畢業(yè)論文--怎樣求數(shù)列極限

1、<p>　　存檔編號(hào) </p><p>　　贛南師范學(xué)院數(shù)計(jì)學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文</p><p><b>　　怎樣求數(shù)列極限</b></p><p>　　系 別 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系 </p><p>　　屆 別 2012屆 <

2、;/p><p>　　專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) </p><p>　　學(xué) 號(hào) 0820151162 </p><p>　　姓 名 黃曉勇＿＿＿ ＿ </p><p>　　指導(dǎo)老師 徐建平＿＿＿＿ ＿ </p><p>　　完成

3、日期 2012年4月22日 </p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　摘要1</b></p><p><b>　　關(guān)鍵詞1</b></p><p>　　Abstra

4、ct1</p><p>　　Keywords1</p><p><b>　　引言2</b></p><p>　　1、利用單調(diào)有界原理求數(shù)列極限2</p><p>　　2、利用數(shù)列夾逼準(zhǔn)則（迫斂性）求數(shù)列極限3</p><p>　　3、利用幾個(gè)重要極限求數(shù)列極限4</p>

5、<p>　　4、利用函數(shù)極限求數(shù)列極限5</p><p>　　5、先初等變形化簡(jiǎn)式子再求數(shù)列極限7</p><p>　　6、利用定積分求數(shù)列極限9</p><p>　　7、利用泰勒公式求數(shù)列極限11</p><p>　　8、利用微分中值定理求數(shù)列極限11</p><p>　　9、利用級(jí)數(shù)收斂性求數(shù)列

6、極限12</p><p>　　10、 利用斯篤茲（Stolz）公式求數(shù)列極限13</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)15</b></p><p>　　摘要： 本文主要介紹了數(shù)列極限的幾種求法，并通過(guò)例題說(shuō)明利用函數(shù)極限，幫助尋找數(shù)列極限的求法。</p><p>　　關(guān)鍵詞：數(shù)列 極限 方法 求法 說(shuō)明&l

7、t;/p><p>　　Abstract: This paper mainly introduces several kinds of method for the limit of a sequence, and through examples to illustrate the use of the limit of function, help to find the limit of a sequence o

8、f law.</p><p>　　Keywords: Sequence limit ways method instruction</p><p>　　引言： 極限是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，極限又是用來(lái)研究函數(shù)的主要工具，數(shù)列極限是極限論的先導(dǎo)，數(shù)列極限是學(xué)習(xí)函數(shù)極限的基礎(chǔ)和鋪墊，數(shù)列極限的求法和函數(shù)極限的求法在某種程度上是彼此相似的，下面就數(shù)列極限的求法略作淺談并舉例說(shuō)明。<

9、/p><p>　　利用單調(diào)有界原理求數(shù)列極限</p><p>　　定理：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限。</p><p>　　此方法的解題程序?yàn)椋?lt;/p><p>　　1、直接對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行分析或用數(shù)學(xué)歸納驗(yàn)證數(shù)列單調(diào)有界；</p><p>　　2、設(shè)的極限存在，記為代入給定的表達(dá)式中，則該式變?yōu)榈拇鷶?shù)方程，解之即得該數(shù)列的極限。<

10、;/p><p><b>　　舉例說(shuō)明：</b></p><p>　　例：若序列的項(xiàng)滿足且,試證有極限并求此極限。</p><p><b>　　解 由 ，</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　用數(shù)學(xué)歸納法證明：

11、 需注意</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　又 </b></p><p>　　為單調(diào)減函數(shù)且有下界。</p><p><b>　　令其極限為</b></p><p><b>　　由 有：</

12、b></p><p><b>　　即 </b></p><p><b>　　從而 .</b></p><p>　　利用數(shù)列夾逼準(zhǔn)則（迫斂性）求數(shù)列極限</p><p>　　定理：設(shè)收斂數(shù)列都以為極限，數(shù)列滿足：存在正數(shù)，當(dāng)時(shí)，有：.則數(shù)列收斂，且.</p><

13、p>　　此方法一般通過(guò)放大或縮小分母來(lái)找出兩邊數(shù)列的通項(xiàng)，從而達(dá)到求極限的目的。</p><p><b>　　舉例說(shuō)明：</b></p><p><b>　　例：求 .</b></p><p><b>　　解 由 </b></p><p><b>　　顯然

14、 </b></p><p><b>　　并且 </b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　利用幾個(gè)重要極限求數(shù)列極限</p><p>　　此方法必須在牢記重要極限的形式和其值的基礎(chǔ)上，對(duì)所求式子作適當(dāng)變形，從而達(dá)到求其極限的目的，這種方法靈活，有相當(dāng)?shù)募记尚?。?/p>

15、們常說(shuō)的重要極限是以下幾個(gè)：（1） （2） （3）</p><p><b>　　舉例說(shuō)明：</b></p><p><b>　　例1：求 .</b></p><p><b>　　解 </b></p><p><b>　　=</b></

16、p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　例2：求極限 .</b>&l

17、t;/p><p><b>　　解 </b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></

18、p><p>　　= </p><p>　　利用函數(shù)極限求數(shù)列極限</p><p>　　此方法把數(shù)列極限化成函數(shù)形式的極限，而后回代，從而求出數(shù)列極限的一種方法。這種方法的理論依據(jù)是歸結(jié)原則，即：設(shè)在內(nèi)有定義。存在的充要條件是：對(duì)任何含于且以為極限的數(shù)列{}，極限都存在且相等。</p><p><b>　　舉例說(shuō)明：&

19、lt;/b></p><p><b>　　例1：若 ,求.</b></p><p><b>　　解 先考慮：</b></p><p><b>　　而 </b></p><p><b>　　=</b></p><p>&l

20、t;b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　由歸結(jié)原則有 </b></p><p><b>　　=</b></p><p>

21、<b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p>　　例2： 求數(shù)列極限w=（）.</p><p>　　解：由=1 =

22、～㏑n (n+∞).用等價(jià)無(wú)窮小因子替換得w=?㏑n=㏑n 引入=㏑x2=，則</p><p>　　w= ==2=0 (洛比達(dá)法則)</p><p>　　先初等變形化簡(jiǎn)式子再求數(shù)列極限</p><p>　　有時(shí)候先對(duì)數(shù)列作諸如求和等初等變形后再求極限會(huì)起到化簡(jiǎn)運(yùn)算的功效。</p><p><b>　　例1、求極限[]</b

23、></p><p><b>　　解：∵ ==，</b></p><p><b>　　∴ []==</b></p><p><b>　　例2、求極限</b></p><p>　　解： 把通項(xiàng)變形 </p><p><b>　　=<

24、;/b></p><p><b>　　∴ 原式=</b></p><p><b>　　例3、求極限</b></p><p><b>　　解：由 </b></p><p><b>　　故 </b></p><p><b

25、>　　∴ 原式=</b></p><p><b>　　例4、求極限</b></p><p><b>　　解： </b></p><p>　　將所給式子分母有理化，有 </p><p>　　以上幾例都是通過(guò)初等變形再求極限起到化簡(jiǎn)的效果，例1是先求和再求極限，例2是利用平方差公式

26、結(jié)合因式相消，例3是利用特殊公式，例4是通過(guò)分母有理化，有時(shí)為了將已知的極限化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化已知的極限，可根據(jù)極限式的特點(diǎn)，適當(dāng)引入新變量，以替換原有的變量，使原來(lái)較復(fù)雜的極限過(guò)程轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的極限過(guò)程。因?yàn)檫@種方法也是簡(jiǎn)化極限，從某種程度上說(shuō)也是通過(guò)變形化簡(jiǎn)極限式再求極限，所以我也把它放在第五類。如下例：</p><p>　　例5、設(shè)， （），求</p><p><b>　　解：令

27、，，則 </b></p><p>　　由此反復(fù)過(guò)程知：， 于是 </p><p>　　利用定積分求數(shù)列極限</p><p>　　設(shè)在上連續(xù)，則，若把n等分，則，把取作每個(gè)小區(qū)間的右端點(diǎn)，則；若把取作每個(gè)小區(qū)間的左端點(diǎn)，則，特別地若積分區(qū)間為，則，，所以</p><p><b>　?。?）</b></p

28、><p><b>　?。?）</b></p><p>　　也即若一個(gè)數(shù)列是一個(gè)和式的形式，且每一項(xiàng)可以提出一個(gè)或，提出這些代數(shù)式后，剩下的可表示為一個(gè)通式，則可用定積分法求解。</p><p><b>　　例1：求</b></p><p><b>　　解： 原式=</b></

29、p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=㏑</b></p><p>　　=㏑2 </p><p><b>　　例2：求極限</b></

30、p><p>　　解： 原式= 令=, 當(dāng)時(shí)，, ,, , </p><p><b>　　由定積分的定義：=</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　==</b></p><p>　　利用泰勒公式求數(shù)列極限</p

31、><p>　　級(jí)數(shù)是一個(gè)無(wú)窮序列的和的形式，其部分和就是一個(gè)數(shù)列。有時(shí)為了方便可將數(shù)列極限看作是某個(gè)級(jí)數(shù)的部分和，再用泰勒公式求解，這樣能更方便、更簡(jiǎn)捷地求出數(shù)列的極限。</p><p><b>　　例：求極限 </b></p><p><b>　　解：由泰勒公式知：</b></p><p><b

32、>　　,</b></p><p><b>　　令</b></p><p>　　得=== （） 故=</p><p>　　利用微分中值定理求數(shù)列極限</p><p>　　微分中值定理是微分學(xué)中重要的基本定理，它利用函數(shù)的局部性質(zhì)來(lái)研究函數(shù)的整體性質(zhì)，利用這個(gè)定理可以求出某些函數(shù)的極限，再利用歸結(jié)原則即可求

33、出數(shù)列極限。首先回想一下拉格朗日中值定理：若函數(shù)滿足：（1）在[a,b]上連續(xù)；（2）在（a,b）上可導(dǎo)；則在（a,b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得=。</p><p><b>　　例：求，</b></p><p>　　解： 設(shè) =，在[]上用拉格朗日中值定理得：</p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，有，故原式=</b></p

34、><p>　　利用級(jí)數(shù)收斂性求數(shù)列極限</p><p>　　給出一個(gè)數(shù)列{}，對(duì)應(yīng)一個(gè)級(jí)數(shù)。如果能判定此極限是收斂的，則有，雖然這一辦法只能判斷以零為極限的數(shù)列，但是由于級(jí)數(shù)收斂性的方法比較多，因此在有些場(chǎng)合使用這種方法仍是非常有效的。</p><p><b>　　例1：計(jì)算 。</b></p><p>　　解： 由正項(xiàng)級(jí)

35、數(shù)的比值收斂法：</p><p><b>　　====<1,</b></p><p>　　因此收斂，從而知=0.</p><p>　　例2：已知 ，計(jì)算。</p><p>　　解： 由華東師范大學(xué)版數(shù)學(xué)分析下冊(cè)第15頁(yè)介紹的拉貝判別法（極限形式）：</p><p>　　設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且

36、極限存在，則（1）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)</p><p>　　收斂；（2）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。</p><p>　　故用級(jí)數(shù)的拉貝判別法：=，故級(jí)數(shù)收斂，從而得：=0</p><p>　　10、 利用斯篤茲（Stolz）公式求數(shù)列極限</p><p>　　對(duì)在數(shù)列{}與{}之間有一定關(guān)系的商的極限，我們可以用斯篤茲公式，即： 若{}與{}滿足（1）

37、（）；</p><p><b>　?。?） ；</b></p><p><b>　?。?） =；</b></p><p><b>　　則有：==。</b></p><p>　　推論1：若存在（有限或），則其算術(shù)平均值數(shù)列。</p><p>　　推論

38、2： 若，存在（有限或），則其幾何平均值數(shù)列 極限存在，且。</p><p><b>　　舉例說(shuō)明：</b></p><p><b>　　例1、 求 </b></p><p>　　解： 令 ， 利用斯篤茲定理得：</p><p><b>　　例2：求極限 </b></

39、p><p><b>　　解： 令 </b></p><p><b>　　由斯篤茲定理有，</b></p><p><b>　　∴ =0</b></p><p>　　在學(xué)習(xí)數(shù)列極限的理論時(shí)，只有不斷總結(jié)，不斷完善知識(shí)理論，才能在解題思路中有所發(fā)現(xiàn)，有所創(chuàng)新。本文總結(jié)的10種求數(shù)

40、列極限的方法是有限的，還有更多更好的解題方法和思路需要我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)和總結(jié)。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)： </b></p><p>　　[1]劉書田等編.《微積分學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與解題方法》 [M]. 高等教育出版社,2005</p><p>　　[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上、下）[M].高等教育出版社，2005</p>

41、<p>　　[3]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.微積分[M].高等教育出版社，2003</p><p>　　[4]費(fèi)定暉等[5].吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解[M].山東科學(xué)技術(shù)出版社，2005</p><p>　　[5]劉玉蓮，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義. 高等教育出版社,2011</p><p>　　[6]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法[M]. 高等教育出版社，

42、2005</p><p>　　[7]錢吉林等主編，數(shù)學(xué)分析題解精粹，崇文書局，2003</p><p>　　[8]復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系編，數(shù)學(xué)分析（上、下），高等教育出版社，2010</p><p>　　[9]周林.高等數(shù)學(xué)中數(shù)列極限的幾種求法.湖北廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào)，2008:159—160</p><p>　　[10]卜憲敏.數(shù)列極限的計(jì)算.中國(guó)