畢業(yè)論文--一類函數(shù)方程的解法研究

1、<p>　　本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）</p><p>　　( 2014 屆 ) </p><p>　　題 目： 一類函數(shù)方程的解法研究 </p><p>　　系 （部）： 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系 </p

2、><p>　　專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) </p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　摘 要、4</b></p><p>　　Abstract5</p><p>

3、<b>　　前言6</b></p><p>　　2 一類函數(shù)方程的解法7</p><p>　　2.1 待定系數(shù)法7</p><p><b>　　2.2遞推法9</b></p><p>　　2.3 換元法11</p><p>　　2.4 數(shù)學(xué)歸納法12</p

4、><p>　　2.5 解方程組法14</p><p>　　2.6 反證法15</p><p>　　2.7 不動(dòng)點(diǎn)法16</p><p>　　2.8 柯西法17</p><p>　　2.9 解微分方程法18</p><p>　　3.1 參數(shù)法19</p><p>　

5、　3.2 賦值法20</p><p>　　3.3 構(gòu)造法22</p><p>　　3.4 定義法23</p><p>　　3.5 函數(shù)迭代法24</p><p>　　3.6 數(shù)列法24</p><p>　　3結(jié)束語- 1 -</p><p><b>　　4謝辭- 2 -&

6、lt;/b></p><p>　　參考文獻(xiàn)- 3 -</p><p><b>　　摘 要、</b></p><p>　　兩百多年之前，函數(shù)方程的解法和研究便已登堂入世，然其在數(shù)學(xué)分析中解法負(fù)責(zé)、形式千變?nèi)f化、一般性極大，以至于今，知其解法者卻也是少之又少，且函數(shù)方程的解得存在性和唯一性道目下依然也是一個(gè)未解之謎，不僅如此，同樣還有若干

7、函數(shù)方程直到現(xiàn)在還沒有解出來。</p><p>　　在研究“曲面論”問題的基礎(chǔ)上，必須去解讀一些函數(shù)方程，于此法國著名數(shù)學(xué)家蒙日便于1773年運(yùn)用智慧將這些函數(shù)方程化為“有限差方程”進(jìn)行處理，同年在數(shù)學(xué)界另一位數(shù)學(xué)家拉普拉斯便利用蒙日的方法并將之推廣到相當(dāng)廣泛的一類函數(shù)方程上面去。</p><p>　　函數(shù)方程：也在1721年被數(shù)學(xué)柯西求出。</p><p>　　其

8、通解（此方程是達(dá)朗貝爾于1769年論證力的合成法則時(shí)導(dǎo)出的）這種方法被后人稱為柯西方法。</p><p>　　關(guān)鍵詞：函數(shù)方程；賦值法；數(shù)學(xué)歸納法；柯西法；解法</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Key Words： At the time of more than two hundred years b

9、efore, had appeared function equation solution and research. In the mathematical analysis method, various forms, general, so greatly that by now, you know the solution to few and far between, and the function equation of

10、 the existence and uniqueness to remains a mystery until now, not only that, there are a number of functional equations until there is no solution.</p><p>　　Because in the research on the basis of the theory

11、 of "surface" problem, must go to the solution of some functional equations, the French mathematician monge use wisdom in 1773 put the function equation into the finite difference equation to deal with; In the

12、same year, another mathematician of Laplace the monge method is extended to a large variety of the function equation of the above.</p><p>　　Functional equations: cauchy and also in 1721 by mathematics.

13、 </p><p>　　Its general solution (the equation is d’ Alembert demonstrated in 1769 when the force resultants of the exported) this approach is known as the cauchy's method</p><p>　　Key words

14、: Function equation, Assignment method, Mathematical induction, Cauchy method, Solution</p><p><b>　　前言</b></p><p>　　數(shù)學(xué)素來是一門很有知識的學(xué)問。之所以知識是因?yàn)?，自古就有這樣的一句話——學(xué)習(xí)科學(xué)，無處不在！數(shù)學(xué)一直都是遙遙的處于翹首之位。說其是學(xué)

15、問又是因?yàn)?，?shù)學(xué)那些千變?nèi)f化的方程式自古以來便被各大數(shù)學(xué)家絞盡腦汁地給予研究，然而無論如何去研究，仍然都逃不出——方程式的解讀。</p><p>　　方程式的解在很大程度上豐富了數(shù)學(xué)領(lǐng)域并激發(fā)了一種境界，方程式的解從古至今一直都未被突破，相反，反而卻以一種神秘的面貌出現(xiàn)在大家的面前。然而無論如何去解方程式，隨著時(shí)代的變遷，歷史的更迭，人們卻總能發(fā)現(xiàn)更好更不一樣的解方程式的方法，以及各式各樣的方程式。不僅在一定程度

16、上豐富了方程式的范圍，同樣也極大的增加了我們的學(xué)習(xí)空間。</p><p>　　從小學(xué)開始，我們便已早早兒接觸方程式了，從最簡單的一元一次，到后面的一元二次以及二元二次，以至于現(xiàn)如今到了大學(xué)，數(shù)學(xué)統(tǒng)稱——高等數(shù)學(xué)，以及后面的一系列縱支。</p><p>　　方程式的解關(guān)鍵詞語便是在于一個(gè)“解”字，然而解方程式眼面前兒看著卻是指一個(gè)動(dòng)作，是去解一個(gè)方程，那么基于此處解方程式又有何樣優(yōu)點(diǎn)呢？其實(shí)

17、很簡單，因?yàn)橹挥畜w會，才可明了方程式在實(shí)際生活中運(yùn)用到底起到了什么作用。</p><p>　　軌道的設(shè)計(jì)、電腦數(shù)字的運(yùn)用、住房材料的精確設(shè)計(jì)、小到平時(shí)生活中開銷計(jì)算，大到一座高樓大廈的細(xì)枝末節(jié)，無一不予我們的方程式息息相關(guān)，而這些都離不開方程的解和解方程式，只在于，方程式的重要性！</p><p>　　而且為了更好的讓人們?nèi)ミ\(yùn)用這些方程式，各國的數(shù)學(xué)家發(fā)明了很多的方法來解方程式，譬如：待定

18、系數(shù)法、換元法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法、不動(dòng)點(diǎn)法諸如此類等等解法。不同的方程式適應(yīng)于不同的解法，總是會有一種解法更加的適合，同樣會有一種解法更加的簡單，而我們在學(xué)習(xí)的過程中主要的任務(wù)，便是如何的將這些解方程式的方法游刃有余的運(yùn)用于我們的各種的方程式之中，以至于我們可以更好、更快、用最合適的方法去解方程式。</p><p>　　當(dāng)然，在數(shù)學(xué)競賽中常常會遇到相關(guān)的函數(shù)方程問題，關(guān)于這類問題，主要是函數(shù)方程直接解決一個(gè)給定

19、的或根據(jù)實(shí)際問題，然后解決其他擴(kuò)展名列表的功能。解決這些問題是有一定的困難，這些困難與泛函方程本身，因?yàn)榕R時(shí)性途徑的探索，解決不完全泛函方程，大量的函數(shù)方程尚未解決，這是解決了大部分所需的函數(shù)方程的方法求解數(shù)學(xué)可以用初等方法函數(shù)方程是不多了，這里先介紹函數(shù)方程的性質(zhì),然后介紹用初等方法解函數(shù)方程的方法</p><p>　　本篇論文的終點(diǎn)也是重點(diǎn)闡述：第一，何為方程式，第二，方程式的具體解法，并對于每種解法賦予案列

20、介紹，以便各種可以更加清楚明了的了解方程式。</p><p>　　2 一類函數(shù)方程的解法</p><p><b>　　2.1 待定系數(shù)法</b></p><p>　　待定系數(shù)的方法中，是一個(gè)多項(xiàng)式表示成另一種含有新形式的待定系數(shù)，因此可以得到一個(gè)身份，然后方程或方程系數(shù)應(yīng)滿足與身份的本質(zhì)規(guī)定，然后通過求解方程或方程組可以得到待定系數(shù)，亦或是找

21、出某些系數(shù)所滿足的關(guān)系式。在函數(shù)方程的解法之中用待定系數(shù)法求方程的解主要將其運(yùn)用于函數(shù)的類型以及很熟的某些特征，因?yàn)榇耸亲詈唵蔚姆椒ā?lt;/p><p>　　函數(shù)的某些特征其基本解題步驟為</p><p>　?。?）確定所求問題含待定系數(shù)的解析式；</p><p>　?。?）借用恒等條件，列出含待定系數(shù)的方程；</p><p>　?。?）解方程

22、或消去待定系數(shù)</p><p>　　例2.1.1 已知是二次函數(shù)，且滿足，求解析式。</p><p><b>　　解： 由題意可設(shè)：</b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　則 </b></p><p&

23、gt;<b>　　所以 </b></p><p><b>　　得 </b></p><p><b>　　所以 </b></p><p>　　例2.1.2 已知函數(shù)方程是多項(xiàng)函數(shù)，且滿足，求</p><p><b>　　解：由題意可知</b&g

24、t;</p><p>　　是多項(xiàng)式 而，不改變函數(shù)的最高次項(xiàng)</p><p>　　所以必為二次函數(shù) 則設(shè)</p><p><b>　　而 </b></p><p><b>　　所以 </b></p><p><b>　　又 </b>&

25、lt;/p><p><b>　　得 </b></p><p><b>　　解得 </b></p><p><b>　　所以 </b></p><p>　　例2.1.3 已知對任意的，函數(shù)方程滿足且，，，那么求出函數(shù)方程的解。</p><p>&

26、lt;b>　　解：由題意可知 </b></p><p>　　根據(jù)已知條件知道方程的結(jié)構(gòu)，那么我們先找到的解，其中一個(gè)是被確定的一個(gè)常數(shù)。</p><p><b>　　所以 .</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　而 所以 ，解得，.<

27、/p><p>　　再設(shè)原方程的解為 （其中A,，B是常數(shù)）</p><p><b>　　又由，，得</b></p><p><b>　　所以 </b></p><p><b>　　所以 .</b></p><p>　　我們根據(jù)函數(shù)的某些特征設(shè)出函數(shù)的關(guān)

28、系式，然后通過已知條件求解出函數(shù)解析式。</p><p><b>　　2.2遞推法</b></p><p>　　定義在正整數(shù)的函數(shù)方程，方程是基于遞歸形式給出，我們可以用遞歸的方法解決，從函數(shù)方程解的要求出發(fā)，從簡單的情況下，復(fù)發(fā)，派生方程出發(fā)。然而遞推法對于實(shí)數(shù)集上的函數(shù)方程未必適用。</p><p>　　遞歸的方法包括兩個(gè)方面，一方面是在為

29、特征函數(shù)方程遞歸表達(dá)式的形式，另一種是用遞歸序列表達(dá)式函數(shù)方程的一種形式。</p><p>　　設(shè)是定義在自然數(shù)集N上的函數(shù)，(確定常數(shù))，如果存在一個(gè)遞歸（或遞推）關(guān)系S，當(dāng)知道了前面項(xiàng)的值，由S可唯一確定的值，那么稱為階遞歸函數(shù)。遞歸（或遞推）是解決函數(shù)方程的重要方法。</p><p>　　例如： 自然數(shù)平方數(shù)列，，，...，，…，,,,</p><p><

30、;b>　　他的通項(xiàng)公式： </b></p><p><b>　　遞推公式: </b></p><p><b>　　遞歸公式：</b></p><p>　　值得注意的是（1）、遞推、遞歸公式均是函數(shù)方程，而通項(xiàng)公式則是他們的解</p><p>　?。?）、遞歸公式（在數(shù)列一節(jié)中詳細(xì)

31、講）一般形式是</p><p>　　（3）、通項(xiàng)公式一定由數(shù)列唯一確定，但遞歸、遞推不同，需給出第項(xiàng)的值（初始條件）,不同初始條件，數(shù)列不同。</p><p>　?。?）、由遞歸公式遞歸方程特征根（定理）求解</p><p>　　例2.2.1 已知，且當(dāng)n>1，時(shí)，有求</p><p>　　解：把遞推公式進(jìn)行整理得：</p>

32、;<p><b>　　所以 </b></p><p><b>　　令 得</b></p><p><b>　　個(gè)等式相加得</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　故 </b

33、></p><p>　　例2.2.2 對于，有 且，，求?</p><p><b>　　解：由題意可知</b></p><p><b>　　令得</b></p><p><b>　　所以 </b></p><p><b>　　所以

34、 </b></p><p><b>　　累加得</b></p><p><b>　　所以 </b></p><p>　　例2.2.3 已知，解函數(shù)方程</p><p><b>　　解： 由題意可知</b></p><p><b&

35、gt;　　所以</b></p><p><b>　　累加得 </b></p><p><b>　　所以 </b></p><p><b>　　累加得 </b></p><p><b>　　所以 </b></p>

36、<p><b>　　2.3 換元法</b></p><p>　　函數(shù)的“自變量”或某個(gè)關(guān)系式去用一個(gè)新的變量（中間變量）去替換，這樣的方法稱之為換元法，具體的步驟是，以確定所述中間變量的函數(shù)之間的關(guān)系，以及由此得到的函數(shù)式是用于解決函數(shù)方程的基本方法之一。函數(shù)方程的適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，新的方程，從而得到方程的解。</p><p>　　例2.3.1 設(shè)求解。&

37、lt;/p><p><b>　　解：不妨設(shè)，則有</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　故</b></p><p>　　例 2.3.2 已知，求。&l

38、t;/p><p><b>　　解: 令，則</b></p><p><b>　　于是</b></p><p><b>　　用x換t，得</b></p><p>　　換元法是一個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式作為一個(gè)整體，用另一個(gè)字母替代這部分的一部分。換元法的好處便是在于使式子得到簡化，從而使得

39、各項(xiàng)關(guān)系在容易明了的基礎(chǔ)上，使得問題在一定程度上更好的得到解決。此種方法的好處便在于，使得精神上的數(shù)學(xué)思想得到充分的體現(xiàn)，然而在此還得注意換元后萬不可忘記還元和還原后新變量的取值范圍。</p><p><b>　　2.4 數(shù)學(xué)歸納法</b></p><p>　　數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)的重要方法之一，應(yīng)用范圍相當(dāng)廣泛，所以解決了函數(shù)方程也同樣有效，當(dāng)上了自然數(shù)集合n定義用于未

40、知函數(shù)。</p><p>　　第一數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)是關(guān)于的一個(gè)命題</p><p><b>　?。?）若成立。</b></p><p>　?。?）（遞推）假設(shè)成立，若成立，則對所有的自然數(shù)都會成立的。 </p><p>　　任何非空集合的自然數(shù)必須擁有最大數(shù)量（原則的最大數(shù)目）</p><p>　　

41、產(chǎn)生第二數(shù)學(xué)歸納法：</p><p><b>　　若成立</b></p><p>　　假設(shè)時(shí)成立，若也成立，則對…</p><p>　　例2.4.1 已知，其中.，是自然數(shù)，試解出這個(gè)函數(shù)方程。</p><p><b>　　解：由可知</b></p><p>　　……………

42、……………</p><p>　　所以從上面的式子中我們可以猜想得</p><p>　　我們可以用數(shù)學(xué)歸納的方法去證明上面的猜想</p><p><b>　　當(dāng)時(shí) 猜想成立</b></p><p>　　假設(shè)當(dāng)時(shí)猜想成立，即</p><p><b>　　成立 </b><

43、/p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，得</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　所以由上面的條件可以知道，當(dāng)時(shí)等式成立，則當(dāng)時(shí)也成立</p><p><b>　　綜上所述得： </b></p><p>　　例2.4.2 已知函數(shù)，

44、當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，試求出</p><p>　　解：由題意可知：當(dāng)時(shí)，</p><p><b>　　………………….</b></p><p>　　所以由上我們猜想可得出</p><p>　　那么我們用數(shù)學(xué)歸納的方法去證明上面的猜想</p><p>　?。?）當(dāng)時(shí) 猜想成立</p><

45、;p>　?。?）假設(shè)當(dāng)時(shí)猜想成立，即</p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，</b></p><p><b>　　綜上所述 得證</b></p><p>　　利用數(shù)學(xué)歸納法的時(shí)候我們一定要先利用列舉法猜出函數(shù)關(guān)系式，然后通過數(shù)學(xué)歸納法看自變量為1的時(shí)候是否成立，如果不成立則我們的猜想不正確，反之我們再次令自變量為k的

46、時(shí)候猜想必成立，再進(jìn)一步求解，看是否當(dāng)自變量為k+1時(shí)猜想是否成立，成立則我們的猜想是正確的。</p><p><b>　　2.5 解方程組法</b></p><p>　　方程的解是變量的函數(shù)方程（或關(guān)系）適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q（有時(shí)需要幾個(gè)替代）,得到一個(gè)（或者幾個(gè)）新的函數(shù)方程，然后再與原來的方程聯(lián)立，解方程組中的未知函數(shù)，那么我們就可以得出所求的函數(shù)方程的解。</

47、p><p>　　例2.5.1 解函數(shù)方程（其中a、b、c為直角三角形的三邊，a是斜邊長）（79年浙江省數(shù)學(xué)競賽題改）</p><p><b>　　解：由題意可知</b></p><p>　　…………………………（1）</p><p>　　………………………………（2）</p><p><b&

48、gt;　　由（1）*b得</b></p><p>　　…………………………（3）</p><p><b>　　由（2）*a得</b></p><p>　　……………………………（4）</p><p><b>　　由（4）-(3)得</b></p><p><

49、b>　　所以</b></p><p>　　又因?yàn)橹苯侨切蔚娜叿謩e為a、b、c，其中a是斜邊長 則</p><p>　　例2.5.2 是定義在的實(shí)值函數(shù)，且，求。</p><p><b>　　解:由題意可知</b></p><p><b>　　令換得 </b></p>

50、;<p><b>　　聯(lián)立方程組 </b></p><p><b>　　消去得</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　解方程組法也是我們解函數(shù)方程的重要方法之一，先利用

51、換元法得到我們想要的方程組，然后通過解方程組的方法消去我們不需要的項(xiàng)，然后解出函數(shù)方程。</p><p><b>　　2.6 反證法</b></p><p>　　反證法又稱歸謬法、背理法，是一種論證方式，我們先假設(shè)一個(gè)命題是假的（也就是在原來的命題的條件下，得到的結(jié)論不成立），然后我們在這個(gè)基礎(chǔ)上取推理出明顯矛盾的結(jié)果，從而下結(jié)論說我們原來假設(shè)的命題不成立，那么原命題

52、得證。</p><p>　　步驟:(1)假設(shè)一個(gè)命題的結(jié)論是假的，也就是說假設(shè)結(jié)論的反面成立。</p><p>　?。?）我們再從這個(gè)命題出發(fā)，經(jīng)過一系列的推理證明得出相互矛盾的條件。</p><p>　?。?）我們再由矛盾判斷假設(shè)不成立，從而肯定命題的結(jié)論正確。 </p><p>　　例2.6.1 已知函數(shù)且，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，求證函

53、數(shù)沒有負(fù)數(shù)根。</p><p><b>　　解：由題意可知</b></p><p><b>　　假設(shè)有負(fù)數(shù)根，而</b></p><p><b>　　因?yàn)?又</b></p><p><b>　　知 </b></p><p&g

54、t;<b>　　而函數(shù)在是增函數(shù)</b></p><p><b>　　所以</b></p><p>　　這個(gè)與假設(shè)為負(fù)數(shù)根相矛盾</p><p>　　所以 這個(gè)假設(shè)不成立</p><p>　　所以 方程沒有負(fù)數(shù)根</p><p>　　我們利用反證法，創(chuàng)造題目矛盾的條件，然

55、后得出我們所想要的答案。反證法可以解決一些我們看似無能為力的題目。使這些難題很容易的就能解答出來。</p><p><b>　　2.7 不動(dòng)點(diǎn)法</b></p><p>　　如果設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋舸嬖谑沟眠@個(gè)條件成立，則稱為此點(diǎn)函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，不動(dòng)點(diǎn)是由荷蘭著名數(shù)學(xué)家不勞威爾提出來的。如果用圖像的話來說，不動(dòng)點(diǎn)就是意味著函數(shù)與直線有公共點(diǎn)且這個(gè)公共點(diǎn)是不動(dòng)點(diǎn)。運(yùn)用函數(shù)

56、的不動(dòng)點(diǎn)求解函數(shù)方程也是一個(gè)重要且有效地?cái)?shù)學(xué)方法。</p><p>　　例2.7.1 已知數(shù)列滿足首項(xiàng)， 求數(shù)列的通項(xiàng)公式。</p><p>　　解：由題意可知 令則 </p><p><b>　　解得，</b></p><p>　　所以，是的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)</p><p><b>

57、　?。?）</b></p><p><b>　　（2）</b></p><p><b>　?。?）（2）得 </b></p><p>　　所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)，-4為公比的等比數(shù)列</p><p><b>　　所以 </b></p><p&g

58、t;<b>　　所以 </b></p><p>　　函數(shù)方程的題目解法技巧性較強(qiáng)，抽象性較高，所以不動(dòng)點(diǎn)法也是我們求解函數(shù)方程時(shí)一種常見的方法。</p><p><b>　　2.8 柯西法</b></p><p>　　柯西方法是一種“爬坡式”的推理方法，也就是說首先求出自變量取自然數(shù)時(shí)，函數(shù)方程的解，然后我們依次讓自變量

59、取一切自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)，最后取一切實(shí)數(shù)值時(shí)，如果這個(gè)方程都成立，那么它就是函數(shù)方程的解。</p><p>　　必須注意的是;用柯西法時(shí)應(yīng)限制解的性質(zhì)是連續(xù)的。</p><p>　　例2.8.1 試求</p><p>　　解：由題意可知并由數(shù)學(xué)歸納法可得 </p><p><b>　　特別當(dāng)時(shí)，</b></p

60、><p><b>　　所以</b></p><p>　?、?、當(dāng)時(shí)，取，則 （設(shè)）</p><p><b>　　所以 時(shí)，</b></p><p><b>　?、?、當(dāng)時(shí)</b></p><p><b>　　，</b></p&g

61、t;<p><b>　　即時(shí)，</b></p><p><b>　?、?、當(dāng)時(shí)，取，則</b></p><p><b>　　即時(shí)，</b></p><p><b>　　④、當(dāng)時(shí)，構(gòu)造滿足</b></p><p><b>　　則<

62、/b></p><p><b>　　綜上所述，</b></p><p>　　2.9 解微分方程法</p><p>　　對使用微分法的最重要的方法是函數(shù)方程的解，一些泛函方程可以采取在一個(gè)變量求導(dǎo)法來解決第一個(gè)建立微分方程，然后找出滿足這個(gè)微分方程的函數(shù)，也就是說，我們找出這樣的函數(shù)，然后把這樣的函數(shù)代入微分方程能夠使該方程成為恒等式。那么

63、這個(gè)函數(shù)就叫做該微分方程的解。</p><p>　　例2.9.1 設(shè)在處連續(xù)，且，又，求</p><p>　　解： 因?yàn)?在處連續(xù)</p><p><b>　　所以 </b></p><p><b>　　則 </b></p><p><b>

64、　　故</b></p><p>　　例2.9.2 已知，，求。</p><p>　　解： 由題意可知令 可得 </p><p><b>　　由導(dǎo)數(shù)的定義</b></p><p><b>　　對于有 </b></p><p><b>　　即，兩邊對

65、積分可得</b></p><p><b>　　，又，故 </b></p><p><b>　　所以 </b></p><p>　　例2.9.3 設(shè)連續(xù)，存在且，并且對于任意的都有</p><p><b>　　求。</b></p><p&

66、gt;　　解： 由題意可知令得</p><p><b>　　所以 </b></p><p><b>　　于是 </b></p><p><b>　　有</b></p><p><b>　　故，令有</b></p><p>&l

67、t;b>　　即，兩邊積分</b></p><p><b>　　令，則，所以</b></p><p><b>　　故 </b></p><p>　　用解微分方程的方法，我們可以解決看似不可能解決的問題，然后通過已知微分的條件來解決，還要注意最后兩邊同時(shí)積分，得出來的結(jié)果就是我們所求的函數(shù)解析式。<

68、/p><p><b>　　3.1 參數(shù)法</b></p><p>　　如果函數(shù)的未知數(shù)比較多的話，我們?yōu)榱饲蠼夂啽悖袝r(shí)我們可以在此基礎(chǔ)上增設(shè)一些參數(shù)（也叫輔助未知數(shù)），以便更好地去溝通數(shù)量關(guān)系，這樣的方法叫做設(shè)參數(shù)法；</p><p>　　我們運(yùn)用參數(shù)法去解函數(shù)方程時(shí)，它的基本步驟為：引入?yún)?shù)，消去參數(shù)，再求解；</p><p

69、>　　例3.1.1 已知，求</p><p>　　解：由題意可知我們設(shè)所求函數(shù)的參數(shù)表達(dá)式為：</p><p><b>　　所以 </b></p><p><b>　　所以 </b></p><p><b>　　所以 </b></p>&

70、lt;p><b>　　即 ，</b></p><p><b>　　即，</b></p><p>　　在利用參數(shù)法解函數(shù)關(guān)系式的時(shí)候，一定要先引入?yún)?shù)，然后通過轉(zhuǎn)換去消去已有的參數(shù)，再求得函數(shù)解析式。在此過程中我們一定要注意自變量的取值范圍。</p><p><b>　　3.2 賦值法</b>

71、</p><p>　　在解方程時(shí)，我們可以通過運(yùn)用邏輯推理方法慢慢的去尋求需要找的條件，然后再找出結(jié)論，是一個(gè)很常見的解方程的方法。對于一些問題，如果可能的話，根據(jù)自己的具體情況，合理分配，因?yàn)橐恍┪粗那擅?，它是確定分配給特定的值（例如），重要的問題往往可以得到方便和有效的解決方案。但是，這只能獲得給定的值，所以我們可以繼續(xù)做推論已獲得并證明。這就是賦值法。</p><p>　　賦值法格

72、式：令x(可替換為相應(yīng)字母)=值（如0，1，－1等）</p><p>　　例3.2.1 已知設(shè)是定義在R上的為不恒等零的函數(shù)，且滿足，那么對任意，，都恒有，證明：</p><p><b>　　（1）；</b></p><p><b>　?。?）；</b></p><p><b>　?。?/p>

73、3）。</b></p><p><b>　　解：由題意可知</b></p><p>　　在中，以，分別代，，得</p><p><b>　　所以，</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　在中，

74、令，則</b></p><p><b>　　*</b></p><p>　　因不恒等于0，故必有，使，</p><p><b>　　不妨取，則，</b></p><p><b>　　由*可得</b></p><p><b>　　于是

75、， </b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以</b></p><p>　　（3）在中，以，0分別代，，得</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以</

76、b></p><p>　　例3.2.2 解函數(shù)方程 </p><p>　　已知， 且對任意的，都有試求</p><p><b>　　解：由題意可知</b></p><p>　　令代入 （1）得</p><p><b>　?。?）</b></p>&

77、lt;p><b>　　令得 </b></p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　令得</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　所以由（2）+（4）得</p><p>

78、;<b>　?。?）</b></p><p>　　將（3）代入（5）得</p><p><b>　　令得 </b></p><p>　　又知 ， 所以</p><p>　　賦值法在解方程的時(shí)候能夠更明顯的去尋求解題的方法，有些時(shí)候令自變量為一個(gè)特殊的值，使原來的問題得到簡化，然后再利用其他的方

79、法去解題，從而我們更快的去把這個(gè)方程解出來。</p><p><b>　　3.3 構(gòu)造法</b></p><p>　　構(gòu)造法是創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)思維，它與方法的結(jié)構(gòu)來解決問題，是反映構(gòu)造法的精髓，是指導(dǎo)構(gòu)造法的靈魂，構(gòu)造法是使用方法的具體手段，實(shí)施這一方法，它全面滲透納悶，抽象，概括和歸納，類比等重要的數(shù)學(xué)方法。應(yīng)用思路來解決建設(shè)問題暴露思維過程，可以增強(qiáng)應(yīng)用的建設(shè)解決問題

80、的思想的學(xué)生的意識，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力。建設(shè)思想的核心是根據(jù)問題的設(shè)置條件，適當(dāng)建設(shè)的新形式，與已知條件，材料，結(jié)論問路，構(gòu)建數(shù)學(xué)的一個(gè)新形式的特點(diǎn)，問題就容易解決。在這種形式盡可能多的問題很難直接解決的，用已知條件需要在一定的目標(biāo)構(gòu)建橋梁的數(shù)學(xué)模型，通信條件和結(jié)論可以是結(jié)論之間的邏輯聯(lián)系。我們知道，任何數(shù)學(xué)問題可被視為已知的和未知的數(shù)學(xué)對象，集合的數(shù)學(xué)關(guān)系，即作為一個(gè)數(shù)學(xué)模型。一個(gè)問題，如果它是不容易解決在一個(gè)給定的系統(tǒng)中，如果能找到

81、轉(zhuǎn)換到另一個(gè)系統(tǒng)時(shí)，相應(yīng)的問題之間的關(guān)系“f”或與之間的關(guān)系的輔助下新的數(shù)學(xué)模型“自然” ，才能到原來的問題解決方案，這是數(shù)學(xué)解題的構(gòu)造法。</p><p>　　例3.3.1 設(shè)，，則（2000年湖北省初中數(shù)學(xué)競賽題）</p><p><b>　　解：由題意可知</b></p><p>　　則知 ， （1）</p>&

82、lt;p>　　又 （2）</p><p>　　所以 將（1）代入（2）得</p><p>　　例3.3.2 已知，其中.而為自然數(shù)。試解出這個(gè)函數(shù)方程。</p><p><b>　　解：由題意可知</b></p><p><b>　　又</b></p><

83、p><b>　　所以 </b></p><p>　　這個(gè)可以構(gòu)造出是首相為2 公比為2的等比數(shù)列</p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　所以</b></p><p>　　我們在利用構(gòu)造法去解方程的時(shí)候，應(yīng)該要想到用什么模型去構(gòu)造，應(yīng)該對

84、數(shù)學(xué)知識有一定的掌握。然后利用已有的知識，更快更方便的得到我們想要的答案了。</p><p><b>　　3.4 定義法</b></p><p>　　定義法就是把所給函數(shù)的解析式，然后我們通過配方、拼湊等一系列方法使它變形為關(guān)于“原象”(或“自變量”)的表達(dá)式，然后我們用x代替“自變量”我們即得到的函數(shù)的表達(dá)式。</p><p>　　注意：（1

85、）我們對于所要求的函數(shù)，必須要注明它的定義域，否則它就不為所求。</p><p>　　（2）最后我們求解得到的函數(shù)是否為函數(shù)方程的解，必須要經(jīng)過檢驗(yàn)。</p><p>　　例3.4.1 已知，求。</p><p><b>　　解： 由題意可知：</b></p><p><b>　　因?yàn)?<

86、/b></p><p><b>　　又 </b></p><p><b>　　用代，得</b></p><p>　　經(jīng)過檢驗(yàn)知到，它是原方程的解。</p><p>　　定義法是解方程最基本的解題方法，我們需要通過配方、拼湊等方法將后面的方程式轉(zhuǎn)化為我們所需要的自變量，然后我們就得到了我們想要

87、的函數(shù)方程。</p><p><b>　　3.5 函數(shù)迭代法</b></p><p>　　如果,稱為第n次近似值，這樣我們稱為函數(shù)迭代。</p><p>　　例3.5.1 已知，求</p><p><b>　　解：由題意可知</b></p><p><b>　　

88、令 則 </b></p><p><b>　　則 </b></p><p><b>　　所以 </b></p><p><b>　　………………..</b></p><p>　　函數(shù)迭代法其實(shí)有的時(shí)候可以利用不動(dòng)點(diǎn)法解出不動(dòng)點(diǎn)，然后通過不動(dòng)點(diǎn)進(jìn)一步去用函

89、數(shù)迭代法解決我們所求的函數(shù)解析式.</p><p><b>　　3.6 數(shù)列法</b></p><p>　　求定義在自然數(shù)集N上的函數(shù)。實(shí)際上就是數(shù)列 （=1，2,3，…）的通項(xiàng)。數(shù)列法就是利用等比、等差數(shù)列的有關(guān)知識（通項(xiàng)公式、求和公式等）求定義在N上的函數(shù)。</p><p>　　例3.6.1 已知（常數(shù)），，有，、是常數(shù)，且，求。<

90、/p><p><b>　　解：由 （1）</b></p><p>　　得 （2）</p><p><b>　　由（2）-（1）得</b></p><p><b>　　所以</b></p><p>　　所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，其通

91、項(xiàng)為:</p><p><b>　　(3)</b></p><p>　　將（2）及，代入（3），并整理，得</p><p>　　例3.6.2 已知， ，求。</p><p><b>　　解：由變化得</b></p><p><b>　　知為常數(shù)列</b>

92、;</p><p><b>　　得 </b></p><p><b>　　相加得 </b></p><p>　　有些時(shí)候我們解決比較復(fù)雜的函數(shù)問題時(shí)，將這個(gè)復(fù)雜的函數(shù)式通過一系列的轉(zhuǎn)換，得到我們熟悉的等差數(shù)列，等比數(shù)列。然后利用等差數(shù)列，等比數(shù)列的基本性質(zhì)去解決。從而使這個(gè)復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系式得到解決。那么我們的問

93、題也就迎刃而解。</p><p><b>　　3結(jié)束語</b></p><p>　　函數(shù)方程的研究對我們的社會生活越來越重要，函數(shù)方程解法的研究能夠解決我們的一些實(shí)際生活問題。我們一般在解決繁瑣的函數(shù)方程時(shí)我們一般沒有什么規(guī)律可以遵循，所以我們需要靈活的掌握函數(shù)的一些基本知識和技巧，從而函數(shù)方程的研究是有一定難度的，不過也是非常有趣的課題。目前，函數(shù)方程需要我們研究更

94、深入的問題，如用微積分方法，柯西法，遞推法等一系列求解函數(shù)方程的方法。在此，希望更多數(shù)學(xué)愛好者能把精力投入到這類問題的研究中。</p><p><b>　　4謝辭</b></p><p>　　本論文是在指導(dǎo)老師**教授的指導(dǎo)下完成的。在論文寫作整個(gè)過程中，**老師給予了悉心指導(dǎo)，并提供了很多與該研究相關(guān)的重要信息，培養(yǎng)了我對科學(xué)研究的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度和創(chuàng)新精神。這將非常有利于

95、我今后的學(xué)習(xí)和工作。在此表示衷心的感謝！</p><p>　　本次實(shí)驗(yàn)還得到了課題組的各位老師以及相關(guān)同學(xué)的大力協(xié)助，在此一并表示我的感謝！謝謝你們！</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 數(shù)學(xué)分析[M] 高等教育出版社 ，1999，9</p><p&

96、gt;　　[2]俞宏玉 函數(shù)方程的一些解法 [J] 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2005,10 </p><p>　　[3]趙偉.  函數(shù)方程的若干解法 [J]中學(xué)數(shù)學(xué)月刊  ，2004，6</p><p>　　[4]潘舜卿 一類函數(shù)的解法 [J]鹽城工業(yè)專科學(xué)校學(xué)報(bào)第三期 1995,10</p><

97、p>　　[5]李永樂，李正元.數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書[M]國家行政學(xué)院出版社，2011</p><p>　　[6] 王家正，喬宗敏 .數(shù)學(xué)分析方法選講[M安徽大學(xué)出版社，2010</p><p>　　[7]陸啟少.現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M]北京航天航空大學(xué)出版社，1997</p><p>　　[8]阿拉坦巴根 試論用初等方法解函數(shù)方程[J]民族高等教育研究 2008</