12212.burgers方程的解析解和半解析數(shù)值方法

1、碩士學(xué)位論文Burgers方程的解析解和半解析數(shù)值方法Analyticalsolutionsandsemi—analyticalnumericalmethodsforBurgers’equation學(xué)號：21303077大連理工大學(xué)DalianUniVersityofTecllIlology大連理工大學(xué)碩士學(xué)位論文摘要Burgers方程是非常重要的一類非線性方程，是描述對流和擴(kuò)散之間相互作用的最原始模型。該方程綜合了一階波動方程和熱傳導(dǎo)

2、方程的特性，具有遵循守恒定律、混合偏微分方程、非線性等數(shù)學(xué)特點，這使得它具有很高的研究與應(yīng)用價值。但是由于大雷諾數(shù)下激波的出現(xiàn)，要得到一個高精度、高效率、穩(wěn)定性好的數(shù)值方法非常困難。首先，本文給出了具有特殊初始條件的二維和三維Burgers方程的解析解。以正弦和余弦函數(shù)的特殊組合構(gòu)成初始條件時，Burgers方程的解能夠表現(xiàn)激波的現(xiàn)象，而且目前沒有文獻(xiàn)給出針對此問題的解析解。本文基于HopfCole變換和分離變量法得到了級數(shù)形式的解析解

3、，其中每個級數(shù)項均需要數(shù)值計算二重積分和三重積分。這兩個積分的被積函數(shù)是由與雷諾數(shù)相關(guān)的指數(shù)函數(shù)以及與級數(shù)項相關(guān)的三角函數(shù)組成，隨著雷諾數(shù)的增加，計算效率非常低。因此，本文在原解析解的基礎(chǔ)上將這兩個特殊的積分進(jìn)行簡化，即二重積分或三重積分的值可以通過由貝塞爾函數(shù)、超幾何函數(shù)、冪函數(shù)以及階乘等構(gòu)成的特殊函數(shù)計算得到，從而大大提高了該解析解的計算效率和穩(wěn)定性。這兩個特殊問題的解析解可為驗證數(shù)值方法的精確性提供參考。其次，本文提出了一種求解一

4、維和二維Burgers方程的半解析數(shù)值方法。該方法基于Hopf_Cole變換和對稱變換，分別把有限域一維、二維Burgers方程轉(zhuǎn)變?yōu)闊o窮域的熱傳導(dǎo)方程。然后基于格林函數(shù)法，得到了熱傳導(dǎo)方程的解析解，從而得到了Burgers方程的解。但是在大雷諾數(shù)下直接計算該解會出現(xiàn)浮點數(shù)計算精度問題和無窮域數(shù)值積分問題，從而導(dǎo)致該解不能給出正確的結(jié)果。因此，本文通過嚴(yán)格的誤差分析，將無窮域的數(shù)值積分轉(zhuǎn)換為有限域的數(shù)值積分，進(jìn)而解決了以上的兩個數(shù)值困難