共形傅立葉變換算法的研究.pdf

1、傅立葉變換作為最基本的信號(hào)時(shí)頻變換工具,其應(yīng)用幾乎深入到科學(xué)和工程技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域。由于快速傅立葉變換(Fast Fourier Transfrom,FFT)的存在,離散傅立葉變換(Discrete Fourier Transform,DFT)成為傅立葉分析數(shù)字化計(jì)算的基礎(chǔ)。然而隨著科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展和應(yīng)用要求的不斷提高,逐漸對(duì)傳統(tǒng)的一套傅立葉分析方法提出了新的挑戰(zhàn)。如離散傅立葉變換只能計(jì)算位置等間隔均勻分布的信號(hào),而現(xiàn)在在有些情況下所采

2、集到的數(shù)據(jù)是非均勻分布的,如螺旋采樣核磁共振成像技術(shù)等;有些情況下需要估計(jì)分布在有限區(qū)間上的信號(hào)的傅立葉變換,如利用傅立葉變換的卷積定理來快速求解物理方程,然而通過離散傅立葉變換計(jì)算的速度和精度有時(shí)都不夠高;在利用離散傅立葉變換估計(jì)信號(hào)的頻譜時(shí),采樣點(diǎn)的數(shù)目需要滿足Nyquist采樣定理, Nyquist采樣定理的適用對(duì)象是頻帶有限的信號(hào),而實(shí)際中會(huì)有些情況下會(huì)遇到頻帶無限的信號(hào)。本文針對(duì)計(jì)算有限區(qū)間上分段連續(xù)信號(hào)傅立葉變換的問題進(jìn)行了

3、研究,提出了一種高精度快速的計(jì)算方法。該方法具有和FFT方法相似的計(jì)算復(fù)雜度,然而在計(jì)算精度和對(duì)采樣點(diǎn)數(shù)目的要求上比DFT方法有很大的優(yōu)勢。
　　本文首先分析了Nyqusit采樣定理對(duì)有限區(qū)間上分段連續(xù)信號(hào)的限制的來源,指出了不低于Nyqusit采樣密度的要求不是來源于信號(hào)本身,而是由應(yīng)用DFT方法時(shí)的離散化方式引入的。接下來針對(duì)一維問題,通過改變數(shù)值計(jì)算的離散化方式和利用高階的數(shù)值方法,提出了估計(jì)分布在有限區(qū)間上的分段連續(xù)信號(hào)的

4、傅立葉變換的計(jì)算方法,由于在計(jì)算的過程中考慮了信號(hào)不連續(xù)位置的分布情況,稱該方法為一維(1D)共形傅立葉變換算法(conformal Fourier transform,CFT)。1D-CFT方法可以以低于Nyquist采樣定理中的采樣密度高精度的估計(jì)出信號(hào)的傅立葉變換;同時(shí)通過利用Bluestein’s FFT方法,使1D-CFT方法具有和FFT方法相似的計(jì)算復(fù)雜度。在得到同樣計(jì)算精度的情況下,1D-CFT方法所需要的采樣點(diǎn)數(shù)目比FF

5、T方法小很多,而1D-CFT方法的計(jì)算復(fù)雜度與FFT方法相似,因此,1D-CFT方法的計(jì)算效率比FFT方法高很多。通過對(duì)數(shù)值算例計(jì)算結(jié)果的分析進(jìn)一步驗(yàn)證和說明了1D-CFT方法的性能。
　　然后,本文研究了高維共形傅立葉變換算法?？紤]到一維方法直接推廣到二維(2D)和三維(3D)情況需要信號(hào)分布區(qū)間是矩形和長方體的問題,本文分別采用了三角單元和四面體單元剖分,并對(duì)區(qū)域邊界是曲邊和曲面的剖分單元進(jìn)行曲邊和曲面坐標(biāo)變換。本文提出的分割

6、方法可以很好的適應(yīng)任意形狀的二維和三維區(qū)域邊界,因此分別被稱為二維共形傅立葉變換(2D-CFT)和三維共形傅立葉變換(3D-CFT)。在每一個(gè)剖分單元上，共形傅立葉變換方法利用高階的插值和數(shù)值積分方法來得到高精度的計(jì)算結(jié)果,利用非均勻快速傅立葉變換方法使其計(jì)算復(fù)雜度分別和同維數(shù)的FFT方法相似。通過對(duì)數(shù)值算例計(jì)算結(jié)果的分析進(jìn)一步驗(yàn)證和說明了2D-CFT和3D-CFT方法的性能。
　　最后,本文利用前面提出的CFT方法,提出了一種電

7、磁場中體積積分方程的新解法和快速逆多項(xiàng)式重建方法。其中所提出的電磁場中體積積分方程的新解法以穩(wěn)定雙共軛梯度-FFT(BCGS-FFT)方法的思想為基礎(chǔ),在得到同樣精度的方程解情況下,需要更少的采樣數(shù)據(jù)和更小的計(jì)算時(shí)間;以同樣多的采樣點(diǎn)和計(jì)算時(shí)間,可以得到更加精確的解。所提出的方法很容易推廣到其它類似的物理方程的求解中?？焖倌娑囗?xiàng)式重建方法是在廣義逆多項(xiàng)式重建方法的基礎(chǔ)上利用1D-CFT和Bluestein’s FFT進(jìn)行改進(jìn)得到的。與廣