信息與計(jì)算科學(xué)畢業(yè)論文淺析調(diào)和方程的數(shù)值解法

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　淺析調(diào)和方程的數(shù)值解法</p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級(jí) 信息與計(jì)算科學(xué)

2、 </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p><b>　　摘要</b></p>

3、<p>　　調(diào)和方程的數(shù)值解法是通過(guò)離散化利用計(jì)算機(jī)求調(diào)和方程近似解的方法. 在調(diào)和方程數(shù)值解法中有: 有限差分法, 元體平衡法, 有限元素法等等. 本文的目的是研究調(diào)和方程狄利克雷問(wèn)題的數(shù)值解法, 其中用到有限差分法, 元體平衡法, 有限元素法, 論文分析了這三種方法在求解具體問(wèn)題中的應(yīng)用, 介紹了調(diào)和方程在各種條件下求解數(shù)值解的解決方案.</p><p>　　關(guān)鍵詞: 調(diào)和函數(shù); 差分方程; 數(shù)

4、值解.</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Numerical solution of harmonic equation is a method of solving the approximate solution of harmonic equation by the discretization using a compu

5、te. In the numerical solution method of harmonic equation: finite difference method, element body balance method, finite element method, etc. The purpose of this thesis is to research numerical methods for dirichlet prob

6、lem of harmonic equation, therein using finite difference method, element body balance method, finite element method. In this paper, thr</p><p>　　Keywords: Harmonic function; Difference equation; Numerical s

7、olution.</p><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　摘要I</b></p><p>　　AbstractII</p><p><b>　　1 前言1</b></p><p><b>　　2 調(diào)和方程2

8、</b></p><p>　　2.1 調(diào)和方程的導(dǎo)出2</p><p>　　2.2 調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)3</p><p>　　3 調(diào)和方程的數(shù)值解6</p><p>　　3.1 有限差分法的介紹和應(yīng)用6</p><p>　　3.2 元體平衡法10</p><p>　　3.3 有

9、限元素法 (里茨法)12</p><p>　　3.4 有限元素法 (伽遼金法)13</p><p><b>　　4 小結(jié)16</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)17</b></p><p>　　致謝錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p><b>　　

10、1 前言</b></p><p>　　從20世紀(jì)開(kāi)始,由于物理學(xué)內(nèi)容的更新, 數(shù)學(xué)物理也有了新的面貌. 伴隨著對(duì)電磁理論和引力場(chǎng)的深入研究, 人們的時(shí)空觀念發(fā)生了根本的變化, 這使得閔科夫斯基空間和黎曼空間 (用現(xiàn)代術(shù)語(yǔ)說(shuō), 洛倫茨流形) 的幾何學(xué)成為愛(ài)因斯坦狹義相對(duì)論和廣義相對(duì)論所必需的數(shù)學(xué)理論, 許多物理量以向量、張量和旋量作為表達(dá)形式. 在探討大范圍時(shí)空結(jié)構(gòu)時(shí), 還需要整體微分幾何. </

11、p><p>　　在一個(gè)物理問(wèn)題中一個(gè)數(shù)值解往往比一個(gè)式子更直觀, 更有價(jià)值.在實(shí)際求解方程時(shí), 除了一些特 (數(shù)學(xué)物理方程在) 殊的情況下可以方便地求得其精確解外, 在一般情況下, 當(dāng)方程或定解條件具有比較復(fù)雜的形式, 或求解區(qū)域具有比較復(fù)雜的形狀時(shí), 往往求不到, 或不易求到其精確解. 這就需要我們?nèi)ふ曳匠痰慕平? 特別是數(shù)值近似解, 簡(jiǎn)稱數(shù)值解. 這里主要研究的是調(diào)和方程. </p><p

12、>　　調(diào)和方程, 又稱Laplace方程, 是一類典型的橢圓型方程, 也是最簡(jiǎn)單的橢圓型方程. 在學(xué)習(xí)這一部分內(nèi)容時(shí), 除了弄清楚該方程及相應(yīng)定解問(wèn)題的提法與其物理背景以外, 還需要掌握的內(nèi)容有: (1) 調(diào)和函數(shù)的基本性質(zhì),包括各類極值原理, 以及這些性質(zhì)是如何與定解問(wèn)題解的適定性相聯(lián)系的. (2) 在一些特殊區(qū)域中對(duì)某些定解問(wèn)題的求解, 包括解的顯示表達(dá)式的導(dǎo)出.這里需要強(qiáng)調(diào)的是, 調(diào)和方程的許多性質(zhì)都能推廣到一般的情形. 也

13、就是說(shuō), 一般二階線性橢圓型方程的解也常有類似的性質(zhì)與極值原理, 而且其相應(yīng)定理的證明思路也與調(diào)和方程的情形相仿. 從這個(gè)角度來(lái)說(shuō), 我們對(duì)調(diào)和方程的研究蘊(yùn)含著更豐富的內(nèi)容. </p><p>　　求偏微分方程數(shù)值解的方法是多種多樣的, 它本身已形成了一個(gè)獨(dú)立的研究方向, 其要點(diǎn)是對(duì)偏微分方程定解問(wèn)題進(jìn)行離散化. 這里將以二維調(diào)和方程的狄利克雷問(wèn)題和一維熱傳導(dǎo)方程與一維波動(dòng)方程的初邊值問(wèn)題為例, 說(shuō)明將這些連續(xù)型

14、的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的離散型問(wèn)題的主要處理方法.</p><p><b>　　2調(diào)和方程</b></p><p>　　2.1調(diào)和方程的導(dǎo)出 </p><p>　　我們來(lái)研究調(diào)和方程 (又稱拉普拉斯方程)</p><p><b>　　(2.1)</b></p><p><b

15、>　　及泊松方程</b></p><p><b>　　(2.2)</b></p><p>　　的基本定解問(wèn)題及解的性質(zhì).</p><p>　　方程 (2.1) 及 (2.2) 在力學(xué)和物理學(xué)問(wèn)題中經(jīng)常碰到. 在研究膜的振動(dòng)問(wèn)題中, 當(dāng)不隨時(shí)間而變化的外力作用下膜平衡時(shí), 膜的位移和時(shí)間無(wú)關(guān), 于是膜振動(dòng)方程</p>

16、<p><b>　　就化為膜平衡方程</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　或?qū)憺?lt;/b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　它就是二維泊松方程.</p><

17、p>　　引力位勢(shì) 在數(shù)學(xué)史上導(dǎo)致調(diào)和方程的一個(gè)著名的實(shí)例來(lái)自牛頓萬(wàn)有引力. 根據(jù)牛頓萬(wàn)有引力定律, 位于處質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)對(duì)位于處具有單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力, 其大小等于, 而作用方向沿著這兩點(diǎn)的連線, 指向點(diǎn), 其中</p><p>　　為這兩點(diǎn)之間的距離. 寫成向量形式, 即為</p><p><b>　　.</b></p><p>　　

18、稱為引力場(chǎng)函數(shù). 顯然引力場(chǎng)函數(shù)是位勢(shì)函數(shù)</p><p>　　的梯度: . 除了允許相差一個(gè)任意常熟外, 位勢(shì)函數(shù)是唯一確定的.</p><p>　　若有以密度分布在區(qū)域上的質(zhì)量. 那么它產(chǎn)生的引力場(chǎng)應(yīng)該為其上各質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生的引力場(chǎng)的疊加. 在區(qū)域上的質(zhì)量所產(chǎn)生的總引力位勢(shì)應(yīng)為</p><p><b>　　.</b></p><

19、;p>　　通過(guò)直接計(jì)算可以驗(yàn)證, 在以外滿足調(diào)和方程</p><p><b>　　.</b></p><p>　　還可以進(jìn)一步驗(yàn)證, 若滿足Holder條件, 則在內(nèi)滿足泊松方程</p><p><b>　　.</b></p><p>　　此外還可以從靜電場(chǎng)的電位勢(shì)中可以得到導(dǎo)出等等.<

20、/p><p>　　定義2.1 調(diào)和方程 (1.1) 的連續(xù)解, 也就是說(shuō)具有關(guān)于變量和的二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)并且滿足方程 (1.1) 的連續(xù)函數(shù)解稱為調(diào)和函數(shù).</p><p>　　2.2 調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)</p><p>　　調(diào)和函數(shù)有許多重要的性質(zhì)如解析性, 解及其導(dǎo)數(shù)的有界性估計(jì), 在無(wú)窮遠(yuǎn)出的衰減性的估計(jì)等等. 這些性質(zhì)對(duì)于解的存在性的討論, 方程的求解或近似求解等都

21、很有幫助. 在此要指出的是, 這些性質(zhì)對(duì)于一般的二階線性橢圓型方程的解往往也是成立的. </p><p>　　定理2.1 設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)且處處成立平均值公式, 則在中調(diào)和.</p><p>　　定理2.2 設(shè)函數(shù)在區(qū)域中調(diào)和, 則它在該區(qū)域中解析.</p><p>　　定理2.3 設(shè)為有界區(qū)域, 對(duì)每個(gè), , 在中調(diào)和, 今若在上一致收斂于, 則, 且在中調(diào)和.

22、</p><p>　　例2.1 設(shè)在以為中心, 以為半徑的球中調(diào)和, 非負(fù), 則對(duì)任一點(diǎn), 記,必有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　證明 不妨設(shè)在中連續(xù). 否則, 可對(duì)充分小的, 在球中進(jìn)行討論, 再令即可. 由球上的Poisson公式知</p><p><b>　　,<

23、/b></p><p><b>　　注意到</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　由, 可知</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　同理可得不等式的左邊一般.

24、 證明完畢.</p><p>　　例2.2 設(shè)定義于區(qū)域中的函數(shù)u在光滑曲面的兩側(cè)是調(diào)和函數(shù), 在上函數(shù)本身及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù), 則在整個(gè)區(qū)域中調(diào)和.</p><p>　　證明：設(shè)將區(qū)域分成, 兩部分, 是內(nèi)一任意閉曲面. 當(dāng)完全落在或內(nèi)時(shí), 對(duì)內(nèi)的任一點(diǎn), 有</p><p>　　. (2.3)</p><p>　　如

25、果有一部分落在內(nèi), 一部分落在內(nèi), 記在內(nèi)的一部分為, 在內(nèi)的一部分為, 且在所圍的區(qū)域中, 屬于曲面的那部分為, 則當(dāng)時(shí), 則會(huì)有公式</p><p>　　, (2.4)</p><p>　　. (2.5)</p><p>　　注意到在上是連續(xù)的, 它的一介導(dǎo)數(shù)也是連續(xù)的, 但在作為的邊界與作為的邊界這兩

26、種情況下外法相反, 所以 (2.4) 中的 與 (2.5) 中的絕對(duì)值相等, 符號(hào)相反. 將 (2.4) 與 (2.5) 兩式相加, 就得知當(dāng)時(shí) (2.3) 成立. 同理, 當(dāng)時(shí), (2.3) 也成立. 最后由在上的連續(xù)性知, 當(dāng)時(shí), (2.3) 仍成立. 因?yàn)閷?(2.3) 中的取為以為中心的球面, 可立刻得到平均值公式, 所以再利用定理2.1就可知在內(nèi)調(diào)和. 證明完畢.</p><p>　　3 調(diào)和方程的數(shù)值

27、解</p><p>　　3.1 有限差分法的介紹和應(yīng)用 </p><p>　　要求得狄利克雷問(wèn)題 (3.1) 的數(shù)值近似解, 首先要將相應(yīng)的微分方程離散化, 這就導(dǎo)致有限差分法.</p><p><b>　　考慮定解問(wèn)題</b></p><p><b>　　(3.1)</b></p>

28、<p>　　其中方程 (3.1) 在平面的一個(gè)有界區(qū)域中滿足, 為的邊界, 設(shè)其為分段光滑, 而為在上給定的連續(xù)函數(shù). </p><p>　　為了用差分法解該定解問(wèn)題, 先作平行于坐標(biāo)軸的兩族直線</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　.</b></p><p&g

29、t;　　這兩族直線講區(qū)域分割乘若干個(gè)小方格 (稱為網(wǎng)格). 小方格的變長(zhǎng)稱為步長(zhǎng). 表示由小方格的邊所連成的封閉折線, 應(yīng)盡量與原邊界接近. 所包圍的區(qū)域記為. 點(diǎn)稱為網(wǎng)格節(jié)點(diǎn).</p><p>　　所謂差分法就是以為邊界, 在區(qū)域內(nèi)求定解問(wèn)題 (3.1) 的近似解.</p><p>　　設(shè), 則可將定解問(wèn)題 (3.1) 的微分方程化為差分方程</p><p>　　

30、. </p><p>　　上式兩邊同乘以后整理得</p><p>　　. (3.2)</p><p>　　對(duì)于邊界上的節(jié)點(diǎn), 在上找一個(gè)與最近的點(diǎn), 并且令</p><p><b>　　(3.3)</b></p><p>　　聯(lián)

31、立 (3.2), (3.3), 可得定解問(wèn)題 (2.1) 的近似解.</p><p>　　此外, 我們也可以用迭代法求該定解問(wèn)題的近似解. 為使用迭代法, 我們將(3.2)式改寫成如下形式</p><p>　　. (3.4)</p><p>　　最簡(jiǎn)單的迭代法是同步迭代法, 即任意給定網(wǎng)格區(qū)域內(nèi)節(jié)點(diǎn)上的數(shù)值作為解的零次近似

32、, 將這組數(shù)值代入上式右端, 得到</p><p><b>　　.</b></p><p>　　將作為解的一次近似. 右端四個(gè)值當(dāng)中若涉及邊界節(jié)點(diǎn)上的值, 均用相應(yīng)的已知值代入. 一般地, 在已得到解的第k次近似后, 由公式</p><p>　　得到解的第次近似. 這樣就得到一個(gè)近似解序列, </p><p>　　可以證

33、明, 不論零次近似值如何選取, 當(dāng)時(shí), 序列必收斂于差分方程 (3.2) 的解. 因此當(dāng)k相當(dāng)大時(shí), 就給出所要求的近似值.</p><p>　　為了加快迭代法的收斂性, 常常采用異步迭代法. 在計(jì)算節(jié)點(diǎn)處的第次近似值時(shí), 其周圍的四個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)中有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)及處的第次近似值已經(jīng)求得. 因此, 異步迭代法相應(yīng)的迭代公式為</p><p>　　與同步迭代法類似, 當(dāng)右端四個(gè)值當(dāng)中涉及邊界節(jié)點(diǎn)上的

34、值, 均用邊界條件中所給的已知值代入.</p><p>　　例 3.1 求邊界為, , 和, 邊界條件的拉普拉斯方程的近似解.</p><p>　　解 根據(jù)邊界條件可得</p><p>　　所以, 拉普拉斯方程所對(duì)應(yīng)的差分方程為</p><p><b>　　, ; ,</b></p><p>&

35、lt;b>　　即</b></p><p>　　將邊界值代入并整理, 得</p><p><b>　　解線性方程組</b></p><p>　　可得區(qū)域內(nèi)部節(jié)點(diǎn)處的值為</p><p>　　另外,我們還可以用異步迭代法求該定解問(wèn)題的近似解, 零次近似可取邊界值的平均值, 即. 然后采用異步迭代公式<

36、/p><p>　　進(jìn)行計(jì)算, 從而得到近似解序列見(jiàn)表</p><p>　　例3.2 證明: 用有限差分法所列的計(jì)算格式和恒有唯一的解.</p><p>　　證明 因兩邊除以 (且), 整理得</p><p><b>　　,</b></p><p>　　而此方程化為差分格式為</p>

37、<p>　　即而為：, 也就是 (3.1) 的解, 故為二維方程狄利克雷問(wèn)題的數(shù)值解.</p><p>　　用反證法, 事實(shí)上, 設(shè)有兩個(gè)調(diào)和函數(shù)和, 他們?cè)谟薪鐓^(qū)域的邊界上完全相同, 則他們的差在中滿足拉普拉斯方程, 在上等于零. 于是按照極值原理, 函數(shù)在區(qū)域內(nèi)不能取大于零和小于零的值. 即. 因此, 也就是說(shuō)狄利克雷問(wèn)題的解是唯一的. 故的解是唯一的, 可得方程有唯一的解. 證明完畢.</p

38、><p>　　3.2 元體平衡法 </p><p>　　由格林公式, 若, 對(duì)內(nèi)任一分段光滑的閉環(huán)路成立</p><p>　　其中是L所包圍的區(qū)域, n是L上的單位外法向量. 于是, 若是調(diào)和方程狄利克雷問(wèn)題 (3.1) 的解, 它應(yīng)滿足: 對(duì)中任一分段光滑的閉環(huán)路L成立</p><p>　　,

39、 （3.5）</p><p><b>　　而在的邊界上</b></p><p>　　. （3.6） </p><p>　　以穩(wěn)定溫度場(chǎng)為例, (3.21) 式表示在L上總熱流量為零的平衡條件. 現(xiàn)在從 (3.5)—(3.6) 出發(fā)求

40、其相應(yīng)的數(shù)值解, 稱為元體平衡法.</p><p>　　(I) 設(shè)求解區(qū)域?yàn)閱挝痪仃? 并應(yīng)用直交網(wǎng)格把區(qū)域分成若干個(gè)相同的區(qū)域. 和有限差分法時(shí)一樣, 近似處理的第一步是: 代替求整個(gè)區(qū)域上的解, 只要求在節(jié)點(diǎn)上解的近似值 .</p><p>　　(II) 第二步: 代替要求在任一閉環(huán)路上成立平衡條件 (3.5), 改為在某些環(huán)繞節(jié)點(diǎn)的特定的閉環(huán)路上成立 (3.5) 試. 這種圍繞節(jié)點(diǎn)的

41、特定的閉環(huán)路所包圍的區(qū)域稱為元體. 在每一個(gè)節(jié)點(diǎn)都有一個(gè)相應(yīng)的元體, 不同的元體間互不重疊, 而且所有這些元體正好合并成整個(gè)求解區(qū)域. 這樣, 由在每個(gè)元體上成立平衡條件, 就可得出在整個(gè)區(qū)域上成立平衡條件.</p><p>　　從直交網(wǎng)格上, 對(duì)任一內(nèi)節(jié)點(diǎn), 設(shè)矩形ABCD平行與坐標(biāo)軸每條邊過(guò)兩節(jié)點(diǎn)的中點(diǎn); 對(duì)于邊界節(jié)點(diǎn), 其所相應(yīng)的元體可以類似的改造. 由于在邊界節(jié)點(diǎn)上的解值為已知, 即已公式, 我們下面只對(duì)

42、內(nèi)節(jié)點(diǎn)考慮其相應(yīng)的元體, 并列出在其上的平衡條件</p><p>　?。閮?nèi)節(jié)點(diǎn)） (3.7)</p><p>　　來(lái)代替原先的平衡條件 (3.5).</p><p><b>　　圖1</b></p><p>　　(III) 第三步: 在條件 (3.7) 中用差商代替一階偏導(dǎo)數(shù). 注意到

43、</p><p><b>　　,</b></p><p>　　用相應(yīng)的中心差商來(lái)近似地代替上式右端第一項(xiàng)積分中的導(dǎo)數(shù), 就有</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　同樣的, 有</b></p><p><b>　　

44、,</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　將它們一起代入 (3.7) 式, 就得到: 對(duì)任一內(nèi)節(jié)點(diǎn), 仍成立五點(diǎn)格式 (3.4) 式. 至于邊界節(jié)點(diǎn)有公式.</p><p>　　這樣和有限差分法的情形相同, 對(duì)每一節(jié)點(diǎn)

45、可得到一個(gè)線性代數(shù)的方程, 最后得到關(guān)于節(jié)點(diǎn)上解的近似值的一個(gè)線性代數(shù)方程組. 此時(shí)這個(gè)線性代數(shù)方程組和有限差分法情形所得到的線性代數(shù)方程組是完全一樣的. 它有唯一的解, 且當(dāng)時(shí), 近似解收斂于原狄利克雷問(wèn)題的精確解.</p><p>　　3.3 有限元素法 (里茨法)</p><p><b>　　令</b></p><p>　　,

46、 （3.8）</p><p><b>　　及</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　若為調(diào)和方程狄利克雷問(wèn)題 (3.1) 的經(jīng)典解, 且使有限, 則在函數(shù)類中取極小, 即成立</p><p>　　.

47、 (3.9)</p><p>　　在上述變分問(wèn)題中, 將求泛函數(shù)極值的函數(shù)集合適當(dāng)擴(kuò)大為</p><p>　　. (3.10)</p><p><b>　　若函數(shù), 且滿足</b></p><p>　　, (

48、3.11)</p><p>　　則稱為狄利克雷問(wèn)題 (3.1) 的廣義解. 對(duì)變分問(wèn)題 (3.11) 進(jìn)行離散化, 就導(dǎo)致另一種數(shù)值求解方法, 稱為有限元素法. </p><p>　　3.4有限元素法 (伽遼金法)</p><p>　　與調(diào)和方程狄利克雷問(wèn)題 (3.1) 等階的變分問(wèn)題還有另一種形式. 先在且為有限的假設(shè)下考察解. 由于, 由使取到極小的性質(zhì), 對(duì)任

49、一給定的實(shí)數(shù), 任一給定的, 成了. </p><p><b>　　其中</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　注意到:</b></p><p>　　. (3.12)</p><p>　　且當(dāng)時(shí)它達(dá)

50、到極小值, 因此有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　從而對(duì)任何給定的, 成立</p><p>　　. (3.13)</p><p>　　反之, 若, 且對(duì)任何給定的成立（3.12）, 則必有（3.9）式成立.事實(shí)上, 對(duì)任何, 令, 由 (3.12

51、), (3.13) 式就有:</p><p><b>　　,</b></p><p>　　這就得到了 (3.9) 式. 據(jù)此, 我們可以定義廣義解如下: 若函數(shù) (由 (3.10)定義), 且對(duì)任何給定的滿足</p><p><b>　　其中</b></p><p>　　則稱狄利克雷問(wèn)題 (3.1)

52、 的廣義解. </p><p>　　考察將上述變分問(wèn)題進(jìn)行離散化的方法. 這種數(shù)值求解方法乃稱為有限元素法.為與上一段所敘述的里茨有限元素法相區(qū)別, 本段的方法稱為伽遼金法.</p><p>　　設(shè)為一個(gè)多角形區(qū)域, 并和上一段那樣進(jìn)行三角形有限元素分割. 考察解在內(nèi)節(jié)點(diǎn)的近似值.</p><p>　　由于 (3.13) 式中涉及兩個(gè)函數(shù)和, 為了將此式離散化, 除

53、了要求屬于前一段所定義的插值函數(shù)類以外, 還必須對(duì)試驗(yàn)函數(shù)作類似的處理. 由于, 最方便的方法就是對(duì)同一有限元素分割, 要求, 其中表示在邊界節(jié)點(diǎn)上取零值時(shí)所構(gòu)造的插值函數(shù)類. 由于在邊界節(jié)點(diǎn)上取零值, 是一個(gè)有限維的線性空間, 其維數(shù)仍等于內(nèi)節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù). 這樣, 就可以將 (3.13) 式近似地改為</p><p>　　, , 其中為中任意給定的元素. (3.14)</p><p

54、>　　對(duì)任何, 以表示在內(nèi)節(jié)點(diǎn)取值為1, 而在其余節(jié)點(diǎn)取值為零時(shí)所構(gòu)成的插值函數(shù). 顯然, ; 且對(duì)任何, 設(shè)其在內(nèi)節(jié)點(diǎn)分別取值, 則有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　因此, 是線性空間的一組基. 這樣, (3.14) 式就可以等階地改寫為</p><p><b>　　, .</b&

55、gt;</p><p>　　解出它, 就可以得到解在節(jié)點(diǎn)上的近似值.</p><p>　　由于兩種變分問(wèn)題的等價(jià)性, 而及又均用同一插值方式進(jìn)行插值, 用伽遼金法最后列出的計(jì)算格式和用里茨法列出的計(jì)算格式是完全相同的, 即此時(shí)這兩種數(shù)值求解的方法是相同的.</p><p><b>　　4 小結(jié)</b></p><p>　

56、　調(diào)和方程是偏微分方程的起點(diǎn), 也是偏微分方程的重要組成部分, 本文的目的是對(duì)調(diào)和方程進(jìn)行系統(tǒng)的分析和總結(jié). 介紹調(diào)和方程的導(dǎo)出, 性質(zhì)與數(shù)值解. 在討論正弦振動(dòng)方程, 熱傳導(dǎo)方程與拉普拉斯方程中都有重要的地位, 是二階線性偏微分方程的基石. 在數(shù)學(xué)物理中有廣泛的應(yīng)用. </p><p>　　常用的方法有變分法和有限差分法. 變分法是定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為變分問(wèn)題, 再求變分問(wèn)題的近似解; 有限差分法是把定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代

57、數(shù)方程, 然后用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算; 在數(shù)學(xué)上拉普拉斯方程的邊值問(wèn)題, 由于求解比較困難, 可作相應(yīng)的靜電場(chǎng)或恒電流場(chǎng)實(shí)驗(yàn)研究, 測(cè)定場(chǎng)中各處的電勢(shì), 從而也解決了所研究的穩(wěn)定溫度場(chǎng)中的溫度分布問(wèn)題.</p><p>　　隨著物理科學(xué)所研究的現(xiàn)象在廣度和深度兩方面的擴(kuò)展, 偏微分方程的應(yīng)用范圍更廣泛. 從數(shù)學(xué)自身的角度看, 偏微分方程的求解促使數(shù)學(xué)在函數(shù)論, 變分論, 級(jí)數(shù)展開(kāi), 常微分方程, 代數(shù), 微分幾何等各方

58、面進(jìn)行發(fā)展. 從這個(gè)角度說(shuō), 偏微分方程變成了數(shù)學(xué)的中心.</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　谷超豪, 李大潛, 陳怒行等. 數(shù)學(xué)物理方程[M]. 北京: 高等教育出版社, 2002</p><p>　　張?zhí)斓? 張希華, 王瑋. 偏微分方程差分格式的構(gòu)造[J]. 山東工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào), 1997, 26(2) :2

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