信息與計算科學畢業(yè)論文基于鄰域的粗糙模糊近似

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　　（20 屆）</b></p><p>　　基于鄰域的粗糙模糊近似</p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級 信息與計算科學

2、 </p><p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p><b>　　摘要</b></p>

3、<p>　　基于鄰域的粗糙模糊近似在機器學習、知識發(fā)現(xiàn)、算法研究、工程應用、決策支持系統(tǒng)以及模式識別等研究鄰域有重要的應用. 本文我們主要研究基于鄰域算子系統(tǒng)的粗糙模糊近似. 首先, 回顧了經(jīng)典集合與經(jīng)典二元關系的基本概念和性質, 介紹了一般關系下的粗糙集合的定義和性質. 其次, 介紹了鄰域算子與二元關系之間的聯(lián)系, 討論了鄰域算子的性質. 最后, 定義了基于鄰域算子的粗糙模糊近似算子, 研究了基于鄰域算子的粗糙模糊近似算

4、子的性質. 并證明了可以用基于鄰域算子的粗糙模糊近似算子的性質去刻畫鄰域算子的性質. </p><p>　　關鍵詞: 經(jīng)典集; 二元關系; 模糊集; 鄰域算子; 粗糙模糊近似</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Rough fuzzy approximation operators based on nei

5、ghborhood systems are important concepts in many research fields such as machine learning, knowledge discovery, engineering application, decision support systems, and pattern recognition etc. In this thesis, we mainly st

6、udy rough fuzzy approximation operators based on neighborhood systems. Basic concepts, properties of crisp sets and crisp binary relations are first reviewed. Definitions and properties of generalized rough sets are then

7、 introduced.</p><p>　　Keywords: Crisp sets; Binary relations; Fuzzy sets; Neighborhood operators; Rough fuzzy approximations </p><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　摘要I&l

8、t;/b></p><p>　　AbstractII</p><p><b>　　1 前言1</b></p><p>　　1.1 粗糙集理論的由來及發(fā)展1</p><p>　　1.2 粗糙集理論的基本概念及核心基礎2</p><p>　　1.3 論文的組織結構2</p&

9、gt;<p>　　2 經(jīng)典的集合與二元關系3</p><p>　　2.1 經(jīng)典集合的定義與性質3</p><p>　　2.2 經(jīng)典二元關系的定義與性質4</p><p>　　3 一般關系下的粗糙集7</p><p>　　3.1 模糊集的定義和性質7</p><p>　　3.2 一般關系下

10、的粗糙集9</p><p>　　4 粗糙模糊近似的構造性定義與性質12</p><p>　　4.1 粗糙模糊近似的定義12</p><p>　　4.2 粗糙模糊近似的性質12</p><p>　　5 粗糙模糊近似的公理化刻畫16</p><p>　　6 基于鄰域系統(tǒng)的粗糙模糊近似20</p>

11、<p><b>　　7 小結25</b></p><p><b>　　參考文獻26</b></p><p>　　致謝錯誤!未定義書簽。</p><p><b>　　1 前言</b></p><p>　　1.1 粗糙集理論的由來及發(fā)展</p>

12、<p>　　粗糙集理論是波蘭學者Pawlak于1982年提出的一種新的處理不確定性知識的數(shù)學工具. 粗糙集理論將知識理解為“區(qū)分事物的能力”, 形式化的知識是對論域的劃分, 因而通過論域上的等價關系表示. 概念從外延角度理解為論域的子集合, 帶有不確定性的概念借助近似操作通過不精確概念從外延的角度近似表達, 并以此作為相關理論研究的基礎. </p><p>　　Zadeh從隸屬函數(shù)出發(fā)定義模糊集, 從而

13、建立模糊集理論和方法, 隸屬函數(shù)往往依靠專家的經(jīng)驗知識, 以先驗知識為基礎. 事實上, 正因為建立在可靠的已知知識基礎上, 模糊集對不確定問題的處理往往會得到很好的結果. 模糊集理論和方法、粗糙集理論和方法都非常有效, 其理論得到了不斷發(fā)展和完善, 其應用得到了很好的實踐和推廣.</p><p>　　20世紀80年代末和90年代初粗糙集在知識發(fā)現(xiàn)等領域得到了成功的應用而越來越受到國際上的廣泛關注. 1991年Pa

14、wlak教授的第一本關于粗糙集的專著《Rough Sets: Theoretical Aspects of Reasoning about Data》的出版, 推動了國際上對粗糙集理論與應用的深入研究. 2001年5月在重慶召開了“第1屆中國Rough集與軟計算學術研討會”, 邀請了創(chuàng)始人Pawlak教授做大會報告. 劉清等探討了粗糙集在近似推理、模態(tài)邏輯和智能代理方面的理論研究情況, 張文修、吳偉志、梁吉業(yè)等人提出了基于隨機集的粗糙集

15、模型, 并研究了粗糙集理論同包含度理論之間的關系. 目前, 粗糙集理論與神經(jīng)網(wǎng)絡、演化計算、模糊系統(tǒng)及混沌系統(tǒng)一起被公認為人工智能的五大新興技術, 在智能信息處理的諸多領域, 如決策分析、機器學習、數(shù)據(jù)挖掘、模式識別等, 獲得了廣泛的應用. 通過知識的簡化與知識依賴性分析, 完全由已知數(shù)據(jù)導出決策規(guī)則. 但在實際的決策問題中大量存在著屬性值為模糊的情況, 為此有學者提出將粗糙集與模糊集相結合的方法, 當條件屬性值為確定值而決策屬性值為模

16、糊時提</p><p>　　粗糙集理論比較出色地處理了模糊和不完全知識, 從而成為數(shù)據(jù)挖掘研究中的有利工具, 特別是將其與機器學習、模式識別、數(shù)據(jù)庫等理論相結合, 開發(fā)了多個原型系統(tǒng), 其中有代表性的有Rosetta系統(tǒng)、KDDR系統(tǒng)、LERS系統(tǒng)等. Rosetta是波蘭華沙大學和挪威科技大學聯(lián)合開發(fā)的基于粗糙集理論框架的知識發(fā)現(xiàn)和數(shù)據(jù)挖掘軟件系統(tǒng), 它包含了從數(shù)據(jù)的預處理、約簡計算、規(guī)則生成到規(guī)則的評價和分析

17、的知識發(fā)現(xiàn)全過程. KDDR系統(tǒng)是由加拿大Regina大學開發(fā)的基于可變精度粗糙集模型的知識發(fā)現(xiàn)系統(tǒng), 已成功用于醫(yī)療數(shù)學分析、金融決策等鄰域. LERS系統(tǒng)是美國Kansas大學開發(fā)的基于粗糙集的實例學習系統(tǒng), 已被用于醫(yī)學研究、氣候預測、環(huán)境保護等. 正是這些系統(tǒng)的成功開發(fā)與應用使得粗糙集理論與應用的研究在國際上日益受到廣泛的關注. </p><p>　　由于粗糙集理論分析處理不精確、不協(xié)調和不完備信息, 因

18、此作為一種具有極大潛力的有效的知識獲取工具受到了人工智能工作者的廣泛關注. 目前, 粗糙集理論已被成功應用在機器學習和知識發(fā)現(xiàn)、數(shù)據(jù)挖掘、決策支持和分析、過程控制、模式識別等計算機領域, 該理論已成為計算機和信息科學的研究熱點之一.</p><p>　　1.2 粗糙集理論的基本概念及核心基礎</p><p>　　數(shù)據(jù)集有精確集和粗糙集之分, 粗糙集是指數(shù)據(jù)集中的數(shù)據(jù)符合同一特征描述而又分

19、別屬于不同概念. 基本粗糙集理論認為“概念” 即是對象的集合, “知識”是將對象進行分類的能力, 每一被劃分的集合稱為概念. </p><p>　　粗糙集理論的主要思想是不精確的概念(被近似集) 被可利用的知識庫中的已知知識(近似空間中的可定義集全體) 來近似描述. 粗糙集理論與應用的核心基礎是從近似空間導出的一對近似算子, 即上近似算子和下近似算子, 這一對近似算子是粗糙集理論與應用研究的基礎. 公理化方法的基

20、本要素是滿足某些公理集的近似算子, 即粗糙集代數(shù)系統(tǒng)是事先給定的, 然后定義二元關系使得由二元關系通過構造性方法定義的近似算子及其導出的粗糙集代數(shù)系統(tǒng)恰好就是事先給定的近似算子和粗糙集代數(shù)系統(tǒng). 這種粗糙集代數(shù)系統(tǒng)是由集合代數(shù)系統(tǒng)中的三個集合算子(交、并、補) 加上兩個粗糙算子(上、下近似算子) 而形成的, 這些算子非常相似于模態(tài)邏輯中的五個模態(tài)算子. </p><p>　　1.3 論文的組織結構</p&

21、gt;<p>　　本文我們主要研究基于鄰域算子系統(tǒng)的粗糙模糊近似. 首先, 回顧了經(jīng)典集合與經(jīng)典二元關系的基本概念和性質, 介紹了一般關系下的粗糙集合的定義和性質. 其次, 介紹了鄰域算子與二元關系之間的聯(lián)系, 討論了鄰域算子的性質. 最后, 定義了基于鄰域算子的粗糙模糊近似算子, 研究了基于鄰域算子的粗糙模糊近似算子的性質. 并證明可以用基于鄰域算子的粗糙模糊近似算子的性質去刻畫鄰域算子的性質.</p>&

22、lt;p>　　2 經(jīng)典集合與二元關系</p><p>　　2.1 經(jīng)典集合的定義與性質</p><p>　　我們把被討論的全體對象或范圍叫做論域, 常用,,,,,,大寫字母表示. 把論域中的每個對象稱為元素, 用相應的小寫字母,,,,,,表示. </p><p>　　定義2.1 給定論域和某一性質, 中滿足性質的所有元素所組成的全體叫做集合(也稱經(jīng)典集合)

23、, 簡稱集. 集合中部分元素組成的集合稱為的子集. 不含論域中任何元素的集合稱為空集, 記為. </p><p>　　定義2.2 集合的所有子集作為元素組成的集合稱為的冪集. 記做</p><p><b>　　.</b></p><p>　　定義2.3 經(jīng)典集合的表示法</p><p>　　(1)列舉法: ; <

24、;/p><p>　　(2)描述法: ; </p><p>　　(3)歸納法: 用遞歸定義描述集合（略）; </p><p>　　(4)特征函數(shù)法: 設為論域, , 定義函數(shù) </p><p><b>　　,</b></p><p>　　則稱為集合的特征函數(shù). 用特征函數(shù)表示集合的方法稱為集合的特征函數(shù)

25、表示法. </p><p>　　定義2.4 設,為任意集合. </p><p>　　(1)稱為與的并集, 定義為</p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　稱為并運算. </b></p><p>　　(2)稱為與的交集, 定義為</p>

26、;<p><b>　　, </b></p><p><b>　　稱為交運算. </b></p><p>　　(3)稱為與的差集, 定義為</p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　稱為差運算. </b></p

27、><p>　　(4) 稱為的補集, 定義為</p><p><b>　　, </b></p><p>　　稱為補運算, 它是一元運算, 是差運算的特例. </p><p>　　2.2 經(jīng)典二元關系的定義與性質</p><p>　　定義2.5 稱為集合到上的元關系(n-ary relations),

28、 如果是的一個子集. 若時, 則稱為上的元關系. 當時, 稱為從到的二元關系. 若時, 則稱為上的一個二元關系. </p><p>　　定義2.6 設是集合上的二元關系, 如果對于每個, 都有, 那么稱二元關系是自反的, 即</p><p><b>　　在上是自反的. </b></p><p>　　定理2.1 設是上的二元關系, 則在上是自

29、反的當且僅當. </p><p>　　定義2.7 設是集合上的二元關系, 如果對于每個, 都有, 那么稱二元關系是反自反的, 即</p><p><b>　　在上是反自反的. </b></p><p>　　定理2.2 設是上的二元關系, 則在上是反自反的當且僅當. </p><p>　　定義2.8 設是集合上的二元

30、關系, 如果對于每個, 當, 就有, 那么稱二元關系是對稱的, 即</p><p><b>　　在上是對稱的.</b></p><p>　　定義2.9 設是集合上的二元關系, 如果將中每序偶的第一元素和第二元素的順序互換, 所得到的集合稱為的逆關系, 記為, 即</p><p><b>　　. </b></p>

31、;<p>　　定理2.3 設是上的二元關系, 則在上是對稱的當且僅當. </p><p>　　定義2.10 設是集合上的二元關系, 如果對于每個,, 當和時, 必有, 那么稱二元關系是反對稱的, 即 </p><p><b>　　在上是反對稱的. </b></p><p>　　定理2.4 設是上的二元關系, 則在上是反對稱

32、的當且僅當. </p><p>　　定義2.11 設是集合上的二元關系, 如果對于任意,,, 當, , 就有, 那么稱二元關系是傳遞的, 即</p><p><b>　　在上是傳遞的</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　定義2.12 設是上的二元關系, 若是上的自

33、反、對稱、傳遞的二元關系, 則稱是等價關系. </p><p>　　定義2.13 設是上的二元等價關系, 對于任何, 集合</p><p><b>　　,</b></p><p>　　稱為元素形成的等價類.</p><p>　　定理2.5 設是上的二元等價關系, 對于, 有當且僅當. </p><

34、;p>　　定義2.14 若是上的二元關系, 且對于任意, 存在, 使得, 則稱是上的串行關系.</p><p>　　定義2.15 若是上的二元關系, 且對于任意,,, 有</p><p><b>　　, </b></p><p>　　則稱是歐幾里得的; </p><p>　　定理2.6 是上的二元關系, 若是

35、自反且歐幾里得的, 則是對稱的. </p><p>　　定理2.7 是上的二元關系, 若是自反且歐幾里得的, 則是傳遞的. </p><p>　　定理2.8 是上的二元關系, 若是傳遞且對稱的, 則是歐幾里得的. </p><p>　　定理2.9 是上的二元關系, 若是歐幾里得且自反的當且僅當是等價的. </p><p>　　3 一般關

36、系下的粗糙集</p><p>　　3.1 模糊集的定義和性質</p><p>　　定義3.1 設在論域上給定了一個映射</p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　. </b><

37、/p><p>　　則稱為上的模糊(Fuzzy)集, 稱為的隸屬函數(shù)(或稱為屬于的隸屬度). </p><p>　　正如集合完全由特征函數(shù)所刻畫一樣, 模糊集也完全由隸屬函數(shù)所刻畫. 特別當時, 便蛻化為一個經(jīng)典集合的特征函數(shù), 于是便蛻化為一個經(jīng)典集合</p><p><b>　　. </b></p><p>　　因此, (

38、經(jīng)典)集合是模糊集的特殊情況. </p><p>　　記論域上的模糊子集的全體為. </p><p>　　定義3.2 設, 規(guī)定模糊集之間的包含, 相等, 交, 并, 以及補集運算如下</p><p><b>　　,, </b></p><p><b>　　且, </b></p>&

39、lt;p><b>　　,, </b></p><p><b>　　,, </b></p><p><b>　　,.</b></p><p><b>　　任給,, 由于</b></p><p><b>　　,,, </b><

40、/p><p>　　故對任意, 有, , . </p><p>　　規(guī)定: “”表示“取最大”或“取上確界sup”; “”表示“取最小”或“取下確界sub”. </p><p>　　一般的模糊集,的交、并、余運算, 按論域的有限與無限, 分為以下兩種情況表示:</p><p>　　(1)設論域是一個有限集, 且模糊集</p><

41、p><b>　　, ,</b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　.</b></p><p

42、>　　(2)設論域為無限集, 且模糊集</p><p><b>　　, ,</b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　, </b></p><p>&

43、lt;b>　　. </b></p><p>　　定義3.3 設, , 為指標集. 對任意, 且</p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　, </b></p><p>　　稱為的并集, 為的交集. </p><p><b&

44、gt;　　顯然, ,. </b></p><p>　　定理3.1 具有如下性質</p><p>　　(1)冪等律 , .</p><p>　　(2)交換律 , .</p><p>　　(3)結合律 , .</p><p>　　(4)吸收律 , .</p><p>　　(5)

45、分配律 , .</p><p>　　(6)零-壹律 , ; , .</p><p><b>　　(7)復原律 .</b></p><p>　　(8)對偶律 ,.</p><p>　　3.2 一般關系下的粗糙集</p><p>　　定義3.4 設論域是一個有限的非空集合. 論域的子集的全

46、體記為. 這里用標記的補集. 設是一個任意的從到的經(jīng)典關系. 我們可以定義一個集值函數(shù):, </p><p><b>　　, . </b></p><p>　　稱為在關系下的后繼鄰域. 顯然, 任何從到的集值函數(shù)定義了一個從到的二元關系. </p><p>　　定義3.5 如果是一個從到的經(jīng)典關系, 那么三元組是被稱為廣義近似空間. 對于任意

47、的, 的關于的上近似和下近似, 記為和, 定義如下</p><p>　　, (3.1)</p><p>　　. (3.2)</p><p>　　近似序對被稱為廣義經(jīng)典粗糙集合, 而且和: 分別被稱為廣義上下經(jīng)典近似算子. </p><p>　　從以上的定義出發(fā)

48、, 以下的定理可以很容易地被導出. </p><p>　　定理3.2 對于任意的從到的關系, 它的上近似算子和下近似算子滿足以下的性質: </p><p><b>　　對于所有的,, 有</b></p><p>　　(L1), (U1); </p><p>　　(L2),

49、 (U2); </p><p>　　(L3), (U3); </p><p>　　(L4), (U4); </p><p>　　(L5), (U5). </p><p>　　相對應于某些特定的特殊類型關系, 也就是說, 在論域上的串行的, 自反的, 對稱的, 傳遞的和歐幾里德的二

50、元關系, 近似有更多的性質. </p><p>　　定理3.3 設是上的一個經(jīng)典二元關系, 而且和是由式子(3.1)和(3.2)定義的廣義上下經(jīng)典近似算子. 那么</p><p>　　(1)是串行的(L0), </p><p><b>　?。║0）, </b></p><p><b>　　(LU0), . &

51、lt;/b></p><p>　　(2)是自反的(L6), , </p><p><b>　　(U6), , </b></p><p>　　(3)是對稱的(L7), , </p><p><b>　　(U7), , </b></p><p>　　(4)是傳遞的(L8),

52、 , </p><p><b>　　(U8), , </b></p><p>　　(5)是歐幾里德的(L9), , </p><p><b>　　(U9), , </b></p><p>　　如果是上的等價關系, 那么稱為Pawlak近似空間, 而且可以導出更多的上下近似算子的性質. </p&

53、gt;<p>　　4 粗糙模糊近似的構造性定義與性質</p><p>　　在這一章節(jié), 我們回顧粗糙模糊近似算子的構造性定義而且給出了粗糙模糊近似算子的基本性質. </p><p>　　4.1 粗糙模糊近似的定義</p><p>　　粗糙模糊集合是通過一個模糊集合關于經(jīng)典近似空間的近似而獲得的. </p><p>　　定義4.

54、1 設和是兩個有限的非空論域而且是一個從到的經(jīng)典二元關系. 對于任意的集合, 模糊集合關于經(jīng)典近似空間的上下近似和, 分別定義為</p><p>　　, (4.1)</p><p>　　, . (4.2)</p><p>　　序對被稱為廣義粗糙模糊集合, 而且和: 分別被稱為廣義上粗

55、糙模糊近似算子和廣義下粗糙模糊近似算子. </p><p>　　如果, 那么我們可以得出當且僅當; 當且僅當. 當模糊粗糙集合退化成一個經(jīng)典集合時定義4.1可以退化到定義3.5. </p><p>　　4.2 粗糙模糊近似的性質</p><p>　　由定義4.1, 我們可以得到粗糙模糊近似算子的性質. </p><p>　　定理4.1 由

56、式子(4.1)和(4.2)定義的上粗糙模糊近似算子和下粗糙模糊近似算子, 滿足以下性質</p><p><b>　　, , </b></p><p>　　(FL1), (FU1), </p><p>　　(FL2), (FU2), </p><p>　　(FL3),

57、(FU3), </p><p>　　(FL4), (FU4), </p><p>　　(FL5), (FU5), </p><p>　　這里是常數(shù)模糊集: 對于所有的, 有. </p><p>　　性質(FL1)和(FU1)顯示了粗糙模糊近似和具有對偶性質. 具有相同數(shù)字編號的性質可以認為是對偶的.</p>

58、<p>　　顯然, 性質(FL2)和(FU2)蘊含了以下的性質</p><p><b>　　(FL2)’, </b></p><p><b>　　(FU2)’.</b></p><p>　　的文獻中, 一個串行的粗糙模糊集合模型將從一個串行的二元關系中獲得. 串行關系的性質可以由它導出的粗糙模糊近似算子的性質所刻

59、畫. </p><p>　　定理4.2 如果是一個任意的從到的經(jīng)典關系, 而且和是由式子(4.1)和(4.2)定義的粗糙模糊近似算子, 那么</p><p>　　是串行的(FL0), </p><p><b>　　(FU0), </b></p><p>　　(FL0)’, , </p><p>

60、　　(FU0)’, , </p><p>　　(FLU0), . </p><p>　　證明 首先由對偶性可知(FL0)’(FU0)’(FL0). 其次, (FL0)’(FL0)為顯然. 若(FL0)成立,則在性質(FL2)中取即得性質(FL0)’.</p><p>　　另一方面, 將經(jīng)典集看成一個特殊的模糊集, </p><p><

61、b>　　是串行的, ,</b></p><p><b>　　從而定理得證. </b></p><p>　　通過性質(FLU0), 串行的粗糙集合模型的粗糙模糊近似算子對是一個區(qū)間結構. 以下定理刻畫了其它特殊經(jīng)典關系與粗糙模糊近似算子之間的聯(lián)系. </p><p>　　定理4.3 假定是上的二元經(jīng)典關系, 而且和是由式子(4

62、.1)和(4.2)定義的粗糙模糊近似算子, 那么</p><p>　　(1)是自反的(FL6), , </p><p><b>　　(FU6), , </b></p><p>　　(2)是對稱的(FL7), , </p><p><b>　　(FU7), , </b></p><

63、p>　　(FL7)’, , </p><p><b>　　(FU7)’, ,</b></p><p>　　(3)是傳遞的(FL8), ,</p><p><b>　　(FU8), ,</b></p><p>　　(4)是歐幾里德的(FL9), ,</p><p><

64、;b>　　(FU9), . </b></p><p>　　證明 (1) 由粗糙模糊近似算子的對偶性知(FL6)與(FU6)是等價的.</p><p>　　“充分性” 取, 即可得(FL6)是自反的; (FU6)是自反的. </p><p>　　“必要性” 由，. 即, 得到. </p><p>　　由，, 即, 得到.

65、 </p><p>　　從而由是自反關系可以推出(FL6)和(FU6). </p><p>　　(2) 由粗糙模糊近似算子的對偶性知(FL7)與(FU7), (FL7)’與(FU7)’分別是等價的. </p><p>　　“充分性” 取, 即可得(FL7)是對稱的; (FU7)是對稱的</p><p>　　“必要性” 若是對稱關系, 用反

66、證法來證是對稱關系(FL7). </p><p>　　若(FL7)不成立, 則存在和, 使</p><p>　　于是存在, 使對于任意有. 由于是對稱的, 因此由, 可得, 這樣就有, 矛盾, 從而由的對稱性可推得(FL7)成立. </p><p>　　是對稱的(FL7)’(FU7)’.</p><p>　　(3)由粗糙模糊近似算子的對偶性知

67、(FL8)與(FU8)是等價的. </p><p>　　“充分性” 取, 即可得(FL8)是傳遞的; (FU8)是傳遞的. </p><p>　　“必要性” 充分性的證明與(1)的證明過程類似. </p><p>　　(4) 由粗糙模糊近似算子的對偶性知(FL9)與(FU9)是等價的. </p><p>　　“充分性” 取, 即可得(F

68、L9)是歐幾里德的; (FU9)是歐幾里德的. </p><p>　　“必要性” 只須用反證法證明是歐幾里得關系(FU9). </p><p>　　若(FU9)不成立, 則存在和使, 即</p><p>　　從而存在 存在使對于任意有. 但由于是歐幾里得關系, 從而由與可得, 這樣便推出的矛盾結論. 故(4)得證. </p><p>　　5

69、 粗糙模糊近似的公理化刻畫</p><p>　　在公理化的過程中, 粗糙集被抽象的近似所刻畫描述. 對于粗糙模糊集的情況下, 原始的概念是一個系統(tǒng), 這里和是的一元運算. 在這一章節(jié)中, 我們證明了粗糙模糊近似算子可以由公理刻畫. </p><p>　　定義5.1 設,:的兩個算子. ,稱為對偶算子, 如果對于所有的滿足以下性質</p><p><b>

70、　　(fl1), </b></p><p><b>　　(fu1). </b></p><p>　　定理5.1 設,:是對偶算子. 那么存在一個從到的經(jīng)典二元關系使得對于所有的有</p><p><b>　　, . </b></p><p>　　當且僅當滿足公理(flc),(fl2),

71、(fl3), 或者等價地滿足公理(fuc),(fu2),(fu3), </p><p><b>　　(flc), , </b></p><p>　　(fl2), , , </p><p>　　(fl3), ,, </p><p><b>　　(fuc), , </b></p><

72、p>　　(fu2), , , </p><p>　　(fu3), ,, </p><p>　　這里是指單點集的特征函數(shù). </p><p>　　證明 必要性的證明</p><p>　　必要性可由粗糙模糊近似算子的構造性定義4.1和定理4.1即得. </p><p><b>　　充分性的證明</b

73、></p><p>　　若滿足公理(fuc),(fu2),(fu3). 由公理(fuc)并利用, 我們定義從到上的二元經(jīng)典關系如下:</p><p><b>　　, .</b></p><p><b>　　顯然, </b></p><p><b>　　, .</b><

74、;/p><p><b>　　對于任意, 注意到</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　這樣對于任意, 由的定義, 公理(fuc)和(fu3)得</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　從而由

75、的任意性得.</b></p><p><b>　　由對偶性可得. </b></p><p><b>　　證畢.</b></p><p>　　根據(jù)定理5.1, 公理(flc),(fl1),(fl2),(fl3), 或者等價地, 公理(fuc),(fu1),(fu2),(fu3).被看作粗糙模糊近似算子的基本公理.

76、 這些公理導出了以下的粗糙模糊集合代數(shù)的定義. </p><p>　　定義5.2 設,:的兩個算子. 如果滿足公理(flc),(fl2),(fl3),或者等價地滿足公理(fuc),(fu2), (fu3), 那么系統(tǒng)被稱為一個粗糙模糊集合代數(shù), 這種情況下, 如果存在一個上的串行的（自反的, 對稱的, 傳遞的, 歐幾里德的, 等價的）關系使得對于有和, 那么被稱作為串行的（自反的, 對稱的, 傳遞的, 歐幾里德的

77、, Pawlak）粗糙模糊集合代數(shù). </p><p>　　串行的粗糙模糊集合代數(shù)的公理化刻畫可以用以下的定理描述. </p><p>　　定理5.2 設是粗糙模糊集合代數(shù), 換言之, 滿足公理(flc),(fl1),(fl2),(fl3), 而且滿足公理(fuc),(fu1),(fu2),(fu3), 那么它是一個串行的粗糙模糊集合代數(shù)當且僅當下列等價公理之一成立</p>

78、<p><b>　　(fl0), , </b></p><p><b>　　(fu0), , </b></p><p><b>　　(fl0)’, </b></p><p><b>　　(fu0)’, </b></p><p>　　(flu0)

79、’, .</p><p>　　證明 由定理5.1和定理4.2得(fl0)和(fu0). 再由定理4.2可得(fl0)’,(fu0)’和(flu0)’. </p><p>　　定理5.2中(flu0)’陳述了是的模糊子集. ,:稱為上下粗糙模糊算子, 而且系統(tǒng)是一個區(qū)間結構. 其他類型的粗糙模糊集合代數(shù)的公理化刻畫可以用以下的定理5.3, 定理5.4, 定理5.5和定理5.6來描述. &l

80、t;/p><p>　　定理5.3 假設是一個自反的粗糙模糊集合代數(shù)當且僅當下列等價公理之一成立</p><p><b>　　(fl6), , </b></p><p><b>　　(fu6), . </b></p><p>　　證明 由定理5.1和定理4.3的(1)可得. </p>&

81、lt;p>　　定理5.4 假設是一個對稱的粗糙模糊集合代數(shù)當且僅當下列等價公理之一成立</p><p><b>　　(fl7), , </b></p><p><b>　　(fu7), , </b></p><p>　　(fl7)’, , </p><p>　　(fu7)’, . </

82、p><p>　　證明 由定理5.1和定理4.3的(2)可得.</p><p>　　定理5.5 假設是一個傳遞的粗糙模糊集合代數(shù)當且僅當下列等價公理之一成立</p><p><b>　　(fl8), , </b></p><p><b>　　(fu8), . </b></p><p

83、>　　證明 由定理5.1和定理4.3的(3)可得.</p><p>　　定理5.6 假設是一個歐幾里德的粗糙模糊集合代數(shù)當且僅當下列等價公理之一成立</p><p><b>　　(fl9), , </b></p><p><b>　　(fu9), . </b></p><p>　　證明

84、由定理5.1和定理4.3的(4)可得. </p><p>　　定理5.7 假設是一個粗糙模糊集合代數(shù), 那么當它是一個Pawlak的粗糙模糊集合代數(shù)當且僅當滿足定理(fl6),(fl7)和(fl8)或者等價地滿足定理(fu6),(fu7)和(fu8). </p><p>　　6 基于鄰域系統(tǒng)的粗糙模糊近似</p><p>　　關于粗糙近似運算與鄰域系統(tǒng)兩者之間的關

85、系的研究已經(jīng)進行了很多年. 在文獻中, 探索解釋1步鄰域運算和粗糙模糊近似的關系. 和在文獻闡述了在</p><p>　　-步鄰域系統(tǒng)下的廣義粗糙近似運算. 在這一節(jié)中, 我們研究粗糙模糊近似與-步鄰域系統(tǒng)之間的關系. </p><p>　　定義6.1 對于上的一個二元關系和正整數(shù), 定義的-步關系如下:</p><p><b>　　, </b&g

86、t;</p><p>　　存在, , …, , 1, </p><p>　　使得, , …,, . </p><p><b>　　容易得到</b></p><p>　　存在, , …, , </p><p>　　使得, , …,. </p><p>　　顯然, , 當所有的

87、時, （事實上, 就是上的傳遞閉包）. 當然, 是傳遞的. </p><p>　　定義6.2 設是上的一個二元關系, 對于兩個元素,和, 如果, 那么我們可以稱是-相關于, 是的-前驅, 是的-后繼. 的所有-后繼的集合標記為, 也就是說; 也被稱為的-步鄰域. </p><p>　　我們可以得出是一個的鄰域系統(tǒng), 而且是一個-步鄰域系統(tǒng). </p><p>　　

88、-步鄰域系統(tǒng)是關于單調遞增的. 對于兩個關系和, 有對于所有的,</p><p><b>　　. </b></p><p>　　特別地, 對于所有的和所有的</p><p><b>　　. </b></p><p><b>　　易見,</b></p><p&

89、gt;<b>　　. </b></p><p><b>　　顯然, </b></p><p><b>　　, ,, </b></p><p><b>　　這里. </b></p><p>　　易證, 對于所有的,,</p><p>

90、<b>　　.</b></p><p>　　而且如果是歐幾里德的, 由文獻知, 對于所有的,</p><p><b>　　.</b></p><p>　　特殊類型的二元關系與由其誘導出來的-步關系之間的聯(lián)系可以總結為如下. </p><p>　　定理6.1 假設是上的任意一個二元關系, 那么<

91、;/p><p>　　(1)是串行的對于所有的，是串行的; </p><p>　　(2)是自反的對于所有的，是自反的; </p><p>　　(3)是對稱的對于所有的，是對稱的; </p><p>　　(4)是傳遞的對于所有的，是傳遞的, 而且; </p><p>　　(5)是歐幾里德的對于所有的，是歐幾里德的. </

92、p><p>　　定義6.3 設論域上的一個任意關系, 對于任何和, 我們可以定義一對在-步鄰域系統(tǒng)上的的上下近似如下: </p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　特別地, 和稱為-步上下近似算子. </p><p>　

93、　通過文獻, 易見一個二元關系的性質能被多步近似算子的性質等價地刻畫. </p><p>　　定理6.2 設是上的任意一個二元關系, 那么</p><p>　　(1)是串行的 (KNL0) , , </p><p>　　(KNU0), , </p><p>　　(KNLU0), , , </p><p>　　(2)是

94、自反的 (KNL6) , , , </p><p>　　(KNU6), , , </p><p>　　(3)是對稱的 (KNL7) , , , </p><p>　　(KNU7), , , </p><p>　?。?）是傳遞的 (KNL8) , , , </p><p>　　(KNU8), , , </p&g

95、t;<p>　　(5)是歐幾里德的(KNL9), , , </p><p>　　(KNU9), , . </p><p>　　定義6.4 設論域上的一個任意經(jīng)典二元關系, 對于任何和, 我們可以定義一對在—步鄰域系統(tǒng)上的的上下粗糙模糊近似如下: </p><p><b>　　, , </b></p><p&g

96、t;<b>　　, . </b></p><p>　　特別地, 和是被稱為—步上下粗糙模糊近似算子. </p><p><b>　　如果, 易見 </b></p><p><b>　　(1), ,</b></p><p><b>　　(2), .</b>&

97、lt;/p><p>　　結合定理4.3, 定理6.1, 定理6.2, 我們可以得到以下定理6.3. </p><p>　　定理6.3 假設是上的任意一個經(jīng)典二元關系, 那么</p><p>　　(1)是串行的(KFL0), ,</p><p><b>　　(KFU0),,</b></p><p>　　

98、(KFLU0), ,</p><p>　　(KFL0)’, , ,</p><p>　　(KFU0)’, , ,</p><p>　　(2)是自反的(KFL6), , ,</p><p>　　(KFU6), , ,</p><p>　　(3)是對稱的(KFL7) , , ,</p><p>　　

99、(KFU7), , ,</p><p>　　(4)是傳遞的(KFL8), , ,</p><p>　　(KFU8), , ,</p><p>　　(5)是歐幾里德的(KFL9),, ,</p><p>　　(KFU9),, .</p><p>　　證明 (1)由于是串行的當且僅當對于任意, 也是串行的, 再由定理4.

100、2得(1)成立.</p><p>　　(2)由定理4.1和定理4.3可得.</p><p><b>　　(3)必要性的證明</b></p><p>　　由于是對稱的當且僅當對于任意, 也是對稱的, 從而由定理5.1我們有</p><p><b>　　, , . </b></p><

101、;p><b>　　注意到, 從而</b></p><p><b>　　, . </b></p><p>　　這樣我們得到了(KFL7). 再由粗糙模糊近似算子的對偶性得(KFU7). </p><p><b>　　充分性的證明</b></p><p>　　令，則由定理5.

102、1知是對稱的. </p><p>　　(4)由定理4.1和定理5.2可得.</p><p><b>　　(5)必要性的證明</b></p><p>　　由于是歐幾里德的當且僅當對于任意, 也是歐幾里德的，從而由定理5.3我們有</p><p><b>　　, , . </b></p>

103、<p><b>　　注意到，從而</b></p><p><b>　　, . </b></p><p>　　這樣我們得到了(KFL9). 再由粗糙模糊近似算子的對偶性得(KFU9). </p><p><b>　　充分性的證明</b></p><p>　　令，則由定理

104、5.3知是歐幾里德的. </p><p><b>　　7 小結</b></p><p>　　本文我們主要研究基于鄰域算子系統(tǒng)的粗糙模糊近似. 首先, 回顧了經(jīng)典集合與經(jīng)典二元關系的基本概念和性質, 介紹了一般關系下的粗糙集合的定義和性質. 其次, 介紹了鄰域算子與二元關系之間的聯(lián)系, 討論了鄰域算子的性質. 最后, 定義了基于鄰域算子的粗糙模糊近似算子, 研究了基于鄰

105、域算子的粗糙模糊近似算子的性質. 并證明了可以用基于鄰域算子的粗糙模糊近似算子的性質去刻畫鄰域算子的性質.</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　Pawlak. Z. Rough Sets: Theoretical Aspects of Reasoning about Data [M]. Boston: Kluwer Academic Pu

106、blishers, 1991. </p><p>　　張文修, 吳偉志, 梁吉業(yè)等. 粗糙集理論與方法 [M]. 北京: 科學出版社, 2001. </p><p>　　程昳, 莫智文. 粗糙模糊集的分解定理及表現(xiàn)定理 [J]. 四川師范大學學報(自然科學版), 2001, 24(1): 29~31. </p><p>　　杜衛(wèi)鋒, 孫士保. 模糊粗糙集的表示定理

107、[J]. 南交通大學學報, 2005, 40(1): 118~121. </p><p>　　羅世堯. 粗糙模糊集的性質 [J]. 樂山師范學院學報, 2005, 5: 18~19. </p><p>　　何新貴. 模糊知識處理的理論與技術 [M]. 北京: 國防工業(yè)出版社, 1998.</p><p>　　汪誠義. 模糊數(shù)學引論 [M]. 北京: 北京工業(yè)大學出版

108、社, 1988.</p><p>　　青義學. 模糊數(shù)學入門 [M]. 西安: 知識出版社, 1987.</p><p>　　李洪興, 汪群等. 工程模糊數(shù)學方法法及應用 [M]. 天津: 天津科學技術出版社, 1993.</p><p>　　王元元, 張桂蕓. 離散數(shù)學導論 [M]. 北京: 科學出版社, 2007. </p><p>　　

109、賈振華, 王學軍, 賈建文, 郭輝. 離散數(shù)學 [M]. 北京: 中國水利水電出版社, 2004.</p><p>　　徐優(yōu)紅. 二元關系的復合與近似算子的合成 [J]. 計算機科學, 2009, 36(2): 194~198. </p><p>　　Kerre. Etienne E. Fuzzy Sets and Approximate Reasoning (English Editio

110、n) [M]. 西安: 西安交通大學出版社, 1999.</p><p>　　李洪興, 汪培莊. 模糊數(shù)學 [M]. 北京: 國防工業(yè)出版社, 1994. </p><p>　　楊綸標, 高英儀. 模糊數(shù)學原理及應用 [M]. 廣州: 華南理工大學出版社, 2005.</p><p>　　Zadeh, L A. Probability Measures of Fuz

111、zy Events [J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1968, 23: 421~427. </p><p>　　Yao Y Y. Constructive and Algebraic Methods of the Theory of Rough Sets [J]. Journal of Information Sciences. 19

112、98, 109: 21~47. </p><p>　　Yao Y Y. Generalized Rough Set Model [C]. In: Polkowski L, Skowron A Ed. Rough Sets in Knowledge Discovery 1. Methodology and Applications. Heidelberg: Physica-Verlag, 1998: 286~318

113、. </p><p>　　Yao Y Y. Relational Interpretations of Neighborhood Operators and Rough Set Approximation Operators [J]. Information Sciences, 1998, 111: 239~259. </p><p>　　Pawlak Z. Rough sets [J].

114、 International Journal of Computer and Information Science, 1982, 11: 341–356. </p><p>　　Pawlak Z. Rough Sets: Theoretical Aspects of Reasoning about Data [M]. Boston: Kluwer Academic Publishers, 1991.</p

115、><p>　　Dubois D, Prade, H. Rough Fuzzy Sets and Fuzzy Rough Sets [J]. International Journal of General Systems, 1990, 17: 191~208. </p><p>　　Wu W Z, Zhang W X. Constructive and Axiomatic Approaches

116、 of Fuzzy Approximation Operators [J]. Information Sciences, 2004, 159: 233~254. </p><p>　　Yao Y Y. Combination of Rough and Fuzzy Sets based on α-level Sets [C]. In: Lin TY, Cercone N Eds, Rough Sets and Da

117、ta Mining: Analysis for Imprecise Data. Boston: Kluwer Academic Publishers, 1997: 301~321. </p><p>　　Yao Y Y. Two Views of the Theory of Rough Sets in Finite Universes [J]. International Journal of Approxima

118、te Reasoning, 1996, 15: 291~317. </p><p>　　Mi J S, Zhang W X. An Axiomatic Characterization of A Fuzzy Generalization of Gough Sets [J]. Information Sciences, 2004, 160: 235~249.</p><p>　　Yao Y

119、Y. Relational Interpretations of Neighborhood Operators and Rough Set Approximation Operators [J]. Information Sciences, 1998, 111: 239~259. </p><p>　　Wu W Z, Zhang W X. Neighborhood Operator Systems and App