淺談中學數(shù)學中最值的求解-畢業(yè)論文最終定稿

1、<p>　　ANSHUN UNIVERSITY</p><p>　　本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）</p><p>　?。?009～2013年）</p><p>　　題 目： 淺談中學數(shù)學中最值的求解 </p><p>　　系 別： 數(shù)學與計算機科學系

2、 </p><p>　　專業(yè)班級： 數(shù)學與應用數(shù)學2009級 </p><p>　　學生姓名： 陳 華 學號： 200902014062 </p><p>　　指導教師： 李 俊 職稱： 講 師 </p><p>　　起訖日

3、期： 2012.9.1～2013.4.19 </p><p><b>　　安 順 學 院</b></p><p>　　本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）原創(chuàng)性申明</p><p>　　本人鄭重申明：所呈交的論文（設(shè)計）是本人在導師的指導下獨立進行研究所取得的研究成果。除了文中特別加以標注引用的內(nèi)容外，本論文（

4、設(shè)計）不包含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫的成果。對本文的研究作出重要貢獻的個人和集體，均已在文中以明確方式表明。本人完全意識到本申明的法律后果由本人承擔。</p><p>　　作者簽名： 日期：</p><p>　　本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）版權(quán)使用授權(quán)書</p><p>　　本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）作者完全了解學校有關(guān)保留

5、、本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）的規(guī)定，同意學校保留并向國家有關(guān)部門或機構(gòu)送交論文的復印件和電子版，允許論文被查閱和借閱。本人授權(quán)安順學院可以將本論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復制手段保存和匯編本本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）。</p><p>　　作者簽名： 日期：</p><p>　　導師簽名：

6、 日期：</p><p>　　淺談中學數(shù)學中最值的求解</p><p>　　專業(yè)：數(shù)學與應用數(shù)學 學號：200902014062</p><p>　　姓名：陳 華 指導教師：李 俊</p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　

7、最值的求解問題貫穿于我們整個中學數(shù)學的始終，它遍及代數(shù)、三角及解析幾何各科之中，幾乎每一個章節(jié)都會或多或少的牽扯到最值問題，加之最值問題又與我們的實際生活聯(lián)系密切，在生活生產(chǎn)實踐中也有廣泛的應用。不僅如此，最值問題就像一條紐帶，將中學數(shù)學知識聯(lián)系在一起，而且研究最值問題能夠開發(fā)我們的思維，鍛煉我們的能力和提高我們的數(shù)學素養(yǎng)，在函數(shù)，解析幾何，圓錐曲線，向量問題中均離不開最值問題的討論，可以說最值問題就是數(shù)學的生命線，研究最值問題具有很大

8、的實際意義。因此，本文主要圍繞以上幾個方面，對求解最值問題的一些基本的和常用的方法進行初步的探討，以及對解題思路和方法進行簡單的歸納總結(jié)，以方便初學者更好的掌握。關(guān)鍵詞：最值 歸納 求解 中學數(shù)學</p><p>　　Introduction to the most value in the middle school mathematics to solve </p>&l

9、t;p>　　The most value throughout the entire middle school mathematics has always been, throughout the algebra, trigonometry, solid geometry, and analytic geometrysubjects into almost every chapter involve the most valu

10、e can be more or less, combined with the most value problemvery close contact with our real life, widely used in the production practice, for this reason, the most value problem has always been all kinds of hot exam, onl

11、y that, like the main line of the most value, secondary mathematics k</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　第一章 引言1</b></p><p>　　第二章 最值求解的方法歸類2</p><p

12、>　　2.1 判別式法2</p><p><b>　　2.2 配方法4</b></p><p>　　2.3 函數(shù)單調(diào)性法5</p><p>　　2.4 三角函數(shù)法5</p><p>　　2.5 換元法7</p><p>　　2.6 數(shù)形結(jié)合法8</p><

13、p>　　2.7 均值不等式法9</p><p><b>　　2.8 導數(shù)法9</b></p><p>　　2.9 觀察法10</p><p><b>　　結(jié)束語11</b></p><p><b>　　參考文獻12</b></p><p>

14、;<b>　　致謝13</b></p><p><b>　　引 言 </b></p><p>　　最值求解問題之所以歷來被中、高考所青睞，不單是因為它與我們實際生活的密切相關(guān)，更是因為求解最值能夠開發(fā)我們的思維，對于認識事物本質(zhì)能力的培養(yǎng)有著重大的現(xiàn)實意義。在中學數(shù)學中，最值問題涉及面廣，像函數(shù)（三角函數(shù)，二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪

15、函數(shù)）、不等式、向量、解析幾何、圓錐曲線中都能找到最值問題，求解最值問題的方法很多，但是我們必須掌握的方法主要有以下幾種：均值不等式法、單調(diào)性法、配方法、換元法、三角函數(shù)法，數(shù)形結(jié)合法，導數(shù)法，判別式法，觀察法，問題多，方法也多是求解最值問題的重點和難點，本文主要對最值問題的常用方法和一般技能進行簡單的歸類整理。</p><p>　　第二章 最值求解的方法歸類</p><p>　　2

16、.1 判別式法　 一、判別式法求值域的理論依據(jù)。</p><p>　　例1：求函數(shù)的值域。</p><p>　　像這種分子、分母的最高次為2次的分式函數(shù)可以考慮用判別式法求值域。</p><p><b>　　解：由得：</b></p><p>　　（y-1）x2+(1-y)x+y=0

17、 ①</p><p>　　上式中顯然y≠1,故①式是關(guān)于x的一元二次方程</p><p>　　為什么可以這樣做？即為什么△≥0，解得y的范圍就是原函數(shù)的值域？</p><p>　　我們可以設(shè)計以下問題讓學生回答：</p><p>　　當x=1時，y=? (0) 反過來當y=0時，x=?（1）</p><p>

18、　　當x=2時，y=? () 當y=時，x=?（2）</p><p>　　以上y的取值，對應x的值都可以取到，為什么？</p><p>　?。ㄒ驗閷=0和y=代入方程①，方程的△≥0）</p><p>　　當y=-1時，x=? </p><p>　　當y=2時，x=? </p><p>　　以

19、上兩個y的值x都求不到，為什么求不到？</p><p>　　（因為將y的值代入方程①式中△<0,所以無解）</p><p>　　當y在什么范圍內(nèi)，可以求出對應的x值？</p><p><b>　　函數(shù)的值域怎樣求？</b></p><p>　　若將以上問題弄清楚了，也就理解了判別式求值域的理論依據(jù)。</p&g

20、t;<p>　　二、判別式法求值域的適用范圍。</p><p>　　前面已經(jīng)談到分子、分母的最高次為2次的分式函數(shù)可以考慮用判別式法求值域。是不是所有這種類函數(shù)都可以用判別式法求值域？</p><p><b>　　例2:求的值域</b></p><p>　　從表面上看，此題可以用判別式法求值域。</p><p&

21、gt;　　由原函數(shù)得：（y-3）x2+2x+(1-y)=0</p><p>　　=4-4（y-3）(1-y)≥0</p><p>　　即（y-2）2≥0 ∴y∈R</p><p>　　但事實上，當y=3時，可解得x=1, 而x=1時，原函數(shù)沒意義。問題出在哪里呢？</p><p>　　我們仔細觀察一下就會發(fā)現(xiàn)，此函數(shù)的分子分母均

22、含有因式（x-1）,因此原函數(shù)可以化簡為，用反函數(shù)法可求得，又x≠1代入可得y≠2，故可求得原函數(shù)的值域為。</p><p>　　因此，當函數(shù)為分子、分母的最高次為2次的分式函數(shù)，但分子分母有公因式可約分時，此時不能用用判別式法做，應先約分，再用反函數(shù)法求其值域。特別值得注意的是約分后的函數(shù)的定義域，如上例中化簡后的函數(shù)x≠1，故y≠2。</p><p>　　例3：求函數(shù)的值域。</

23、p><p>　　此函數(shù)為分子、分母的最高次為2次的分式函數(shù)，且分子分母無公因式，可不可以用判別式法來求值域呢？</p><p>　　由得：3yx2+(2y-1)x+y+5=0</p><p>　　1）當3y=0，即y=0時，可解得x=5，故y可以取到0</p><p>　　2）當3y≠0時，令△=(2y-1)2－4×3y (y+5)≥0

24、</p><p><b>　　解得：</b></p><p>　　由1）、2）可得原函數(shù)的值域為</p><p>　　上面求得的值域?qū)Σ粚δ兀匡@然y=在所求得的值域范圍內(nèi)，但當y=時，可求得x=2，故了限定了自變量x的取值范圍的函數(shù)不能用判別式法求值域。</p><p>　　此題可用導數(shù)法求得原函數(shù)在區(qū)間[3，5]內(nèi)單調(diào)

25、遞增，故函數(shù)的定義域為。</p><p>　　綜上所述，函數(shù)必須同時滿足以下幾個條件才可以用判別式法求其值域：</p><p>　　分子分母的最高次為二次的分式函數(shù)；</p><p><b>　　分子分母無公約數(shù)；</b></p><p>　　未限定自變量的取值范圍。</p><p>　　最后需要

26、說明的是用判別式求值域時，第一步將函數(shù)變?yōu)檎降男问剑诙揭欢ㄒ醋冃魏蟮亩雾棧▁2項）系數(shù)是否含有y，若含有y，則要分二次項系數(shù)為零和不為零兩種情況進行討論。</p><p>　　2.2 配方法 這種方法主要用于解決形如的二次函數(shù)值域問題，以及可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的函數(shù)的最值問題，是求最值問題中最基本的方法，往往很多求最值問題可以轉(zhuǎn)化成配方法求最值，但是利用此種方法求解最值時需要注意以下幾點：一是要注意

27、函數(shù)的定義域；二是要注意對稱軸與定義域的相對位置關(guān)系；三是注意函數(shù)是否過某個特殊點；找到之后可以減少討論，使問題變得簡單。</p><p>　　下面舉個簡單的例子來介紹配方法的具體操作過程。</p><p>　　例4：已知函數(shù)x2-x2(n∈R,n≠0)，求函數(shù)y的最小值。</p><p>　　分析:聯(lián)系二次函數(shù)的形式，我們可以將函數(shù)表達式按x-x配方,轉(zhuǎn)化為關(guān)于變

28、量x-x的一個二次函數(shù)。</p><p>　　解：y=(x)2+(-x)2=(x-x)2-2n(x-x)+22-2,　　令k=x-x,f(k)=k2-2nk+2n2-2，　　∵k≥2,∴f(k)=k2-2nk+2n2-2=(k-n)2+n2-2的定義域[2,∞),∵拋物線y=f(k)的對稱軸為k=n,　　∴當n≤2且n≠0時,y=f(2)=2(n-1)2 ;當n>2時,y=f(n)=n2-2．　

29、 在這里，就必須注意對稱軸與函數(shù)定義域的位置關(guān)系，當定義域在對稱軸的左邊時，由于此時函數(shù)為減函數(shù)，所以是在靠近對稱軸處取得最小值；而當定義域在對稱軸的右邊時，函數(shù)為增函數(shù)，因此是在遠離對稱軸處取得最大值。</p><p>　　2.3 函數(shù)的單調(diào)性法 這種方法需要先判明函數(shù)給定區(qū)間上的單調(diào)性,然后根據(jù)單調(diào)性來求解函數(shù)的最值。</p><p>　　例5：已知函數(shù)f(x)定義域為R,

30、對任意的x1,x2∈R都有 ：f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)且x>0時f(x)<0,f(1)=-2，試判斷在區(qū)間[-3,3] 上f(x)是否有最大值和最小值?并說明理由。</p><p>　　解:　令x1=x2=0,則f(0)=f(0)+f(0)=2f(0) ∴f(0)=0, 令x1=x, x2=-x則有f(x)+f(-x)= f(0) 即f(x)+f(-x)=0 ∴f(x)=-f(-x),

31、 因此f(x)為奇函數(shù).設(shè)x1,x2∈R,且x1<x2,則x2-x1>0, </p><p>　　∴f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,</p><p>　　∴ f(x2)<f(x1),∴f(x)在R上為減函數(shù).</p><p>　　又f(1)=-2,∴f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=3f(1

32、)=-6,f(-3)=-f(3)=6</p><p>　　又f(x)在[-3,3]上為減函數(shù),故當x=-3時,f(x)max=f(-3)=6,當x=3時,f(x)min=f(3)=-6</p><p>　　注意：解題時注意綜合應用圖像，表格等輔助分析函數(shù)的變化趨勢，對含有待定系數(shù)的，在求最值時要注意分類討論，同時注意運用逆向思維，結(jié)合已知條件，建立出關(guān)于未知系數(shù)的方程。</p>

33、<p>　　2.4 三角函數(shù)法2.4.1根據(jù)三角函數(shù)的有界性這一性質(zhì)，許多三角函數(shù)的最值問題可以轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù)進行求解。 例6：求函數(shù)的最小值。 解：由已知變形得： -y=-4y-3所以</p><p><b>　　由于，得：</b></p><p>　　所以原式的最小值是-1。</p><p>　　運用三角函

34、數(shù)的有界性求解最值是極其方便的，對于適合的函數(shù)，只需要作一下適當?shù)淖冃危憧衫糜^察法結(jié)合函數(shù)有界性得出答案，不失為一種求解最值的好方法。</p><p>　　2.4.2 對形如(或)型的函數(shù)</p><p>　　基本思路：直接利用三角函數(shù)的有界性進行求解，但同時須注意字母a的符號對最值的影響,要對字母a進行分類討論。 例7：求函數(shù)y=2sinx+3的最大值。 解：由于(-1

35、,1),所以可利用其有界性 ，且a=2>0 ，從而函數(shù) y=2sinx+3的最大值為21+3，即為5。</p><p>　　2.4.3 對形如y=或（y=）的函數(shù)</p><p>　　基本思路：可利用分離常數(shù)法或∣∣1去求解。 例8：求函數(shù)y= 的最大值。</p><p>　　解：由原函數(shù)變形得到y(tǒng)==-1.</p>&l

36、t;p>　　-11,12-3, y=3</p><p>　　例9：求函數(shù)的最值。 </p><p><b>　　解：設(shè)，則</b></p><p><b>　　因此， </b></p><p><b>　　2.5 換元法</b></p><p>　

37、　2.5.1 三角代換</p><p>　　我們可利用三角代換巧妙地求解某些函數(shù)的最值。并且在作代換時，可根據(jù)不同的函數(shù)解析式作相應的代換。</p><p>　　例如： ＋=（a＞0），可令； 又如：（a＞0），可令（）； 對，我們可令等等。</p><p>　　例10：求函數(shù)的最值。 </p><p><b>　　解：設(shè)，則

38、=cos</b></p><p><b>　　∴∈[]</b></p><p>　　∵，∴取x最小值0時，y=1.</p><p><b>　　故.</b></p><p>　　2.5.2 直接代換</p><p>　　例11 ： 求函數(shù)的最值。 </p&

39、gt;<p><b>　　解：設(shè)，則</b></p><p><b>　　因此， </b></p><p>　　此處，雖然不是x的二次函數(shù)，但是通過換元之后可以轉(zhuǎn)化為t的二次函數(shù)，再按照二次函數(shù)求解最值的方法求其最值。但應注意換元后新變量的取值范圍，對不在定義域范圍的部分應當剔除。 </p><p>　　小結(jié)

40、：由于事物的質(zhì)和量是由多種因素綜合決定的，改變其中的每一因素都可能產(chǎn)生新的思路，在求解數(shù)學問題中，使用“多種換元法”解題，可以使問題化繁為簡，更容易堅決。換元思想方法在數(shù)學解題中有著不可低估的作用?？偨Y(jié)解題的規(guī)律和技巧，強化思維訓練，這對提高我們分析問題、解決問題的能力將是十分有益的，并且能全面提高學生素質(zhì)，培養(yǎng)和提高我們的創(chuàng)造能力。因此，我們更有必要對數(shù)學方法進行再認識，全面提高數(shù)學綜合能力。</p><p>

41、<b>　　數(shù)形結(jié)合法</b></p><p>　　這種方法是將抽象的函數(shù)解析式賦予一定的幾何意義，把數(shù)量之間的關(guān)系用幾何圖形展現(xiàn)出來，既而實現(xiàn)數(shù)與圖信息的整合與轉(zhuǎn)化，換句話說就是把代數(shù)的問題用幾何的方法來解決，使得問題的求解變得簡便，在解決最值問題時，這種方法的作用是非常巨大的，我們來看一下下面的例子。</p><p>　　例12：已知實數(shù)滿足等式，求</p

42、><p><b>　　的最值。</b></p><p><b>　　圖1</b></p><p>　　解：如圖1，如果把等式看成圓的一般式，那么就有點（x,y）在圓上，那么表示該點與原點連線的斜率.由于圓位于第一象限，若過原點作圓的兩切線OA、OB（A，B為切點），則的最值分別是直線OA、OB的斜率.　　　　　　 </p

43、><p>　　解：設(shè)=k，即y=，∴。</p><p>　　整理為 ：,解得,∴,.</p><p>　　例13：求函數(shù)的最小值。</p><p>　　解：∵原式可轉(zhuǎn)化為求的最小值 ，所以它等價于“求動點P(x,y)到A(-1,0),B(1,0)距離之和的最小值”，即的最小值。</p><p>　　∵，當且僅當P在線段AB

44、上時，等號成立。故的最小值為.即原函數(shù)的最小值為2。</p><p>　　其實利用數(shù)形結(jié)合法求解最值的實質(zhì)，就是要我們將代數(shù)問題幾何化，使得許多抽象的問題變得直觀和形象起來，解決起來得心應手，確為一種好的最值求解方法。</p><p>　　2.7 均值不等式法 利用均值（基本）不等式求最值是歷年高考的熱點內(nèi)容之一，也是重點。但在利用均值不等式求最值時必須其前提條件，具體可概括為“一正

45、、二定、三相等”。當這些條件不完全具備時，就需要一定的技巧，特別是湊“定和”或“定積”的技巧，使其具備，下面談談常見的湊”定和”或“定積”的技巧。</p><p>　　例14： 求函數(shù)f（x）=x2+2x+的最值。</p><p>　　解：由題目易知函數(shù)定義域為≠-1，</p><p>　　∵f(x)=x2+2x+-1=，∴當，</p><p&g

46、t;<b>　　即時，有。</b></p><p>　　需要指出的是，在利用均值不等式法求解時，必須注意應用大前提，即所謂“一正、二定、三相等”，如若找不出使等號成立的x的值，那么此方法就無效，應改用其他方法。</p><p>　　2.8 導數(shù)法　　設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)且在(a,b)上可導,則f(x)在[a,b]上的最大值和最小值應在f(x)在(a,b)

47、內(nèi)的各極值和兩端點值中尋找。 例15：已知P（x,y)是拋物線y=x2-2x-1上的動點,o為原點,且op2當x=2時取得極小值,求op2的最小值?！　〗? op2=x2+y2= x2+( x2-2x-1)2=x4-4x3+3x2+4x+1</p><p>　　令c= x4-4x3+3x2+4x+1,則</p><p>　　f(x)=4x3-12x2+6x+4=4(x-2)(x-

48、)(x-),</p><p>　　令f(x)=0得:x=2, , </p><p><b>　　表一:</b></p><p>　　因為f(x)的定義域為(-∞, +∞),所以所求最小值為兩個極小值中較小的那一個,比較f()=f(2)=5,得出f(x)的最小值即op2的最小值，為。    </p>

49、<p><b>　　2.9 觀察法</b></p><p>　　在有些時候，我們遇到的函數(shù)可能會比較簡單，這時只需將已知函數(shù)的解析式作適當變形后，就可以很容易地觀察出函數(shù)的最值，此謂之觀察法，它比較適用于一些簡單的函數(shù)，這里簡單的提一下。</p><p><b>　　如：函數(shù)。</b></p><p><

50、b>　　∵此函數(shù)可化為：</b></p><p>　　∴可明顯觀察得出：當x=3時，；當x=1時，。</p><p><b>　　結(jié)束語</b></p><p>　　本文主要從常用的判別式法，配方法，函數(shù)單調(diào)性法，三角函數(shù)法，換元法,數(shù)形結(jié)合法,均值不等式，導數(shù)法以及觀察法等對最值問題的求解進行了探討，每種方法不是萬能的也不是

51、絕對的，在遇到較復雜的問題時，我們要將幾種方法結(jié)合起來用，做到具體問題具體分析,同時，在解題時還應注意一些小細節(jié)，以免出現(xiàn)錯誤。</p><p>　　如在例2中，由于在求解的過程中歷經(jīng)了平方的變形，從而使x的取值范圍擴大了,因此在利用判別式法求出y的范圍后，還得結(jié)合函數(shù)的定義域,將擴大的部分剔除（可將端點值代入檢驗），以免求出的最值不在原函數(shù)的取值范圍之內(nèi)，造成錯解。</p><p>　　

52、利用配方法求最值時要注意以下幾點：一是要注意函數(shù)的定義域；二是注意對稱軸與定義域的相對位置關(guān)系；三是注意函數(shù)是否過某個特殊點，找到之后可以減少討論，使問題變得簡單。</p><p>　　在利用換元法求解最值時，應注意換元后新變量的取值范圍，對不在定義域范圍的部分應當剔除。在運用重要不等式求函數(shù)的最值時一定要注意不等式成立的條件，包括等號成立的條件。</p><p>　　還有在利用均值不等式

53、求最值時，一定要注意其前提條件：“一正、二定、三相等”。當這些條件不完全具備時，就需要一定的技巧，特別是湊“定和”或“定積”的技巧，使其具備。如若找不出使等號成立的x的值，則此法無效，應改用其他方法。</p><p>　　總之，無論哪種方法都有自己的妙處，同時也有自己的局限 性，要善于靈活掌握，就需要把握住題目的特點與每一種方法的特點。遇到題目，要學會分析題目，從而抓準解決問題的關(guān)鍵。 </p>

54、<p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] 丁一，張建.中學教材全解[m].陜西人民教育出版社，2007:198-204.[2] 張劍，王莉.中學第二教材[m].延邊大學出版社，2007:67-73.</p><p>　　[3] 劉建中，《均值不等式在求函數(shù)最值中的應用》，中國校外教育期刊， 2012-03-10.</p&

55、gt;<p>　　[4] 尹玉柱.高中導學練[m].中國石油大學出版社，2009:63-65.[5] 林超群 .《三角函數(shù)最值問題的若干解法》，考試周刊，2011-08-23.[6] 劉文治.教材解析[m].中國少年兒童出版社，2008：89-93. [7] 陳榮爛. 《高中數(shù)學最值問題的研究》。蘇州大學出版社，2010-09-01.</p><p>　　[8] 石立坤，趙春梅.教材精析

56、精練[m].人民教育出版社，2009：45-48.</p><p>　　[9] 劉研妮，《函數(shù)最值常用的幾種方法》，科技創(chuàng)新與應用期刊，2012-04-08.</p><p>　　[10] 崔開文.教材全解[m].延邊人民出版社，2006:277-281.</p><p>　　[11] 代昆鵬.《三角函數(shù)最值問題的討論》，考試周刊，2010-08-27.</p

57、><p>　　[12] 汪純中.《利用函數(shù)單調(diào)性求最值》，數(shù)學教學期刊，2007-07-12.</p><p>　　[13] 童友金.《淺談數(shù)學最值方法》，科技信息期刊，2010-07-15.</p><p>　　[14] 楊素云.《高中生對均值不等式的理解》，華東師大出版社，2010-05-01. </p><p>　　[15] 林錦火，孫

58、建斌.《巧用裂項法，巧解最值題》，中學教研期刊，2005-04-05.</p><p>　　[16] 尚曉陽.《中學數(shù)學最值問題解析》，陜西師范大學學報，2010-06-30.</p><p>　　[17] 王戰(zhàn)偉.《高中數(shù)學中的最值問題》，考試周刊，2012-04-24.</p><p>　　[18] 秦曉輝.《最值問題的解法與應用》，赤峰學院學報，2006-06

59、-25.</p><p><b>　　致 謝</b></p><p>　　本論文的完成是在我的指導老師李俊老師的細心指導下進行的。在每次設(shè)計 到資料的搜集直至最后的修改的整個過程中，花費了李老師很多的寶貴時間和精力，在此我向李老師表示最衷心地感謝！感謝他認真負責地指導、修改本人的論文，提出寶貴的建議，督促本人及時、保質(zhì)保量地完成畢業(yè)論文。李老師嚴謹?shù)?/p>

60、治學態(tài)度，開拓進取的精神和高度的責任心都將使我受益終生！還要感謝和我一同一設(shè)計小組的幾位同學，是你們在我平時設(shè)計中和我一起探討問題，并指出我設(shè)計上的誤區(qū)，使我能及時的發(fā)現(xiàn)問題把設(shè)計順利的進行下去，沒有你們的幫助我不可能這樣順利地結(jié)稿，在此，我表示對他們最衷心的感謝和最誠摯的祝福！感謝他們給予本人的一切意見和建議，并感謝他們傳達給我有關(guān)論文的通知，幫助我及時完成了論文工作。</p><p><b>　　此