信息與計算科學(xué)畢業(yè)論文廣義積分的近似計算

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　　（20 屆）</b></p><p><b>　　廣義積分的近似計算</b></p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級

2、 信息與計算科學(xué) </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號 </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p><b>　　摘要<

3、;/b></p><p>　　隨著科學(xué)的日益發(fā)展, 在工程計算中會經(jīng)常遇到廣義積分的數(shù)值計算問題. 對于這類數(shù)值計算問題, 并沒有像定積分那樣有許多成熟的計算方法. </p><p>　　本文主要研究廣義積分近似值計算的幾種有效方法, 首先介紹了廣義積分的定義以及幾種常用的定積分?jǐn)?shù)值計算方法, 然后延伸拓展這些方法來解決廣義積分的數(shù)值近似計算問題. 最后分別用泰勒展開式法, 復(fù)化的中

4、點公式以及復(fù)化的Gauss求積公式對同一數(shù)值算例進行近似計算, 證明各方法的有效性以及比較各個方法的精確度. </p><p>　　關(guān)鍵詞: 廣義積分; 數(shù)值計算; 復(fù)化求積公式. </p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　With the increasing development of science i

5、n engineering calculations frequently encountered in numerical integration of the generalized problem. To this type of numerical problem, it hasn’t many sophisticated calculation methods as the definite integral. </p&

6、gt;<p>　　In this thesis, several effective numerical methods for generalized integration are presented. Definition of generalized integral, and some common numerical method for definite integral are given, and the

7、n the methods are extended to solve generalized integral. Numerical examples show that the methods are very effective. </p><p>　　Keywords: Generalized integration; Numerical calculation; Complex technology&l

8、t;/p><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　摘要I</b></p><p>　　AbstractII</p><p><b>　　1 前言1</b></p><p>　　2 廣義積分近似計算方法2</p>&

9、lt;p>　　2.1 廣義積分的定義2</p><p>　　2.2 常用的數(shù)值求積公式3</p><p>　　2.3 復(fù)化的數(shù)值求積公式6</p><p>　　3 廣義積分的幾種數(shù)值計算方法8</p><p>　　3.1 Taylor多項式法8</p><p>　　3.2復(fù)化的中點公式9</p&

10、gt;<p>　　3.3 復(fù)化Gauss-Legendre求積法10</p><p>　　4 幾種數(shù)值方法的比較12</p><p><b>　　5 小結(jié)15</b></p><p><b>　　參考文獻16</b></p><p><b>　　致謝17</b

11、></p><p><b>　　1 前言</b></p><p>　　求定積分是數(shù)學(xué)科學(xué)的中心課題之一, 主要途徑有兩條: 微積分學(xué)基本定理和數(shù)值積分. 我們知道, 若函數(shù)在上連續(xù), 且存在原函數(shù), 則可用微積分基本定理(Newton–Leibniz 公式)來求解定積分的值. Newton-Leibniz 公式無論在理論上還是在解決實際問題上都起了很大的作用,

12、但它并不能完全解決定積分的計算問題, 因為科學(xué)涉及的實際問題極為廣泛, 而且極其復(fù)雜. 在實際計算中經(jīng)常會遇到以下三種情況: (1) 大量被積函數(shù)并不一定能找到用初等函數(shù)的有限形式表示的原函數(shù); (2) 被積函數(shù)的原函數(shù)能用初等函數(shù)表示, 但積分后其表達式卻極為復(fù)雜; (3)被積函數(shù)沒有具體的解析表達式, 其函數(shù)關(guān)系常用測量數(shù)據(jù)表示. 對于這些情況, 計算積分的準(zhǔn)確值都是十分困難的. 由此, 通過微積分基本定理計算積分有它的局限性, 我

13、們需要用數(shù)值積分的解法來建立積分的計算問題. </p><p>　　隨著科學(xué)的日益發(fā)展, 利用定積分可以解決很多實際問題. 但是在近代物理等領(lǐng)域中常常會遇到廣義積分(積分區(qū)間無限或被積函數(shù)在積分區(qū)間端點有奇點的積分)的數(shù)值計算問題. 對于這類數(shù)值計算問題并沒有像正常定積分那樣有許多成熟的計算方法. 許多數(shù)學(xué)工作者提出了廣義積分計算新方法, 通過數(shù)值算例表明這些方法是有效的, 可以看作是對傳統(tǒng)的廣義積分計算方法的一

14、種推廣, 將在工程與科學(xué)計算方面有著重要地應(yīng)用. </p><p>　　1988年, 蔣和理在《無窮區(qū)間廣義積分優(yōu)化復(fù)化Simpson與梯形數(shù)值算法》中給出了無窮廣義積分的優(yōu)化復(fù)化Simpson與梯形數(shù)值積分算法. 該法免去了大量函數(shù)值的重復(fù)計算, 加速了積分收斂, 外推法有效提高了精度要求. 2002年, 陶詔靈在《一類廣義積分的算法及實現(xiàn)》中給出了樣條方法來求解Laplace積分, 運用重節(jié)點樣條進行擬合,

15、再引入差商, 給出一系列積分近似值的解析公式. 2008年, 郭德龍等在《基于進化策略的廣義積分計算方法研究》中根據(jù)被積函數(shù)的變量區(qū)間任意選取分割點, 通過進化策略算法優(yōu)化這些分割點, 然后求和, 在給定的終止條件下, 可獲的精度較高的積分值. </p><p>　　本文主要是研究廣義積分近似值的幾種有效算法, 并舉出具體的實例進行數(shù)值計算, 證明這些方法的有效性, 高效性以及積分對精度的高要求. 全文共分五章:

16、 第一章前言介紹廣義積分的研究背景及本文的主要工作. 第二章闡述了廣義積分的定義及常用的數(shù)值計算方法. 第三章闡述求解廣義積分近似值的有效方法. 第四章對同一數(shù)值算例進行近似計算, 證明各方法的有效性以及比較各個方法的精確度. </p><p>　　2 廣義積分近似計算方法</p><p><b>　　2.1廣義積分定義</b></p><p>

17、;　　定義2.1若函數(shù)在上Riemann可積, 并且極限</p><p>　　存在且等于有限值. 則稱該極限為函數(shù)定義在上的無窮積分. 記作</p><p><b>　　. </b></p><p>　　這時也稱廣義積分收斂. 如果上述極限不存在 函數(shù)在無窮區(qū)間上的廣義積分就沒有意義 此時稱廣義積分發(fā)散 </p><p>

18、;　　類似地 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù) 如果極限</p><p>　　存在 則稱此極限為函數(shù)在無窮區(qū)間( b ]上的廣義積分 即</p><p>　　這時稱廣義積分收斂??如果上述極限不存在 則稱廣義積分發(fā)散 </p><p>　　設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù) 如果廣義積分</p><p><b>　　和</b></p>

19、<p>　　都收斂 則稱上述兩個廣義積分的和為函數(shù)在無窮區(qū)間上的廣義積分 即</p><p>　　這時稱廣義積分收斂 如果上式右端有一個廣義積分發(fā)散 則稱廣義積分發(fā)散 </p><p>　　定義2.2設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù), 而在點的右鄰域內(nèi)無界, 對, 若</p><p>　　存在(有限值), 稱在上廣義可積. 記</p><p>　

20、　為在上的瑕積分, 是它的瑕點. 如果上述極限不存在 就稱廣義積分發(fā)散 </p><p>　　類似地 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù) 在點的左鄰域內(nèi)無界 取 若極限</p><p>　　存在 則稱此極限為函數(shù)在上的廣義積分 即</p><p>　　這時也稱廣義積分收斂 如果上述極限不存在 就稱廣義積分發(fā)散 </p><p>　　設(shè)函數(shù)在上除點外連續(xù) 而在

21、點的鄰域內(nèi)無界 如果</p><p><b>　　與</b></p><p>　　兩個廣義積分都收斂 則</p><p>　　否則 就稱廣義積分發(fā)散 </p><p>　　本文主要是針對瑕點在端點的這類廣義積分進行數(shù)值近似求解, 無窮廣義積分的近似值可以通過線性變換轉(zhuǎn)換為端點為瑕點的瑕積分來進行類似的逼近. </p

22、><p>　　2.2 常用的數(shù)值求積公式</p><p>　　在積分區(qū)間上取有限個點作的次插值多項式</p><p>　　其中求積系數(shù), 這里是插值積函數(shù), 即</p><p><b>　　. </b></p><p>　　用來近似代替被積函數(shù), 即有插值求積公式: </p><p

23、>　　. （2.1）</p><p>　　將積分區(qū)間分成等份, 每一個子區(qū)間的長度為, 從而得到個等距節(jié)點, 令進行變換, 有</p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　其中</b></p><p><b>　　. </b><

24、/p><p>　　由此構(gòu)造出的插值求積公式</p><p>　　稱為牛頓-柯特斯公式, 式中稱為柯特斯系數(shù). 柯特斯系數(shù)只與和有關(guān), 與被積函數(shù)和積分區(qū)間都無關(guān). </p><p>　　下面給出一階至五階的柯特斯系數(shù)表. </p><p><b>　　柯特斯系數(shù)表</b></p><p>　　下面根據(jù)

25、柯特斯系數(shù)表給出幾個常用的牛頓-柯特斯求積公式. </p><p>　　當(dāng)時, 每一個子區(qū)間的長度為, 得到兩個等距節(jié)點分別是區(qū)間的兩個端點與. 此時, 牛頓-柯特斯公式就是梯形公式, 即</p><p><b>　　. </b></p><p>　　當(dāng)時, 每一個子區(qū)間的長度為, 得到3個等距節(jié)點分別是區(qū)間的左端點、中點與右端點. 此時, 牛

26、頓-柯特斯公式就是辛普森公式. 即</p><p><b>　　. </b></p><p>　　當(dāng)時, 每一個子區(qū)間的長度為, 此時得到5個等距節(jié)點分別是</p><p>　　, 四階牛頓-柯特斯公式: </p><p>　　前面介紹的牛頓-柯特斯公式, 為了簡化計算,對插值公式中的節(jié)點限定為等分的節(jié)點, 這種方法雖然

27、簡便但求積公式的精度受到限制. 高斯求積公式是具有最高代數(shù)精度的插值求積公式, 而且收斂性和穩(wěn)定性都有保證. </p><p>　　定義2.3定義在區(qū)間上的函數(shù)如果滿足以下條件: </p><p>　　1. 在區(qū)間上, ; </p><p><b>　　2. ; </b></p><p><b>　　3. 存在

28、積分</b></p><p>　　則稱函數(shù)為上的權(quán)函數(shù). </p><p>　　在這里先考慮權(quán)函數(shù)和積分區(qū)間上的Gauss-Legendre求積問題. </p><p>　　定義2.4如果插值求積公式</p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　其中

29、</b></p><p><b>　　. </b></p><p>　　具有次代數(shù)精度, 則稱其為點高斯求積公式, 稱其節(jié)點為高斯點. </p><p>　　當(dāng)時, 有兩點高斯公式: </p><p><b>　　, </b></p><p>　　其高斯點為, 它

30、具有3次代數(shù)精度. </p><p>　　當(dāng)時, 有三點高斯公式: </p><p><b>　　, </b></p><p>　　其高斯點為, 它具有5次代數(shù)精度. </p><p>　　前面介紹了上的高斯求積公式, 怎么樣用此公式求呢? 作變換</p><p>　　將積分區(qū)間轉(zhuǎn)換為上的積分&l

31、t;/p><p><b>　　, </b></p><p>　　然后再用上的高斯求積公式計算. </p><p>　　2.3 復(fù)化的數(shù)值求積公式</p><p>　　梯形公式、辛普森公式、柯特斯公式在區(qū)間不太大時, 用來計算定積分是簡單實用的, 但由于時的牛頓-柯特斯求積公式開始出現(xiàn)負(fù)值的柯特斯系數(shù). 根據(jù)誤差理論的分析研究

32、, 積分公式出現(xiàn)負(fù)系數(shù)時, 可能導(dǎo)致舍入誤差增大, 因此不能用增加求積節(jié)點數(shù)的方法來提高計算精度, 實用的提高求積公式精度的方法是復(fù)化求積法. </p><p>　　將積分區(qū)間分成等份, 每一個子區(qū)間的長度為, 得到個結(jié)點為. 從而得到個小區(qū)間. 在每個小區(qū)間上分別用梯形公式、辛普森公式、柯特斯公式先求出每個子區(qū)間上的積分近似值, 然后將其結(jié)果累加起來作為區(qū)間上積分的近似值, 即可得到相應(yīng)的復(fù)化求積公式. <

33、;/p><p><b>　　復(fù)化梯形公式</b></p><p><b>　　. </b></p><p><b>　　復(fù)化辛普森公式</b></p><p>　　其中為小區(qū)間的中點. </p><p>　　復(fù)化牛頓-柯特斯公式</p><

34、;p><b>　　其中. </b></p><p>　　3 廣義積分的幾種數(shù)值方法</p><p>　　3.1 Taylor多項式法</p><p>　　因為在微積分中已經(jīng)證明左端點具有奇點的廣義積分收斂的充要條件是. 在此情況下, 定義</p><p><b>　　. </b></p&

35、gt;<p>　　如果函數(shù)可以寫成形如</p><p><b>　　,</b></p><p>　　其中, 在上連續(xù), 則廣義積分也存在. 假定, 可以用復(fù)合辛普森法則求這個積分的近似值. </p><p>　　對于關(guān)于點, 可以構(gòu)造4次Taylor多項式</p><p><b>　　則, 原積分

36、可寫成</b></p><p><b>　　, </b></p><p>　　因為是一個多項式, 所以可以精確地確定下式的值</p><p><b>　　（3.1）</b></p><p>　　當(dāng)和在整個區(qū)間上擬合得很好時, 這通常是近似值的主要部分. 為了逼近的積分, 需要將的值加到近

37、似中. 為了確定它的值, 定義</p><p>　　因為且與相等, 所以有. 可用復(fù)合辛普森法則求在上的積分近似值. 將此近似值與(3.1)式的值相加就可得到在上的廣義積分近似值, 且所得的近似值在復(fù)合辛普森法則近似的精確度內(nèi). </p><p>　　下面考慮右端點具有奇點的廣義積分, 作代換, 把廣義積分變成,</p><p>　　此積分在左端點具有奇點的廣義積分

38、可看作具有端點奇點的廣義積分的和, 因為</p><p><b>　　. </b></p><p>　　下面考慮無窮廣義積分, 它的基本形式為: 對有. 通過積分代換, , </p><p>　　無窮廣義積分轉(zhuǎn)換為具有左端點奇點0的積分: </p><p><b>　　. </b></p>

39、;<p>　　類似的, 變量代換將廣義積分轉(zhuǎn)換為具有左端點奇點0的積分: </p><p><b>　　.</b></p><p>　　此時, 就可以按前面介紹的計算瑕積分的方法來求積分近似值. </p><p>　　下面我們介紹的方法也主要是針對瑕積分的數(shù)值近似計算方法, 無窮積分的計算可以類似的通過轉(zhuǎn)換瑕積分進行計算. <

40、;/p><p>　　3.2 復(fù)化的中點公式</p><p>　　像梯形公式和辛普森公式這些方法在計算積分時需要積分區(qū)間端點的輸入值, 稱為閉的牛頓-柯特斯方法. 考慮到在積分區(qū)間端點有可去奇點的某些被積函數(shù)用不能用這些方法計算, 下面介紹開的牛頓-柯特斯方法來處理這些數(shù)值計算問題, 這種方法不需要端點的值. </p><p>　　將積分區(qū)間分成等份, 令, , 只把作為

41、求積節(jié)點, 這時有開的牛頓-柯特斯求積公式</p><p><b>　　. </b></p><p>　　當(dāng)時, 中點公式: </p><p><b>　　.</b></p><p>　　類似的, 可以運用復(fù)化求積的思想將中點公式推廣到復(fù)化中點求積公式. </p><p>　

42、　將積分區(qū)間分成等份, 得到個結(jié)點為, 在每個小區(qū)間上用中點公式先求出每個子區(qū)間上的積分近似值, 然后將其結(jié)果累加起來作為區(qū)間上積分的近似值, 即</p><p><b>　　. </b></p><p>　　其中小區(qū)間的中點為, 步長, 則復(fù)化的中點公式為</p><p><b>　　. </b></p>

43、<p>　　3.2 復(fù)化Gauss-Legendre求積法</p><p>　　盡管高斯求積公式是數(shù)值穩(wěn)定的, 但是我們一般不采用高階的高斯公式來獲取較高的精度. 因為在較高階的求積公式中, 其余項表達式中的高階導(dǎo)數(shù)難以估計, 甚至是無界的. 與復(fù)化的牛頓-柯特斯公式相仿, 我們采用復(fù)化的思想, 將積分區(qū)間分成若干個子區(qū)間, 在每一個子區(qū)間上用低階的Gauss求積公式先求出積分近似值, 然后將其結(jié)果累加

44、起來作為區(qū)間上積分的近似值, 并以此改進數(shù)值求積的精度. </p><p>　　這里仍是考慮權(quán)函數(shù)和積分區(qū)間上的Gauss-Legendre求積問題. </p><p>　　設(shè)是區(qū)間的一個劃分, 即有, 在每個小區(qū)間(其中是小區(qū)間的中點)上用Gauss-Legendre公式, 即得到: </p><p>　　復(fù)化兩點Gauss-Legendre公式</p>

45、;<p><b>　　, </b></p><p>　　具有四階收斂性, 它的余項為</p><p><b>　　. </b></p><p>　　復(fù)化三點Gauss-Legendre公式</p><p><b>　　, </b></p><p

46、>　　具有六階收斂性, 余項為</p><p><b>　　. </b></p><p>　　高斯公式, 特別是對于帶權(quán)的高斯公式常用于計算反常積分(積分區(qū)間無限或被積函數(shù)在積分區(qū)間端點有奇點的積分). 高斯公式的缺點是, 由于節(jié)點不等距使復(fù)化求積或用更高次高斯公式計算時不能利用前面節(jié)點的函數(shù)值, 計算過程比較麻煩. </p><p>　

47、　4 幾種數(shù)值方法的比較</p><p><b>　　例 計算積分</b></p><p>　　的近似值. 該積分的精確解為2.925303490936058; </p><p>　　方法1 泰勒展開式法 </p><p>　　因為對在時有4階Taylor展開式</p><p><b>

48、　　, </b></p><p><b>　　. </b></p><p>　　表4.1 復(fù)化梯形法的相應(yīng)結(jié)果</p><p>　　表4.1－4.2 給出了復(fù)化梯形法、復(fù)化辛普森法計算積分近似值的結(jié)果. </p><p>　　表4.2 復(fù)化辛普森法的相應(yīng)結(jié)果</p><p>　　方法2

49、 復(fù)化中點公式</p><p>　　表4.3 復(fù)化中點公式的相應(yīng)結(jié)果</p><p>　　方法3 復(fù)化的Gauss-Legendre求積法</p><p>　　表4.4 復(fù)化兩點Gauss-Legendre求積相應(yīng)結(jié)果</p><p>　　其中, 作變換, 則, 則</p><p><b>　　, </

50、b></p><p>　　表4.5 復(fù)化三點Gauss-Legendre求積相應(yīng)結(jié)果</p><p><b>　　數(shù)值結(jié)果表明 </b></p><p>　　1. 通過matlab程序進行數(shù)值計算, 得到的結(jié)果的絕對誤差比值都大于1, 證明這些方法都是有效的. </p><p>　　2. 數(shù)值結(jié)果顯示后面的復(fù)化方法

51、得出的絕對誤差比都接近1.4, 而正常的積分值的絕對誤差比是4, 這是因為廣義積分的瑕點達不到定積分的精確度. </p><p>　　3. 比較這三種方法的計算結(jié)果, 泰勒展開式法的絕對誤差比值最大, 表明其收斂速度最快,精確度更高. </p><p><b>　　5 小結(jié)</b></p><p>　　對于工程計算中, 尤其是在近代物理等領(lǐng)域中

52、會經(jīng)常遇到的廣義積分這類數(shù)值計算問題沒有像正常定積分那樣, 有許多成熟的計算方法, 特別是被積函數(shù)有瑕點, 積分區(qū)間無窮的這一類廣義可積積分計算問題. 許多數(shù)學(xué)工作者提出了廣義積分計算新方法, 并通過數(shù)值算例, 表明了這些方法是可行和有效的, 可以看作是對傳統(tǒng)的廣義積分計算方法的一種推廣, 將在工程與科學(xué)計算方面有著重要地應(yīng)用. </p><p>　　文主要研究廣義積分近似值計算的幾種有效方法, 首先介紹了廣義積

53、分的定義以及幾種常用的定積分?jǐn)?shù)值計算方法, 然后延伸拓展這些方法, 探討了泰勒展開式法, 復(fù)化的中點公式以及復(fù)化的Gauss-Legendre求積法求解廣義積分近似值的方法, 最后分別用這些方法對同一數(shù)值算例進行近似計算, 證明方法的有效性以及比較各個方法的精確度. </p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　蔣和理. 無窮區(qū)間廣義積分優(yōu)化復(fù)化

54、Simpson與梯形數(shù)值算法 [J]. 合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報, 1988, 11(1): 99-108. </p><p>　　陶詔靈. 一類廣義積分的算法及實現(xiàn) [J]. 南京氣象學(xué)院學(xué)報, 2002, 25(1): 100-104. </p><p>　　張榮. 用攝動方法求一類廣義振蕩積分的值 [J]. 大學(xué)數(shù)學(xué), 2003, 19(06): 114-116. </p>&

55、lt;p>　　莫平華. 一階貝塞爾函數(shù)廣義積分的數(shù)值計算 [J]. 數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用, 2007, 27(1): 65-67. </p><p>　　郭德龍, 周永權(quán). 基于進化策略的廣義積分計算方法研究 [J]. 計算機工程與設(shè)計, 2008, 29(19): 5026-5028. </p><p>　　馬東升 雷勇軍. 數(shù)值計算方法(第二版) [M]. 北京: 機械工業(yè)出版社, 2

56、006.9. </p><p>　　張軍. 數(shù)值計算 [M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2008.7. </p><p>　　張池平, 施云慧. 計算方法 [M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2002. </p><p>　　顏慶津. 數(shù)值分析 [M]. 北京: 北京航空航天大學(xué)出版社, 2006.7. </p><p>　　T. Sauer.

57、 Numerical Analysis [M]. 北京: 人民郵電出版社, 2010. </p><p>　　R. Burden, J. Douglas Faires. Numerical Analysis [M]. Beijing: Higher Education Press, 2001. </p><p><b>　　附件: </b></p>&l

58、t;p>　?。ビ脧?fù)化梯形公式，復(fù)化辛普森公式求的值. </p><p>　　%編寫主程序調(diào)用這三個函數(shù), 主程序名為wu_fun1.m, 程序如下: </p><p>　　function y=wu_fun1(x)</p><p>　　p=1+x+x*x/2+x^3/6+x^4/24;</p><p>　　y=(exp(x)-p)/sq

59、rt(x);</p><p><b>　　%復(fù)化梯形公式：</b></p><p><b>　　a=0;</b></p><p><b>　　b=1;</b></p><p>　　exact= 2.925305050802705;</p><p><

60、;b>　　N=5;</b></p><p>　　appro=zeros(1,7);</p><p><b>　　for j=1:7</b></p><p>　　h=(b-a)/N; </p><p><b>　　x2=a+h;</b></p><p>　　s

61、=h*wu_fun1(x2)/2;</p><p><b>　　s</b></p><p>　　for i=2:N </p><p><b>　　x1=a+i*h;</b></p><p><b>　　x2=x1-h;</b></p><p>

62、　　s=s+h*(wu_fun1(x1)+wu_fun1(x2))/2;</p><p><b>　　end</b></p><p>　　s=s+2.923544973544970</p><p>　　appro(j)=abs(s+2.923544973544970-exact);</p><p><b>　　

63、N=2*N;</b></p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　appro</b></p><p>　　ratio=appro(1:6)./appro(2:7);</p><p><b>　　ratio</b></p>&

64、lt;p><b>　　%復(fù)化辛普森公式</b></p><p><b>　　a=0;</b></p><p><b>　　b=1;</b></p><p>　　exact=2.925303490936058;</p><p><b>　　N=5;</b&g

65、t;</p><p>　　appro=zeros(1,7);</p><p><b>　　for j=1:7</b></p><p>　　h=(b-a)/N; </p><p><b>　　x2=a+h;</b></p><p><b>　　x1=a+h/2;<

66、;/b></p><p>　　s=h*(wu_fun1(x2)+4*wu_fun1(x1))/6; </p><p>　　for i=2:N </p><p><b>　　x1=a+i*h;</b></p><p><b>　　x2=x1-h;</b></p>&

67、lt;p>　　x=(x1+x2)/2;</p><p>　　s=s+h*(wu_fun1(x1)+4*wu_fun1(x)+wu_fun1(x2))/6;</p><p><b>　　end</b></p><p>　　s=s+2.923544973544970</p><p>　　appro(j)=abs(s+2

68、.923544973544970-exact);</p><p><b>　　N=2*N;</b></p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　appro</b></p><p>　　ratio=appro(1:6)./appro(2:7);<

69、/p><p><b>　　ratio</b></p><p>　　%編寫主程序調(diào)用這三個函數(shù), 主程序名為wu_fun. m, 源程序如下: </p><p>　　%wu_fun. m</p><p>　　Function y=wu_fun(x)</p><p>　　y=exp(x)/sqrt(x);

70、</p><p><b>　?。?fù)化中點公式</b></p><p><b>　　a=0;</b></p><p><b>　　b=1;</b></p><p>　　exact=2.925303490936058;</p><p><b>　　

71、N=5;</b></p><p>　　appro=zeros(1,7);</p><p><b>　　for j=1:7</b></p><p>　　h=(b-a)/N;</p><p><b>　　s=0;</b></p><p><b>　　for

72、i=1:N</b></p><p>　　x=a+(2*i-1)*h/2;</p><p>　　s=s+h*wu_fun(x);</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　s</b></p><p>　　appro(j)=abs(s-e

73、xact);</p><p><b>　　N=2*N;</b></p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　appro</b></p><p>　　ratio=appro(1:6)./appro(2:7);</p><p>&

74、lt;b>　　ratio</b></p><p>　　%復(fù)化的兩點高斯公式</p><p><b>　　a=0;</b></p><p><b>　　b=1;</b></p><p>　　exact=2.925303490936058; </p><p>&

75、lt;b>　　N=5;</b></p><p>　　appro=zeros(1,7);</p><p><b>　　for j=1:7</b></p><p>　　h=(b-a)/N;</p><p><b>　　s=0;</b></p><p>　　for

76、 i=1:N </p><p>　　x=a+(2*i-1)*h/2;</p><p>　　x1=x+h/2/sqrt(3);</p><p>　　x2=x-h/2/sqrt(3);</p><p>　　s=s+h*(wu_fun(x1)+wu_fun(x2))/2;</p><p><b>　　

77、end</b></p><p><b>　　s</b></p><p>　　appro(j)=abs(s-exact);</p><p><b>　　N=2*N;</b></p><p><b>　　end</b></p><p><b

78、>　　appro</b></p><p>　　ratio=appro(1:6)./appro(2:7);</p><p><b>　　ratio</b></p><p>　　％復(fù)化的三點高斯公式</p><p><b>　　a=0;</b></p><p>

79、<b>　　b=1;</b></p><p>　　exact=2.925303490936058;</p><p><b>　　N=5;</b></p><p>　　appro=zeros(1,7);</p><p><b>　　for j=1:7</b></p>

80、<p>　　h=(b-a)/N;</p><p><b>　　s=0;</b></p><p>　　for i=1:N </p><p>　　x=a+(2*i-1)*h/2;</p><p>　　x1=x+h*sqrt(3/5)/2;</p><p>　　x2=x-h*s

81、qrt(3/5)/2;</p><p>　　s=s+h*(wu_fun(x1)*0.555555556+wu_fun(x2)*0.555555556+wu_fun(x)*0.888888889)/2;</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　s</b></p><p>

82、;　　appro(j)=abs(s-exact);</p><p><b>　　N=2*N;</b></p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　appro</b></p><p>　　ratio=appro(1:6)./appro(2:7);<