斯學派，這個學派當時對數(shù)學做了大量的研究并且有突出的貢

3、獻。畢答哥拉斯及其學派把“萬物皆數(shù)”作為基本信念。也就是說，在他們眼里，一切事物和現(xiàn)象可以歸結(jié)為整數(shù)與整數(shù)的比，這就是所謂的“數(shù)的和諧”。而他們相信宇宙的本質(zhì)就是這種“數(shù)的和諧”，在這種情況下，他們對幾何量做了大量的研究。換句話說，有理數(shù)可以充滿整個數(shù)軸。他們通過實驗的方式證實了，任何兩條線段都是可通約的。著一命題顯然是正確的。于是，我們可以明白，當畢答哥拉斯學派提出“任何兩個量都是可通約的”時，古希臘人是如何坦然地接受這一似乎是無可懷

4、疑的結(jié)論，懷疑可作為共同公度量的第三條線段的存在，似乎是十分荒謬的，不是嗎？答案竟是：就不是！畢答哥拉斯的一個學生希帕索斯，他發(fā)現(xiàn)的###就是人類歷史上誕生的第一個無理數(shù)，不可通約量或無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，是畢答哥拉斯學派的最重大的貢獻。1.2第一次數(shù)學危機的解決1.2.1歐多克索斯的解決方案畢答哥拉斯悖論，曾使希臘數(shù)學的發(fā)展陷入迷途、陷入困境。然而，幫助希臘人擺脫困境的關鍵一步是由才華橫溢的歐多克索斯邁出的。我們已經(jīng)清楚的了解到，古希臘人面對

5、的難題是任何解決不可通約量或以我們現(xiàn)在的方式說是無理數(shù)。對他們來說，問題的來源是幾何，只要研究線段等幾何量，就不得不面對不可通約量。這是無法繞過去的，但是涉及到“數(shù)”時，則可以采取“避而不談”的策略。于是，古希臘人設想的思路是：在數(shù)的領域，仍然只承認整數(shù)（或整數(shù)的比）。只要在幾何研究中，能解決幾何量中出現(xiàn)的不可通約量問題就可以宣告萬事大吉了。簡而言之，把數(shù)和量分開，研究的關鍵轉(zhuǎn)向線段、面積、體積等幾何量，令人稱奇的是，古希臘人依照這種思

6、路走下去，竟然成功了。歐多克索斯本人的著作已經(jīng)全部失傳。不過，他的比例論成果被保存在歐幾里得的《幾何原本》一書的第五卷中。在其中，歐幾里得先是給出了關于量的幾個定義。其中比較重要的有：定義3：兩個同類量之間的一種數(shù)量關系叫比。定義4：如果一個量增大幾倍后可以大于另一個量，則說這兩個量有一個比。這兩個定義的特別之處在于，它實際上允許了不可通約量的存在。如正方形的邊長增加2倍后就可以超過起對角線了，所以現(xiàn)在就可以對兩者定義一個比了。上述的兩

7、個定義是邁出的第一步，為了能夠展開研究，還需要進一步定義兩個比之間的關系，定義5就是給出了兩個比相等的定義，這是歐多克索斯解決方案中的一個中心概柏拉圖的思想對希臘產(chǎn)生了強有力的影響，他強調(diào)要把數(shù)奠基于邏輯之上。并堅持使用準確的定義，清楚的假設的嚴格的證明，他堅持對數(shù)學知識體系演繹整理，在他的《理想國》中明白的陳述：“你們知道幾何，算術和有關科學的學生，在他們的各種分支里，假定奇數(shù)和偶數(shù)，圖形以及三種類型的角度是已知的；這些是他們的假設，

8、使大家認為他們以及所有人都知道的事，因而認為是無需想他們自己向別人做任何交代的；但他們是從這些事實出發(fā)的，并以前后一貫的方式往下推，直到得出結(jié)論，柏拉圖所強調(diào)的應以自然的假設出發(fā)進行嚴格的證明的思想后來成為古希臘公理方法的發(fā)端。柏拉圖的這些思想在他的學生尤其是亞里士多德那里又得到了極大的發(fā)展和完善，對數(shù)學而言，亞里士多德最大的貢獻是在前人基礎上完成經(jīng)典著作《工具論》，把邏輯規(guī)律典范化，闡述了邏輯學理論，從而創(chuàng)立了古典邏輯學。亞里士多德研

9、究和討論了三段論問題，他相信邏輯它應該建立在三段論的基礎上，（三段論是由三個判斷構(gòu)成，其中的兩個判斷是前提，一個判斷是結(jié)論），如果三段論的前提是正確的，那么結(jié)論也必然正確。但在他看來，不是任何知識都可以作為三段論的前提，前提必須是大眾普遍接受的事實，他還認為根據(jù)我們不會出錯的直覺可知，公理是真的，他也首次提出了基本的思想規(guī)律矛盾律和排中律。亞里士多德的邏輯思想為他集合整理在嚴密的體系之中創(chuàng)造了必要條件，奠定了基礎，為形成一門獨立的初等幾

10、何理論做好了充分的準備。而在這之后，作為亞里士多德的邏輯學與當時已有數(shù)學成果完善結(jié)合的結(jié)晶，孕育了歐幾里德的巨著《幾何原本》。從公元前6世紀起，希臘幾何學不斷超前積累新的事實和闡明集合原理的相互關系的方向迅速發(fā)展，在歐幾里德之前，希臘人已經(jīng)積累了大量的數(shù)學知識，并已用邏輯推理的方法去證明結(jié)論。而在亞里士多德的影響推動下，邏輯理論一漸臻成熟，公理化思想已是大勢所趨，這些為形成一門獨立的理論科學做好了充分準備，形成一個嚴整的幾何結(jié)構(gòu)是“山雨

11、欲來風滿樓”了。其實，在歐幾里德之前已有好幾位數(shù)學家做過這種整理但經(jīng)得起歷史風霜考驗的只有歐幾里德的《幾何原本》。就《幾何原本》內(nèi)容而言，有很多來自于此前畢達哥拉斯學派及歐多克索斯的前驅(qū)工作，但使他贏得非凡評價的絕不限于其內(nèi)容的重要，或者其對定理的出色證明。真正重要的是歐幾里德在書中創(chuàng)造的被稱為公理化的方法?！稁缀卧尽纷罱K給出了119個定義，5條公設和5條公理成為全書推理的出發(fā)點，論證的依據(jù)。利用公理、公設，定義為要素，作為已知歐幾里

12、德先證明了第一個命題。然后又以之為基礎，并作為新的已知來證明第二個命題，其中包括54個作圖。其證明之精彩，邏輯之嚴密，結(jié)構(gòu)之嚴謹令人嘆為觀止，零散的數(shù)學理論被他成功編織為一個從基本假定到最復雜結(jié)論的連續(xù)網(wǎng)絡。因而在數(shù)學發(fā)展史上，歐幾里德認為是成功而系統(tǒng)地應用公理化方法的第一人，他的工作被公認為是最早公理法建立演繹數(shù)學體系的典范?！稁缀卧尽返挠绊戇€越出數(shù)學，成為人類文明史的里程碑，并對西方思想產(chǎn)生了及其深遠的影響。它的創(chuàng)立孕育出一種理論

13、性的精神。人類任何其他的創(chuàng)造都不可能像歐幾里德的幾百條定理那樣顯示出這么多的知識都是僅僅靠推導得出來的，這些大量深奧的演繹結(jié)果，使得希臘人和以后的的文明了解到理性的力量，從而增強了他們利用這種才能獲得成功的信心，受這一成就的鼓舞，西方人吧理性運用于其他領域，神學家，邏輯學家，哲學家，政治家和教育真理的的追求者，都紛紛仿效歐幾里德幾何的形式的推演過程，著名數(shù)學家，哲學家羅志在《西方哲學史》中說：“歐幾里德的《幾何原本》毫無疑義是古往今來最