數(shù)值分析課程設(shè)計-- 松弛迭代法中松弛因子

1、<p>　　數(shù)值分析 設(shè)計報告書</p><p>　　題 目 松弛迭代法中松弛因子 </p><p>　　院 系 數(shù)理系 </p><p>　　專 業(yè) 信息與計算科學(xué) </p><p>　　班 級

2、 </p><p>　　學(xué) 號 </p><p>　　姓 名 </p><p>　　時 間 2013-12-10~2013-12-23 </p><p>　　指導(dǎo)教

3、師 </p><p><b>　　題目：</b></p><p>　　選用Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和超松弛迭代法求解下面的方程組（考慮等于150）</p><p><b>　　=</b></p><p>　　考慮初值的變化和松弛因子

4、的變化收斂效果的影響；對上述方程組還可以采用哪些方法求解？選擇其中一些方法編程上機(jī)求解上述方程組，說明最適合的是什么方法；將計算結(jié)果進(jìn)行比較分析，談?wù)勀銓@些方法的看法。</p><p><b>　　一、摘要</b></p><p>　　本課程設(shè)計用matlab就線性方程組數(shù)值方法，Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法，超松弛法對所設(shè)計的問題進(jìn)行求解，并

5、編寫程序在Matlab中實(shí)現(xiàn)，在文章中對各種迭代法進(jìn)行了收斂性分析。接著用幾種不同方法對線性方程組進(jìn)行求解及結(jié)果分析，最后對此次課程設(shè)計進(jìn)行了總結(jié)。</p><p>　　關(guān)鍵詞：線性方程組，迭代，Matlab，結(jié)果分析</p><p><b>　　二、設(shè)計目的</b></p><p>　　用熟悉的計算機(jī)語言編程上機(jī)求解線性方程組。</p&

6、gt;<p><b>　　三、理論基礎(chǔ)</b></p><p>　　對方程組 </p><p>　　做等價變換 </p><p><

7、b>　　如：令 ，則</b></p><p>　　則，我們可以構(gòu)造序列 </p><p><b>　　若 </b></p><p><b>　　同時：</b></p><p>　　所以，序列收斂，與初值的選取無關(guān)<

8、;/p><p><b>　　則轉(zhuǎn)化為矩陣形式</b></p><p><b>　　(1)</b></p><p><b>　　令</b></p><p><b>　　或者 </b></p><p>　　故迭代過程(1)化為 </p

9、><p>　　(2) </p><p><b>　　等價線性方程組為 </b></p><p>　　稱(2)式為解線性方程組(1)的Jacobi迭代法(J法)</p><p>　　迭代矩陣 考慮迭代式(2)</p><p><

10、;b>　　即 </b></p><p>　　將上式改為 (3)</p><p><b>　　(4)</b></p><p><b>　　超松弛迭代</b></p><p><b>　　記 &l

11、t;/b></p><p><b>　　則 </b></p><p>　　可以看作在前一步上加一個修正量。若在修正量前乘以一個因子</p><p><b>　　有 </b></p><p>　　對Gauss－Seidel迭代格式 </p><p><b>

12、;　　迭代矩陣</b></p><p><b>　　程序代碼及運(yùn)算結(jié)果</b></p><p>　　1.利用Jacobi迭代法求解：</p><p>　　編制名為majacobifun.m的文件，內(nèi)容如下：</p><p>　　function [x,n]=jacobifun(A,b,x0,eps)</

13、p><p>　　%jacobifun為編寫在雅可比迭代函數(shù)</p><p>　　%A為線性方程組的系數(shù)矩陣</p><p>　　%b為線性方程組的常數(shù)向量</p><p>　　%x0為迭代初始向量</p><p><b>　　%eps為解的精度</b></p><p>　　%x

14、為線性方程組的解</p><p>　　%n為求出所需精度的解實(shí)際的迭代步數(shù)</p><p>　　D=diag(diag(A));</p><p>　　B=D\(D-A);</p><p><b>　　f=D\b;</b></p><p><b>　　x=B*x0+f;</b>

15、</p><p><b>　　n=0;</b></p><p>　　if max(abs(eig(B)))>=1</p><p>　　disp('Warning:不收斂！');</p><p><b>　　return;</b></p><p><

16、b>　　end</b></p><p>　　while norm(x-x0)>=eps</p><p><b>　　x0=x;</b></p><p><b>　　x=B*x0+f;</b></p><p><b>　　n=n+1;</b></p&

17、gt;<p><b>　　end</b></p><p>　　2.利用Gauss-Seidel迭代法求解：</p><p>　　編制名為G_Seidelifun.m的文件，內(nèi)容如下：</p><p>　　nction [x,n]=G_Seidelifun(A,b,x0,eps)</p><p>　　%G_S

18、eidelifun為編寫在高斯-賽德爾迭代函數(shù)</p><p>　　%A為線性方程組的系數(shù)矩陣</p><p>　　%b為線性方程組的常數(shù)向量</p><p>　　%x0為迭代初始向量</p><p><b>　　%eps為解的精度</b></p><p>　　%x為線性方程組的解</p&g

19、t;<p>　　%n為求出所需精度的解實(shí)際的迭代步數(shù)</p><p>　　D=diag(diag(A));</p><p>　　L=-tril(A,-1);</p><p>　　U=-triu(A,1);</p><p>　　G=(D-L)\U;</p><p>　　f=(D-L)\b;</p>

20、;<p><b>　　x=G*x0+f;</b></p><p><b>　　n=0;</b></p><p>　　if max(abs(eig(G)))>=1</p><p>　　disp('Warning:不收斂！');</p><p><b>　　

21、return;</b></p><p><b>　　end</b></p><p>　　while norm(x-x0)>=eps</p><p><b>　　x0=x;</b></p><p><b>　　x=G*x0+f;</b></p>&

22、lt;p><b>　　n=n+1;</b></p><p><b>　　end</b></p><p>　　3.利用SOR迭代法求解：</p><p>　　編制名為SORfun.m的文件，內(nèi)容如下：</p><p>　　function [x,n]=SORfun(A,b,x0,w,eps)&l

23、t;/p><p>　　%SORfun為編寫在松弛迭代函數(shù)</p><p>　　%A為線性方程組的系數(shù)矩陣</p><p>　　%b為線性方程組的常數(shù)向量</p><p>　　%x0為迭代初始向量</p><p><b>　　%w為松弛因子</b></p><p><b&g

24、t;　　%eps為解的精度</b></p><p>　　%x為線性方程組的解</p><p>　　%n為求出所需精度的解實(shí)際的迭代步數(shù)</p><p>　　if(w<=0 ||w>=2)</p><p><b>　　error</b></p><p><b>　　

25、return;</b></p><p><b>　　end</b></p><p>　　D=diag(diag(A));</p><p>　　L=-tril(A,-1);</p><p>　　U=-triu(A,1);</p><p>　　S=(D-w*L)\((1-w)*D+w*U)

26、;</p><p>　　f=w*((D-w*L)\b);</p><p><b>　　x=S*x0+f;</b></p><p><b>　　n=0;</b></p><p>　　if max(abs(eig(S)))>=1</p><p>　　disp('Wa

27、rning:不收斂！');</p><p><b>　　return;</b></p><p><b>　　end</b></p><p>　　while norm(x-x0)>=eps</p><p><b>　　x0=x;</b></p><

28、;p><b>　　x=S*x0+f;</b></p><p><b>　　n=n+1;</b></p><p><b>　　end</b></p><p>　　在Matlab命令窗口輸入：</p><p><b>　　>> clear</b&g

29、t;</p><p><b>　　w=1.5;</b></p><p><b>　　eps=1e-6;</b></p><p><b>　　n=150;</b></p><p>　　A=diag(8*ones(1,n-1),-1)+diag(6*ones(1,n))+diag(

30、ones(1,n-1),1);</p><p>　　b(1)=10.5;</p><p><b>　　b(n)=21;</b></p><p>　　for i=2:n-1</p><p>　　b(i)=22.5;</p><p><b>　　end</b></p>

31、<p><b>　　b=b';</b></p><p>　　x0=zeros(n,1);</p><p>　　[x1,n]=jacobifun(A,b,x0,eps);</p><p>　　[x2,n]=G_Seidelifun(A,b,x0,eps);</p><p>　　[x3,n]=SORfu

32、n(A,b,x0,w,eps);</p><p>　　plot(x1);hold on</p><p>　　plot(x2,'r');hold on</p><p>　　plot(x3,'g*')</p><p>　　表1 Jacobi、Guass_seidel、SOR迭代結(jié)果表</p>&

33、lt;p>　　以下為方程組的解的圖：</p><p>　　圖1 初值x0=[0；..；0] 松弛因子=1.5時圖</p><p>　　圖2 初值x0=[1；..；1] 松弛因子=1.5時圖</p><p>　　圖3 初值x0=[1；..；1] 松弛因子=1.1時圖</p><p><b>　　五、結(jié)果分析</

34、b></p><p>　　通過以上數(shù)據(jù)測試可以分析出以下幾點(diǎn)：</p><p>　　1. 系數(shù)矩陣為150階時，經(jīng)判斷Jacobi迭代是發(fā)散的、Gauss-Seidel、SOR兩種迭代是收斂的，當(dāng)初值一定時，Gauss-Seidel、SOR對應(yīng)的迭代次數(shù)是逐漸減少的，也就是說SOR迭代比Gauss-Seidel迭代收斂更快。</p><p>　　2. 當(dāng)初值變

35、大時，Gauss-Seidel、SOR對應(yīng)的迭代次數(shù)是逐漸減少的，當(dāng)初值相同，松弛因子 變小時，SOR對應(yīng)的迭代次數(shù)是逐漸減少的，</p><p>　　3. 三種迭代法計算得到的解與嚴(yán)格計算方程組后的精確解在結(jié)果所示精度下是相同的，說明三種迭代法的求解精度是不低的。</p><p><b>　　六、設(shè)計心得</b></p><p>　　通過這次

36、數(shù)值分析課程設(shè)計，分別利用Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代和超松弛迭代法求解指定方程組，并考慮了初值變化和松弛因子的變化對收斂效果胡影響。回顧數(shù)值分析的相關(guān)知識，完成了這次課程設(shè)計，進(jìn)一步加深了解線性方程組的方法。</p><p><b>　　七、參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1]薛定宇，陳陽泉。高等應(yīng)用數(shù)學(xué)問題的MATLAB求解[M]。北京：