函數(shù)概念教學的幾點思考

1、<p>　　函數(shù)概念教學的幾點思考</p><p>　　摘要:函數(shù)的概念及相關(guān)內(nèi)容是高中和職業(yè)類教材中非常重要的部分,許多學生認為這些內(nèi)容比較抽象、難懂、圖像多,方法靈活多樣。以致部分學生對函數(shù)知識產(chǎn)生恐懼感。就教學過程中學生的反應和自己的反思,淺淡幾點自己的看法。 </p><p>　　關(guān)鍵詞:函數(shù);對應;映射;數(shù)形結(jié)合 </p><p>　　中圖分類號

2、:G633.6文獻標識碼:A文章編號:1673-0992(2010)02-164-01 </p><p>　　1要把握函數(shù)的實質(zhì) </p><p>　　17世紀初期,笛卡爾在引入變量概念之后,就有了函數(shù)的思想,把函數(shù)一詞用作數(shù)學術(shù)語的是萊布尼茲,歐拉在1734年首次用f(x)作為函數(shù)符號。關(guān)于函數(shù)概念有“變量說”、“對應說”、“集合說”等。變量說的定義是:設(shè)x、y是兩個變量,如果當變量x在

3、實數(shù)的某一范圍內(nèi)變化時,變量y按一定規(guī)律隨x的變化而變化。我們稱x為自變量,變量y叫變量x的函數(shù),記作y=f(x)。初中教材中的定義為:如果在某個變化過程中有兩個變量x、y,并且對于x在某個范圍內(nèi)的每一個確定的值,按照某個對應法則,y都有唯一確定的值與之對應,那么y就是x的函數(shù),x叫自變量,x的取值范圍叫函數(shù)的定義域,和x的值對應的y的值叫函數(shù)值,函數(shù)值的集合叫函數(shù)的值域。它的優(yōu)點是自然、形像和直觀、通俗地描述了變化,它致命的弊端就是對

4、函數(shù)的實質(zhì)――對應缺少充分地刻畫,以致不能明確函數(shù)是x、y雙方變化的總體,卻把y定義成x的函數(shù),這與函數(shù)是反映變量間的關(guān)系相悖,究竟函數(shù)是指f ,還是f(x),還是y=f(x)?使學生不易區(qū)別三者的關(guān)系。 </p><p>　　迪里赫萊(P.G .Dirichlet)注意到了“對應關(guān)系”,于1837年提出:對于在某一區(qū)間上的每一確定的x值,y都有一個或多個確定的值與之對應,那么y叫x的一個函數(shù)。19世紀70年代集

5、合論問世后,明確把集合到集合的單值對應稱為映射,并把:“一切非空集合到數(shù)集的映射稱為函數(shù)”,函數(shù)是映射概念的推廣。對應說的優(yōu)點有:①它抓住了函數(shù)的實質(zhì)――對應,是一種對應法則。②它以集合為基礎(chǔ),更具普遍性。③它將抽像的知識以模型并賦予生活化,比如:某班每一位同學與身高(實數(shù))的對應;某班同學在某次測試的成績的對應;全校學生與某天早上吃的饅頭數(shù)的對應等都是函數(shù)。函數(shù)由定義域、值域、對應法則共同刻劃,它們相互獨立,缺一不可。這樣很明確的指出

6、了函數(shù)的實質(zhì)。 </p><p>　　對于集合說是考慮到集合是數(shù)學中一個最原始的概念,而函數(shù)的定義里的“對應”卻是一個外加的形式,,似乎不是集合語言,1914年豪斯道夫(F.Hausdorff)采用了純集合論形式的定義:如果集合 f С{(x,y)|x∈A,y∈B}且滿足條件,對于每一個x∈A,若(x,y1) ∈f,(x,y2) ∈f,則y1=y2,這時就稱集合f為A到B的一個函數(shù)。這里f為直積A×B=

7、{(x,y)|x∈A,y∈B}的一個特殊子集,而序偶(x,y)又是用集合定義的:(x,y)={{x},{x,y}}.定義過于形式化,它舍棄了函數(shù)關(guān)系生動的直觀,既看不出對應法則的形式,更沒有解析式,不但不易為中學生理解,而且在推導中也不便使用,如此完全化的數(shù)學語言只能在計算機中應用。 </p><p><b>　　2加強數(shù)形結(jié)合 </b></p><p>　　數(shù)學是人

8、們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽像概括、形成方法和理論,并進行廣泛應用的過程。在7―12年級所研究的函數(shù)主要是冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù),對每一類函數(shù)都是利用其圖像來研究其性質(zhì)的,作圖在教學中顯得無比重要。我認為這一部分的教學要做到學生心中有形,函數(shù)圖像就相當于佛教教徒心中各種各樣的佛像,只要心中有形,函數(shù)性質(zhì)就比較直觀,處理問題時就會得心應手。函數(shù)觀念和數(shù)形結(jié)合在數(shù)列及平面幾何中也有廣泛的應用。如函數(shù)y=log0.5|

9、x2-x-12|單調(diào)區(qū)間,令t=|x2-x-12|=|(x-?)2-12.25|,t=0時,x=-3或x=4,知t函數(shù)的圖像是變形后的拋物線,其對稱軸為x=?與x軸的交點是x=-3或x=4并開口向上,其x∈(-3,4)的部分由x軸下方翻轉(zhuǎn)到x軸上方,再考慮對數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可。又如:判定方程3x2+6x =1/x的實數(shù)根的個數(shù),該方程實根個數(shù)就是兩個函數(shù)y=3x2+6x與y=1/x圖像的交點個數(shù),作出圖像交點個數(shù)便一目了然。 </p&

10、gt;<p><b>　　3將映射概念下放 </b></p><p>　　就前面三種函數(shù)概念而言,能提示函數(shù)實質(zhì)的只有“對應說”,如果在初中階段把“變量說”的定義替換成“對應說”的定義,可有以下優(yōu)點:⑴體現(xiàn)數(shù)學知識的系統(tǒng)性,也顯示出時代信息,為學生今后的學習作準備。⑵凸顯數(shù)學內(nèi)容的生活化和現(xiàn)實性,函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量變化規(guī)律的數(shù)學模型。⑶變抽像內(nèi)容形像化,替換后學生會感到函數(shù)

11、概念不再那么抽像難懂,好像伸手會觸摸到一樣,身邊到處都有函數(shù)。學生就會感到函數(shù)不再那么可怕,它無非是一種映射。只需將集合論的初步知識下放一些即可,學生完全能夠接受,因為從小學第一學段就已接觸到集合的表示方法,第二學段已接觸到集合的運算,沒有必要作過多擔心。以前有人提出將概率知識下放的觀點,當時不也有人得出反對意見嗎?可現(xiàn)在不也下放到了小學嗎?如果能下放到初中,就使得知識體系更完備,銜接更自然,學生易于接受,學生就不會提出“到底什么是函數(shù)

12、?”這樣的問題。 </p><p><b>　　4區(qū)分函數(shù)與方程 </b></p><p>　　盡管函數(shù)和方程都是反映量與量之間的關(guān)系,可函數(shù)反映的是變量和變量之間的關(guān)系,強調(diào)的是一個變量隨另一個變量的變化情況,從函數(shù)的角度來看,考慮的是x和y在各自取值范圍內(nèi),彼此間怎樣相互變化。而方程反映的是未知量和已知量之間的關(guān)系,等式F(x,y)=0是一個方程,只有在一定條件下