多項(xiàng)式非線性橢圓型方程多解的同倫方法.pdf

1、在科學(xué)和工程中，很多問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型可以歸結(jié)為半線性橢圓型方程或方程組。本文的主要目的是研究計(jì)算具有多項(xiàng)式非線性的橢圓型方程邊值問(wèn)題多個(gè)解的數(shù)值方法。我們吸納了特征函數(shù)展開(kāi)離散化方法、多項(xiàng)式方程組的同倫方法、有限元牛頓法這幾種方法的優(yōu)點(diǎn)，將這幾種方法有序地組織起來(lái)安放于不同求解階段，設(shè)計(jì)了一套計(jì)算此類橢圓型方程邊值問(wèn)題多解的系統(tǒng)方法。本研究主要內(nèi)容包括：
　?、艦榱饲髱Ф囗?xiàng)式非線性的橢圓型方程的多個(gè)解，我們對(duì)其采用特征函數(shù)展開(kāi)離散化

2、，我們分析了其離散誤差，得到誤差的H1估計(jì)和L2估計(jì)。基于離散誤差估計(jì)，我們?cè)O(shè)計(jì)了一個(gè)新的過(guò)濾策略以剔除離散化方程組的可能的偽解，該策略不依賴于解的性質(zhì)，同時(shí)還可以提高非偽解的精度。對(duì)于過(guò)濾后的解，我們?cè)俨捎糜邢拊ｎD法進(jìn)一步提高精度。
　?、茖?duì)于特征函數(shù)展開(kāi)離散化得到的多項(xiàng)式方程組，當(dāng)所用特征函數(shù)個(gè)數(shù)增加時(shí)，求全部解的標(biāo)準(zhǔn)同倫方法效率不高。為了快速求解某離散水平Nc上的多項(xiàng)式方程組，我們利用其結(jié)構(gòu)，對(duì)在Nc之前的逐次加細(xì)的水平上

3、的方程組構(gòu)造形變，設(shè)計(jì)了擴(kuò)張同倫算法，在前一水平上多項(xiàng)式方程組的全部解求得之后，后一水平上多項(xiàng)式方程組的全部解可以利用前一水平的全部解快速求得。我們分析了該同倫所確定路徑的光滑性和可達(dá)性。
　?、亲C明了陳傳淼和謝資清提出的一個(gè)猜想，此猜想斷言，關(guān)于三次非線性橢圓型方程-△u=u3，當(dāng)特征函數(shù)展開(kāi)法中所采用的有限維子空間是相應(yīng)于一個(gè)N重特征值的特征子空間時(shí)，離散化問(wèn)題至少存在3N-1個(gè)非零實(shí)解，我們將它精確化為恰好存在3N-1個(gè)非零

4、實(shí)解。我們研究了將此猜想的結(jié)論推廣到三維三次非線性情形和二維五次非線性情形，并得到了初步結(jié)果。另外，我們還得到與此相關(guān)的二維單位方塊和三維單位立方體上Laplace算子特征值的所有可能重?cái)?shù)的結(jié)果。
　?、葘?duì)于二維單位方塊上多項(xiàng)式非線性橢圓型方程，我們證明了特征函數(shù)展開(kāi)離散化問(wèn)題的解集繼承了邊值問(wèn)題解集的對(duì)稱性。根據(jù)解集的對(duì)稱性，利用已證明的陳-謝猜想和陳-謝猜想五次非線性情形的類似結(jié)果，我們分別構(gòu)造了對(duì)稱同倫以快速計(jì)算具有一般三次

5、非線性和一般五次非線性的橢圓型方程的離散化多項(xiàng)式方程組的全部解。由于對(duì)稱同倫法只需跟蹤代表解路徑，因而可以節(jié)省很多計(jì)算量。
　?、膳ｎD法是求解非線性代數(shù)方程組的經(jīng)典方法，然而這種方法對(duì)初始猜測(cè)的要求非常高，即只具有局部收斂性。阻尼牛頓法和牛頓同倫法是兩種改進(jìn)牛頓法的全局化方法。從決定這兩種算法所跟蹤路徑的微分方程的角度看，這兩種方法所要偱行的相軌線是一致的，然而從算法實(shí)際執(zhí)行的角度看，這兩種方法所產(chǎn)生的迭代序列卻是不同的。我們分析