3.角動(dòng)量定理滿足力學(xué)相對(duì)性原理

1、<p>　　3、角動(dòng)量定理滿足力學(xué)相對(duì)性原理</p><p>　　摘　要：首先利用矢量法分析了角動(dòng)量定理具有伽利略變換的不變性，并以勻速圓周運(yùn)動(dòng)為例驗(yàn)證了這個(gè)問題，驗(yàn)證了其滿足力學(xué)相對(duì)性原理．</p><p>　　關(guān)鍵詞：矢量法；角動(dòng)量定理；力學(xué)相對(duì)性原理</p><p>　　角動(dòng)量對(duì)不同的參照系具有不同的值，所以角動(dòng)量對(duì)伽利略變換不具有對(duì)稱性；但角動(dòng)量定

2、理對(duì)不同的慣性系具有相同的形式，所以角動(dòng)量定理對(duì)伽利略變換具有對(duì)稱性，為此首先用矢量法給出一般證明--------------</p><p>　　牛頓第二定律的最初形式為</p><p>　　F=mdv/dt=dP/dt --------------------- (1)</p><p>　　用質(zhì)點(diǎn)在0-xyz坐標(biāo)系的坐標(biāo)矢量r從左

3、邊叉乘式（1）的兩邊就有</p><p>　　r×F= r×dP/dt，所以</p><p>　　r×dP/dt= d(r×P)/ dt= dL/dt，其中M= r×F,L= r×P.</p><p>　　上式變?yōu)镸= dL/dt

4、 (2)</p><p>　　由于(1)滿足力學(xué)相對(duì)性原理，我們有F= dP′/dt （3）</p><p>　　用質(zhì)點(diǎn)在0′-x′y′z′坐標(biāo)系的坐標(biāo)矢量r′從左邊叉乘式（3）的兩邊就有</p><p>　　r′×F= r′×dP′/dt，所以r′×dP′/dt= d(r′

5、15;P′)/ dt= dL′/dt，</p><p>　　上式變?yōu)镸′= dL′/dt， （4）</p><p>　　其中M′= r′×F,L′= r′×P′.</p><p>　　（2）和（4）式對(duì)比，證明質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理滿足力學(xué)相對(duì)性原理.文獻(xiàn)[1]也給出了證明

6、.</p><p>　　下面用實(shí)例驗(yàn)證角動(dòng)量定理服從力學(xué)相對(duì)性原理</p><p>　　例1彈簧振子、自由落體和斜面上自由下滑的滑塊</p><p>　　對(duì)于彈簧振子，角動(dòng)量守恒：</p><p>　　x1?x?ut，v1?v?u，a1?a?0?a，ma1?ma，f1?f．</p><p>　　M?x×f??

7、(x?f sin π)e?0，</p><p><b>　　所以</b></p><p>　　0?M?x×f???，</p><p>　　所以在地面上觀察，角動(dòng)量l?x×mv守恒，角動(dòng)量定理成立.</p><p><b>　　據(jù)伽利略變換知：</b></p><

8、;p>　　M1? x1×f1?(x?ut)×f? x×f?ut×f??</p><p>　　0?[ut?f sin (nπ)]eu?0?0?0 (其中n?0，1)，</p><p>　　所以在小車上觀察，角動(dòng)量l1?x1×mv1守恒，質(zhì)點(diǎn)所受的合力矩為0，角動(dòng)量定理成立，角動(dòng)量定理滿足伽利略變換.</p><p&g

9、t;　　類似分析自由落體運(yùn)動(dòng)和從斜面自由下滑的滑塊，由于位移和合外力共線，質(zhì)點(diǎn)所受的合力矩為0，角動(dòng)量守恒，角動(dòng)量定理成立，角動(dòng)量定理滿足伽利略變換.</p><p><b>　　例2 勻速圓周運(yùn)動(dòng)</b></p><p>　　如下圖，有一質(zhì)量為m的小球（視為質(zhì)點(diǎn)），在輕繩的牽制下，在光滑的地面上繞O點(diǎn)做勻速（速率為v）圓周運(yùn)動(dòng)，如果忽略地面和空氣摩擦阻力，</

10、p><p>　　問：小球在地面系和沿x 軸勻速運(yùn)動(dòng)的小車（設(shè)小車的速度為u）坐標(biāo)系(O1-x1y1),角動(dòng)量定理是否都成立？</p><p>　　解析：地球質(zhì)量視為充分大，故穩(wěn)定地保持為慣性系.</p><p>　　1、在地面系——設(shè)初相為0，v=ωR,</p><p><b>　　x=Rcosωt</b></p>

11、;<p>　　y= R sinωt</p><p>　　x′=-Rωsinωt</p><p>　　y′= Rωcosωt</p><p>　　fx=m x′′= -mRω2cosωt</p><p>　　fy=m y′′= -mRω2sinωt</p><p>　　=0，質(zhì)點(diǎn)對(duì)圓心的角動(dòng)量大小為mR2ω

12、，方向不變，角動(dòng)量定理成立.</p><p><b>　　2、小車系</b></p><p>　　將運(yùn)動(dòng)方程作伽利略變換，寫出小車系運(yùn)動(dòng)方程：</p><p>　　x1=x-ut=Rcosωt-ut</p><p>　　y1= y=R sinωt</p><p>　　x′1= x′-u=-Rωsi

13、nωt-u</p><p>　　y′1= y′= Rωcosωt</p><p>　　p=mv=(-mRωsinωt-mu, mRωcosωt,0)</p><p>　　r=( Rcosωt-ut, R sinωt,0)</p><p>　　fx=m x′′= -mRω2cosωt</p><p>　　fy=m y′′

14、= -mRω2sinωt</p><p>　　L1=r1p1=(0,0, mR2ω+umR sinωt-utmRωcosωt)</p><p>　　L1′=(0,0, utmRω2sinωt)</p><p>　　M1= r1f=(0,0, utmRω2sinωt)</p><p>　　角動(dòng)量定理成立，角動(dòng)量定理滿足伽利略變換.</p&