曲線的可積運動研究.pdf

1、幾何思想在現(xiàn)代理論物理中的許多領(lǐng)域中都有所體現(xiàn)，它們通常對應(yīng)于非線性物理中的某些現(xiàn)象.在幾何學(xué)本身和非線性物理中，可積系統(tǒng)起著關(guān)鍵性作用.如Einstein方程的精確解，弦理論，非線性光學(xué)和流體動力學(xué)中的孤子等.孤子理論是非線性學(xué)科中的一個重要組成部分，具有廣闊的物理背景和廣泛的應(yīng)用，現(xiàn)已成為數(shù)學(xué)中重要的研究領(lǐng)域.數(shù)學(xué)和物理中有關(guān)可積性的交互作用產(chǎn)生了豐富的結(jié)果.可積非線性偏微分方程和差分方程的現(xiàn)代理論深深植根于19世紀(jì)末和20世紀(jì)初杰

2、出幾何學(xué)家的研究成果.而曲線的可積運動最早也是源于物理中無界無粘性流體的孤立渦絲的空間演化，接著在數(shù)學(xué)和物理中發(fā)展起來.本文研究歐式空間和Minowski空間中曲線的可積運動理論，主要結(jié)果如下:
　　 一.歐氏空間中的曲線運動和B(a)cklund變換.根據(jù)運動曲線的相容性以及Frenet標(biāo)架的相容性，得到了關(guān)于曲率和撓率的非線性偏微分方程.對于常撓率運動曲線，非線性偏微分方程化為KdV方程.隨后，我們得到了平面曲線流的Fren

3、et標(biāo)架之間的B(a)cklund變換，并由此構(gòu)造了圈孤子曲線和閉曲線.最后，我們利用Lie代數(shù)su(2)和so(3)之間的同構(gòu)，得到Lie群SU(2)和SO(3)之間的同態(tài)映射，并由此構(gòu)造了常撓率運動曲線Frenet標(biāo)架之間的B(a)cklund變換，研究了周期曲線，這些周期曲線在xy平面上的投影是閉曲線。
　　 二.Minkowski空間中的曲線運動和B(a)cklund變換.根據(jù)曲線運動的相容性以及Frenet標(biāo)架的相容性

4、，得到了關(guān)于曲率和撓率的非線性偏微分方程.對于常撓率曲線運動，非線性偏微分方程化為KdV方程和散焦KdV方程.隨后，我們利用Lie代數(shù)su(1，1)和so(1,2)之間的同構(gòu)，得到Lie群SU(1，1)和SO(1,2)之間的同態(tài)映射，進而得到了常撓率運動類時曲線Frenet標(biāo)架之間的B(a)cklund變換.類似地，利用Lie代數(shù)su(1，1)和so(1，1，1)以及Lie代數(shù)su(1，1)和so(2，1)之間的同構(gòu)，分別得到了主法向量

5、是類時和主法向量是類空兩類運動類空曲線Frenet標(biāo)架之間的B(a)cklund變換.接著，研究了對應(yīng)于常撓率曲線沿著不含有副法向量運動的非線性偏微分方程，給出了該方程以及運動曲線的B(a)cklund變換.最后，考慮了對應(yīng)于常撓率曲線僅沿著副法向量運動的非線性偏微分方程，給出了該方程以及運動曲線的B(a)cklund變換。
　　 三.Minkowski空間中的Bertrand曲線和Razzaboni曲面.首先考慮了類時Bert

6、rand曲線的伴侶曲線.對于由類時Bertrand曲線沿著副法向量運動生成的Razzaboni曲面，我們考慮了Razzaboni曲面及其對偶曲面之間的互反變換.接著研究了類時Bertrand曲線之間和對應(yīng)的Razzaboni曲面之間的B(a)cklund變換，最后證明了互反變換和B(a)cklund變換是交換的.對于另外兩類Bertrand曲線，即主法向量是類時的和主法向量是類空的類空曲線，我們得到了類似的結(jié)論.最后，我們分別研究了主法