2016年競(jìng)賽與自主招生專題第十五講解析幾何一

1、<p>　　2016 年競(jìng)賽與自主招生專題第十五講 解析幾何一</p><p>　　從2015年開始自主招生考試時(shí)間推后到高考后，政策剛出時(shí)，很多人認(rèn)為，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意義。自主招生考察了這么多年，使用的題目的難度其實(shí)已經(jīng)很穩(wěn)定，這個(gè)題目只有出到高考以上，競(jìng)賽以下，才能在這么多省份間拉開差距.</p><p>　　所以，筆試

2、難度基本穩(wěn)定，維持原自主招生難度，原來自主招生的真題競(jìng)賽真題等，具有參考價(jià)值。</p><p>　　在近年自主招生試題中，解析幾何是高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的一個(gè)重要組成部分，也是高考與自主招生常見新穎題的板塊，各種解題方法在解析幾何這里得到了充分的展示，尤其是平面向量與解析幾何的融合，提高了綜合性，形成了題目多變、解法靈活的特色。</p><p><b>　　一、知識(shí)精講</b>

3、;</p><p>　　點(diǎn)到直線的距離 ：(點(diǎn),直線：).</p><p><b>　　2.圓的四種方程</b></p><p>　　（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 .</p><p>　?。?）圓的一般方程 (＞0).</p><p>　　（3）圓的參數(shù)方程 .</p><p>　　

4、（4）圓的直徑式方程 </p><p>　　(圓的直徑的端點(diǎn)是、).</p><p>　　3.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系</p><p>　　點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種若，則</p><p>　　點(diǎn)在圓外;點(diǎn)在圓上;點(diǎn)在圓內(nèi).</p><p>　　4.直線與圓的位置關(guān)系</p><p>　　直線與圓的位置關(guān)系

5、有三種:</p><p><b>　?、?</b></p><p><b>　?、?</b></p><p><b>　?、?</b></p><p><b>　　其中.</b></p><p>　　5.橢圓的參數(shù)方程是.</

6、p><p>　　6.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系</p><p>　　(1）若雙曲線方程為漸近線方程：.</p><p>　　(2)若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為.</p><p>　　(3)若雙曲線與有公共漸近線，可設(shè)為（，焦點(diǎn)在軸上，，</p><p><b>　　焦點(diǎn)在軸上）.</b></p

7、><p>　　7.直線與圓錐曲線相交的弦長公式或</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　三角形四心的坐標(biāo)</b></p><p>　　設(shè)三邊的長度分別為a,b,c，三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別記為、、，則重心G、內(nèi)心I、垂心H、外心O坐標(biāo)分別為、、、。</p>

8、<p><b>　　直線系</b></p><p>　　若直線與直線相交于P，則它們的線性組合（，且不全為0）（*）表示過P點(diǎn)的直線系。當(dāng)參數(shù)為一組確定的值時(shí)，（*）表示一條過P點(diǎn)的直線。特別的，當(dāng)時(shí)，（*）式即；當(dāng)時(shí)，（*）式即為。對(duì)于以外的直線，我們往往只在（*）式中保留一個(gè)參數(shù)，而使另一個(gè)為1.</p><p>　　又若與平行，這時(shí)（*）式表示所有與

9、平行的直線。</p><p>　　3.圓冪定理：過一定點(diǎn)作兩條直線與圓相交，則定點(diǎn)到每條直線與圓的交點(diǎn)的兩條線段的積相等，即它們的積為定值.</p><p>　　?備注：切線可以看作割線的特殊情形，切點(diǎn)看作是兩個(gè)重合的交點(diǎn).若定點(diǎn)到圓心的距離為，圓半徑為，則這個(gè)定值為.</p><p>　?、佼?dāng)定點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，，等于過定點(diǎn)的最小弦的一半的平方；</p>

10、<p>　?、诋?dāng)定點(diǎn)在圓上時(shí)，；</p><p>　　③當(dāng)定點(diǎn)在圓外時(shí)，，等于從定點(diǎn)向圓所引切線長的平方.</p><p>　　特別地，我們把稱為定點(diǎn)對(duì)于圓的冪.</p><p>　　4.兩圓的“根軸”：到兩圓等冪的點(diǎn)的軌跡是與此二圓的連心線垂直的一條直線；如果此二圓相交，那么該軌跡是此二圓的公共弦所在直線．這條直線稱為兩圓的“根軸”．</p>

11、<p>　　?對(duì)于根軸我們有如下結(jié)論：三個(gè)圓兩兩的根軸如果不互相平行，那么它們交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)稱為三圓的“根心”．三個(gè)圓的根心對(duì)于三個(gè)圓等冪．當(dāng)三個(gè)圓兩兩相交時(shí)，三條公共弦(就是兩兩的根軸)所在直線交于一點(diǎn)．</p><p><b>　　5.各曲線的定義：</b></p><p><b>　?。?）橢圓：；</b></p>

12、;<p><b>　　（2）雙曲線：；</b></p><p><b>　　（3）拋物線：．</b></p><p>　　6.圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面上，到一個(gè)定點(diǎn)的距離與到一條定直線的距離之比為一個(gè)常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）．</p><p>　　當(dāng)時(shí)，曲線是橢圓；當(dāng)時(shí)，曲線是雙曲線

13、；當(dāng)時(shí)，曲線是拋物線．這個(gè)定點(diǎn)叫做曲線的焦點(diǎn)，定直線叫做曲線的準(zhǔn)線，定點(diǎn)到定直線的距離叫做焦參數(shù)．</p><p>　　7.圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：</p><p><b>　?。?）橢圓：，；</b></p><p>　　（2）雙曲線：，（）；</p><p>　?。?）拋物線：，，，（）．</p><

14、p>　　?備注：比值叫圓錐曲線的離心率，其中。</p><p><b>　　典例精講</b></p><p>　　例1．（2011復(fù)旦）橢圓上的點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最大值是（ ）。</p><p>　?。ˋ）11 （B） （C） （D）</p><p&g

15、t;　　?分析與解答：由平面幾何知識(shí)，橢圓上的點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離最大值=橢圓上的動(dòng)點(diǎn)到圓心的最大距離+圓的半徑。設(shè)圓圓心為，是橢圓上的點(diǎn)，則</p><p>　?。ó?dāng)時(shí)取等號(hào)）。故所求距離最大值為11.</p><p>　　?注：或者考慮與的相交情況，用判別式法解決。</p><p>　　例2．（2012“卓越聯(lián)盟”）拋物線，為拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上兩點(diǎn)，線段的中

16、垂線交軸于，，。</p><p>　　證明：是的等差中項(xiàng)；</p><p>　　若，為平行于軸的直線，其被以AD為直徑的圓所截得的弦長為定值，求直線的方程。</p><p><b>　　?分析與解答：</b></p><p>　　（1）設(shè)，由拋物線定義知。</p><p><b>　　又

17、中垂線交軸于，故</b></p><p><b>　　，因?yàn)椋?，，?lt;/b></p><p><b>　　，是的等差中項(xiàng)。</b></p><p>　　因?yàn)?，所以。設(shè)，。圓心。設(shè)直線的方程為。由于弦長為定值，故為定值，這里R為圓的半徑，d為圓心到的距離。</p><p><b&

18、gt;　　。</b></p><p>　　令，即時(shí)，為定值，故這樣的直線的方程為。</p><p>　　例3．（2006復(fù)旦）已知拋物線，直線都過點(diǎn)且互相垂直。若拋物線與直線中至少有一條相交，求實(shí)數(shù)的取值范圍。</p><p><b>　　?分析與解答：</b></p><p>　　先看的情形，如圖13-8，

19、顯然，無論在拋物線形內(nèi)，還是在形外。與始終至少有一條相交，故符合題意。</p><p>　　若，過作拋物線的切線，設(shè)這兩條切線的張角為。若，則我們總可以找出兩條互相垂直的直線，使這兩條直線與不相交，（如圖13-9）；若，則過的兩條直線中，必有一條與相交（如圖13-10）。</p><p>　　圖13-8 圖13-9

20、 圖13-10</p><p>　　于是，原問題轉(zhuǎn)化為如下一個(gè)問題：過作拋物線的切線，這兩條切線對(duì)拋物線的張角。</p><p>　　設(shè)過的切線方程為，由，知。</p><p>　　令。設(shè)方程兩根為，則。由韋達(dá)定理，，故。</p><p>　　綜上，的取值范圍是。</p><p>　　例4．設(shè)，常數(shù)，定義

21、運(yùn)算“”：，定義運(yùn)算“”： ；對(duì)于兩點(diǎn)、，定義.</p><p>　　(1)若，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡；</p><p>　　(2)已知直線與(1)中軌跡交于、兩點(diǎn)，若，試求的值；</p><p>　　(3)在(2)中條件下，若直線不過原點(diǎn)且與軸交于點(diǎn)S，與軸交于點(diǎn)T，并且與(1)中軌跡交于不同兩點(diǎn)P、Q , 試求的取值范圍。</p><p>　　?分

22、析與解答：(1)設(shè)</p><p><b>　　則 </b></p><p><b>　　又由≥0可得</b></p><p>　　P(,)的軌跡方程為，軌跡C為頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為的拋物線在軸上及第一象限的內(nèi)的部分 </p><p>　　(2) 由已知可得

23、 , 整理得,</p><p>　　由 ,得．∵，∴ </p><p><b>　　∴</b></p><p>　　, </p><p>　　解得或(舍) ； </p><p><b>　　(3)∵</b></p><

24、p><b>　　∴</b></p><p>　　設(shè)直線,依題意,，則,分別過P、Q作PP1⊥y軸，QQ1⊥y軸，垂足分別為P1、Q1，則．</p><p><b>　　由消去y得</b></p><p><b>　　∴≥</b></p><p><b>　?。?/p>

25、 </b></p><p>　　∵、取不相等的正數(shù)，∴取等的條件不成立</p><p>　　∴的取值范圍是（2，+）． </p><p>　　例5．（2011“華約”）拋物線的焦點(diǎn)為，弦過，原點(diǎn)為，拋物線準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，，求。</p><p><b>　　?分析與解答：</b&g

26、t;</p><p>　　解法一：設(shè)，分別過A、B作x軸的垂線，垂足分別為，依拋物線定義知，所以，所以</p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　同理，，所以。</b></p><p>　　解法二：AB：代入拋物線中，，，所以</p><p><

27、;b>　　。所以又</b></p><p><b>　　，所以。</b></p><p>　　例6．（2012“北約”）已知點(diǎn)，若點(diǎn)C是圓上的動(dòng)點(diǎn)，求面積的最小值。</p><p><b>　　?分析與解答：</b></p><p>　　圓的方程。設(shè)到AB：的距離為d，則</

28、p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　因?yàn)椤Ｋ?，所?lt;/b></p><p>　　。當(dāng)C點(diǎn)的坐標(biāo)取時(shí)，的面積有最小值。</p><p>　　例7.（2010五校聯(lián)考）如圖，在上，</p><p>　　關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱。過點(diǎn)作切線，切線，</p

29、><p><b>　　點(diǎn)到距離分別為，。</b></p><p>　　試問：是銳角、鈍角還是直角三角形？</p><p>　　若的面積是240，求的坐標(biāo)和的方程。</p><p><b>　　?分析與解答：</b></p><p>　?。?）對(duì)求導(dǎo)，。設(shè)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知BC的

30、斜率。由題意知，設(shè)，，則</p><p><b>　　。從而。</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　，再結(jié)合知，故是直角三角形。</p><p>　　由（1），不妨設(shè)C在AD上方，A

31、B的方程為。由得到另一個(gè)交點(diǎn)。</p><p>　　AC方程為，由得到另一個(gè)交點(diǎn)。</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以，解得，故或。</b></p><p>　　時(shí)，，BC的方

32、程為。</p><p>　　時(shí)，，BC的方程為。</p><p>　　注：此題的關(guān)鍵是證明。</p><p><b>　　真題訓(xùn)練</b></p><p>　　1.（2001復(fù)旦）拋物線的準(zhǔn)線方程為（ ）</p><p>　?。˙） （C） （D）</p>

33、<p>　　2.對(duì)于直角坐標(biāo)平面內(nèi)任意兩點(diǎn)、，定義它們之間的一種“新距離”：</p><p>　　.給出下列三個(gè)命題：</p><p>　?、偃酎c(diǎn)在線段上. 則 ；</p><p><b>　　②在中，若,則；</b></p><p><b>　?、墼谥校?。</b></p>

34、<p>　　其中的真命題為 ( )</p><p>　　A. ①②③ B. ①② C. ① D. ②③ </p><p>　　3.（2012復(fù)旦）極坐標(biāo)方程為常數(shù)）所表示的曲線是（ ）。</p><p>　　圓或直線 （B）拋物線或雙曲線 （C）雙曲線或橢圓

35、 （D）拋物線或橢圓</p><p>　　4.（2010復(fù)旦）參數(shù)方程所表示的函數(shù)是（ ）。</p><p>　　圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 （B）圖像關(guān)于直線對(duì)稱</p><p>　?。–）周期為的周期函數(shù) （D）周期為的周期函數(shù)</p><p>　　在平面直角坐標(biāo)系中，定義點(diǎn)之間的“直角距離”為。

36、若到點(diǎn)的“直角距離”相等，其中實(shí)數(shù)滿足，則所有滿足條件的點(diǎn)的軌跡的長度之和為。</p><p>　　在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)。定義、兩點(diǎn)之間的“直角距離”為。已知，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)， 則的最小值為 。</p><p>　　7.（2012“卓越聯(lián)盟”）如圖，是圓的直徑，于，且，是圓的切線，交于。</p><p>

37、<b>　　求；</b></p><p>　　連結(jié)，判斷與的關(guān)系。并加以證明。</p><p>　　8.（2011“北約”）求過兩拋物線交點(diǎn)的直線方程。</p><p>　　9.（2010同濟(jì)）如圖，已知?jiǎng)又本€經(jīng)過點(diǎn)，交拋物線于兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)是的中點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為。</p><p><b>　　證明：；&

38、lt;/b></p><p>　　當(dāng)時(shí)，是否存在垂直于x軸的直線，被以為直徑的圓截得的弦長為定值？若存在，請(qǐng)求出直線的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由。</p><p>　　10.（2009上海交大）是圓與上的點(diǎn)，求的最小值。</p><p><b>　　真題訓(xùn)練答案</b></p><p><b>　　1.【

39、答案】B</b></p><p>　　【分析與解答】：令則原拋物線方程為，其準(zhǔn)線方程為，故原拋物線的準(zhǔn)線方程為。</p><p><b>　　2.【答案】C</b></p><p><b>　　3.【答案】D</b></p><p>　　【分析與解答】：由知識(shí)拓展圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標(biāo)方程

40、知：</p><p>　　，。故為橢圓或拋物線（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取拋物線）。</p><p><b>　　4.【答案】C</b></p><p><b>　　【分析與解答】：，</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　即，故是以為周

41、期的周期函數(shù)。</p><p><b>　　5.【答案】：</b></p><p><b>　　6.【答案】：4</b></p><p>　　7.【分析與解答】：（1）連結(jié)AF、OF，則A、F、G、H四點(diǎn)共圓。且由EF是切線知，。所以</p><p>　　，且（弦切角等于弦所對(duì)的圓周角）</p

42、><p><b>　　所以。</b></p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　所以。</b></p><p>　　FD與AB不平行（即相交），用反證法。</p><p>　　如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為y軸建立一個(gè)平面直角

43、坐標(biāo)系。</p><p>　　若，則D點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于F點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即4.從而。又，所以EF的斜率為。而。這與是圓的切線矛盾！</p><p>　　8.【分析與解答】：設(shè)交點(diǎn)為，則 </p><p><b>　　①×5+②×2有，</b></p><p>　　同理：。所以都在直線上，而過兩點(diǎn)的

44、直線方程是唯一的。所以所求直線方程為。</p><p>　　9.【分析與解答】：（1）解法一：設(shè)。直線AQ交拋物線于，則直線AQ：</p><p>　　，直線AB：，先將代入中</p><p>　　。所以，同理。所以。所以B與C關(guān)于x軸對(duì)稱即</p><p>　　與關(guān)于x軸對(duì)稱。所以。</p><p>　　解法二：設(shè)A

45、B：代入中，，</p><p><b>　　，。</b></p><p>　　因?yàn)椋話佄锞€為：。那么可設(shè)，又，并可得A、P中點(diǎn)，</p><p>　　，（如圖）則圓的半徑。再設(shè)直線存在且為：。那么要使被以AP為直徑的圓截得的弦長為定值C；則</p><p>　　即。所以直線存在，為。</p><p

46、>　　10.【分析與解答】：設(shè)圓的圓心為，則。</p><p><b>　　再設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為，則</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　從而，等號(hào)成立，且三點(diǎn)共線，即且三點(diǎn)共線。</p><p><b>　　故的最小值為。</b></p&