2023年全國(guó)碩士研究生考試考研英語(yǔ)一試題真題(含答案詳解+作文范文)_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

1、<p>  存檔編號(hào) </p><p>  贛南師范學(xué)院數(shù)計(jì)學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文</p><p><b>  怎樣求數(shù)列極限</b></p><p>  系 別 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系 </p><p>  屆 別 2012屆 <

2、;/p><p>  專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) </p><p>  學(xué) 號(hào) 0820151162 </p><p>  姓 名 黃曉勇___ _ </p><p>  指導(dǎo)老師 徐建平____ _ </p><p>  完成

3、日期 2012年4月22日 </p><p><b>  目 錄</b></p><p><b>  摘要1</b></p><p><b>  關(guān)鍵詞1</b></p><p>  Abstra

4、ct1</p><p>  Keywords1</p><p><b>  引言2</b></p><p>  1、利用單調(diào)有界原理求數(shù)列極限2</p><p>  2、利用數(shù)列夾逼準(zhǔn)則(迫斂性)求數(shù)列極限3</p><p>  3、利用幾個(gè)重要極限求數(shù)列極限4</p>

5、<p>  4、利用函數(shù)極限求數(shù)列極限5</p><p>  5、先初等變形化簡(jiǎn)式子再求數(shù)列極限7</p><p>  6、利用定積分求數(shù)列極限9</p><p>  7、利用泰勒公式求數(shù)列極限11</p><p>  8、利用微分中值定理求數(shù)列極限11</p><p>  9、利用級(jí)數(shù)收斂性求數(shù)列

6、極限12</p><p>  10、 利用斯篤茲(Stolz)公式求數(shù)列極限13</p><p><b>  參考文獻(xiàn)15</b></p><p>  摘要: 本文主要介紹了數(shù)列極限的幾種求法,并通過(guò)例題說(shuō)明利用函數(shù)極限,幫助尋找數(shù)列極限的求法。</p><p>  關(guān)鍵詞:數(shù)列 極限 方法 求法 說(shuō)明&l

7、t;/p><p>  Abstract: This paper mainly introduces several kinds of method for the limit of a sequence, and through examples to illustrate the use of the limit of function, help to find the limit of a sequence o

8、f law.</p><p>  Keywords: Sequence limit ways method instruction</p><p>  引言: 極限是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分,極限又是用來(lái)研究函數(shù)的主要工具,數(shù)列極限是極限論的先導(dǎo),數(shù)列極限是學(xué)習(xí)函數(shù)極限的基礎(chǔ)和鋪墊,數(shù)列極限的求法和函數(shù)極限的求法在某種程度上是彼此相似的,下面就數(shù)列極限的求法略作淺談并舉例說(shuō)明。<

9、/p><p>  利用單調(diào)有界原理求數(shù)列極限</p><p>  定理:?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限。</p><p>  此方法的解題程序?yàn)椋?lt;/p><p>  1、直接對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行分析或用數(shù)學(xué)歸納驗(yàn)證數(shù)列單調(diào)有界;</p><p>  2、設(shè)的極限存在,記為代入給定的表達(dá)式中,則該式變?yōu)榈拇鷶?shù)方程,解之即得該數(shù)列的極限。<

10、;/p><p><b>  舉例說(shuō)明:</b></p><p>  例:若序列的項(xiàng)滿足且,試證有極限并求此極限。</p><p><b>  解 由 ,</b></p><p><b>  ,</b></p><p>  用數(shù)學(xué)歸納法證明:

11、 需注意</p><p><b>  .</b></p><p><b>  又 </b></p><p>  為單調(diào)減函數(shù)且有下界。</p><p><b>  令其極限為</b></p><p><b>  由 有:</

12、b></p><p><b>  即 </b></p><p><b>  從而 .</b></p><p>  利用數(shù)列夾逼準(zhǔn)則(迫斂性)求數(shù)列極限</p><p>  定理:設(shè)收斂數(shù)列都以為極限,數(shù)列滿足:存在正數(shù),當(dāng)時(shí),有:.則數(shù)列收斂,且.</p><

13、p>  此方法一般通過(guò)放大或縮小分母來(lái)找出兩邊數(shù)列的通項(xiàng),從而達(dá)到求極限的目的。</p><p><b>  舉例說(shuō)明:</b></p><p><b>  例:求 .</b></p><p><b>  解 由 </b></p><p><b>  顯然

14、 </b></p><p><b>  并且 </b></p><p><b>  .</b></p><p>  利用幾個(gè)重要極限求數(shù)列極限</p><p>  此方法必須在牢記重要極限的形式和其值的基礎(chǔ)上,對(duì)所求式子作適當(dāng)變形,從而達(dá)到求其極限的目的,這種方法靈活,有相當(dāng)?shù)募记尚?。?/p>

15、們常說(shuō)的重要極限是以下幾個(gè):(1) (2) (3)</p><p><b>  舉例說(shuō)明:</b></p><p><b>  例1:求 .</b></p><p><b>  解 </b></p><p><b>  =</b></

16、p><p><b>  =</b></p><p><b>  =</b></p><p><b>  =</b></p><p><b>  =</b></p><p><b>  例2:求極限 .</b>&l

17、t;/p><p><b>  解 </b></p><p><b>  =</b></p><p><b>  =</b></p><p><b>  =</b></p><p><b>  =</b></

18、p><p>  = </p><p>  利用函數(shù)極限求數(shù)列極限</p><p>  此方法把數(shù)列極限化成函數(shù)形式的極限,而后回代,從而求出數(shù)列極限的一種方法。這種方法的理論依據(jù)是歸結(jié)原則,即:設(shè)在內(nèi)有定義。存在的充要條件是:對(duì)任何含于且以為極限的數(shù)列{},極限都存在且相等。</p><p><b>  舉例說(shuō)明:&

19、lt;/b></p><p><b>  例1:若 ,求.</b></p><p><b>  解 先考慮:</b></p><p><b>  而 </b></p><p><b>  =</b></p><p>&l

20、t;b>  =</b></p><p><b>  =</b></p><p><b>  =</b></p><p><b>  由歸結(jié)原則有 </b></p><p><b>  =</b></p><p>

21、<b>  =</b></p><p><b>  =</b></p><p><b>  =</b></p><p><b>  =</b></p><p>  例2: 求數(shù)列極限w=().</p><p>  解:由=1 =

22、~㏑n (n+∞).用等價(jià)無(wú)窮小因子替換得w=?㏑n=㏑n 引入=㏑x2=,則</p><p>  w= ==2=0 (洛比達(dá)法則)</p><p>  先初等變形化簡(jiǎn)式子再求數(shù)列極限</p><p>  有時(shí)候先對(duì)數(shù)列作諸如求和等初等變形后再求極限會(huì)起到化簡(jiǎn)運(yùn)算的功效。</p><p><b>  例1、求極限[]</b

23、></p><p><b>  解:∵ ==,</b></p><p><b>  ∴ []==</b></p><p><b>  例2、求極限</b></p><p>  解: 把通項(xiàng)變形 </p><p><b>  =<

24、;/b></p><p><b>  ∴ 原式=</b></p><p><b>  例3、求極限</b></p><p><b>  解:由 </b></p><p><b>  故 </b></p><p><b

25、>  ∴ 原式=</b></p><p><b>  例4、求極限</b></p><p><b>  解: </b></p><p>  將所給式子分母有理化,有 </p><p>  以上幾例都是通過(guò)初等變形再求極限起到化簡(jiǎn)的效果,例1是先求和再求極限,例2是利用平方差公式

26、結(jié)合因式相消,例3是利用特殊公式,例4是通過(guò)分母有理化,有時(shí)為了將已知的極限化簡(jiǎn),轉(zhuǎn)化已知的極限,可根據(jù)極限式的特點(diǎn),適當(dāng)引入新變量,以替換原有的變量,使原來(lái)較復(fù)雜的極限過(guò)程轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的極限過(guò)程。因?yàn)檫@種方法也是簡(jiǎn)化極限,從某種程度上說(shuō)也是通過(guò)變形化簡(jiǎn)極限式再求極限,所以我也把它放在第五類。如下例:</p><p>  例5、設(shè), (),求</p><p><b>  解:令

27、,,則 </b></p><p>  由此反復(fù)過(guò)程知:, 于是 </p><p>  利用定積分求數(shù)列極限</p><p>  設(shè)在上連續(xù),則,若把n等分,則,把取作每個(gè)小區(qū)間的右端點(diǎn),則;若把取作每個(gè)小區(qū)間的左端點(diǎn),則,特別地若積分區(qū)間為,則,,所以</p><p><b> ?。?)</b></p

28、><p><b> ?。?)</b></p><p>  也即若一個(gè)數(shù)列是一個(gè)和式的形式,且每一項(xiàng)可以提出一個(gè)或,提出這些代數(shù)式后,剩下的可表示為一個(gè)通式,則可用定積分法求解。</p><p><b>  例1:求</b></p><p><b>  解: 原式=</b></

29、p><p><b>  =</b></p><p><b>  =</b></p><p><b>  =㏑</b></p><p>  =㏑2 </p><p><b>  例2:求極限</b></

30、p><p>  解: 原式= 令=, 當(dāng)時(shí),, ,, , </p><p><b>  由定積分的定義:=</b></p><p><b>  =</b></p><p><b>  ==</b></p><p>  利用泰勒公式求數(shù)列極限</p

31、><p>  級(jí)數(shù)是一個(gè)無(wú)窮序列的和的形式,其部分和就是一個(gè)數(shù)列。有時(shí)為了方便可將數(shù)列極限看作是某個(gè)級(jí)數(shù)的部分和,再用泰勒公式求解,這樣能更方便、更簡(jiǎn)捷地求出數(shù)列的極限。</p><p><b>  例:求極限 </b></p><p><b>  解:由泰勒公式知:</b></p><p><b

32、>  ,</b></p><p><b>  令</b></p><p>  得=== () 故=</p><p>  利用微分中值定理求數(shù)列極限</p><p>  微分中值定理是微分學(xué)中重要的基本定理,它利用函數(shù)的局部性質(zhì)來(lái)研究函數(shù)的整體性質(zhì),利用這個(gè)定理可以求出某些函數(shù)的極限,再利用歸結(jié)原則即可求

33、出數(shù)列極限。首先回想一下拉格朗日中值定理:若函數(shù)滿足:(1)在[a,b]上連續(xù);(2)在(a,b)上可導(dǎo);則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得=。</p><p><b>  例:求,</b></p><p>  解: 設(shè) =,在[]上用拉格朗日中值定理得:</p><p><b>  當(dāng)時(shí),有,故原式=</b></p

34、><p>  利用級(jí)數(shù)收斂性求數(shù)列極限</p><p>  給出一個(gè)數(shù)列{},對(duì)應(yīng)一個(gè)級(jí)數(shù)。如果能判定此極限是收斂的,則有,雖然這一辦法只能判斷以零為極限的數(shù)列,但是由于級(jí)數(shù)收斂性的方法比較多,因此在有些場(chǎng)合使用這種方法仍是非常有效的。</p><p><b>  例1:計(jì)算 。</b></p><p>  解: 由正項(xiàng)級(jí)

35、數(shù)的比值收斂法:</p><p><b>  ====<1,</b></p><p>  因此收斂,從而知=0.</p><p>  例2:已知 ,計(jì)算。</p><p>  解: 由華東師范大學(xué)版數(shù)學(xué)分析下冊(cè)第15頁(yè)介紹的拉貝判別法(極限形式):</p><p>  設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且

36、極限存在,則(1)當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)</p><p>  收斂;(2)當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散。</p><p>  故用級(jí)數(shù)的拉貝判別法:=,故級(jí)數(shù)收斂,從而得:=0</p><p>  10、 利用斯篤茲(Stolz)公式求數(shù)列極限</p><p>  對(duì)在數(shù)列{}與{}之間有一定關(guān)系的商的極限,我們可以用斯篤茲公式,即: 若{}與{}滿足(1)

37、();</p><p><b> ?。?) ;</b></p><p><b> ?。?) =;</b></p><p><b>  則有:==。</b></p><p>  推論1:若存在(有限或),則其算術(shù)平均值數(shù)列。</p><p>  推論

38、2: 若,存在(有限或),則其幾何平均值數(shù)列 極限存在,且。</p><p><b>  舉例說(shuō)明:</b></p><p><b>  例1、 求 </b></p><p>  解: 令 , 利用斯篤茲定理得:</p><p><b>  例2:求極限 </b></

39、p><p><b>  解: 令 </b></p><p><b>  由斯篤茲定理有,</b></p><p><b>  ∴ =0</b></p><p>  在學(xué)習(xí)數(shù)列極限的理論時(shí),只有不斷總結(jié),不斷完善知識(shí)理論,才能在解題思路中有所發(fā)現(xiàn),有所創(chuàng)新。本文總結(jié)的10種求數(shù)

40、列極限的方法是有限的,還有更多更好的解題方法和思路需要我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)和總結(jié)。</p><p><b>  參考文獻(xiàn): </b></p><p>  [1]劉書田等編.《微積分學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與解題方法》 [M]. 高等教育出版社,2005</p><p>  [2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上、下)[M].高等教育出版社,2005</p>

41、<p>  [3]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.微積分[M].高等教育出版社,2003</p><p>  [4]費(fèi)定暉等[5].吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解[M].山東科學(xué)技術(shù)出版社,2005</p><p>  [5]劉玉蓮,傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義. 高等教育出版社,2011</p><p>  [6]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法[M]. 高等教育出版社,

42、2005</p><p>  [7]錢吉林等主編,數(shù)學(xué)分析題解精粹,崇文書局,2003</p><p>  [8]復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系編,數(shù)學(xué)分析(上、下),高等教育出版社,2010</p><p>  [9]周林.高等數(shù)學(xué)中數(shù)列極限的幾種求法.湖北廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào),2008:159—160</p><p>  [10]卜憲敏.數(shù)列極限的計(jì)算.中國(guó)

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