兩類二次矩陣方程的數(shù)值求解方法.pdf

1、二次矩陣方程在物理學(xué)、材料學(xué)、工程學(xué)、控制理論和科學(xué)計(jì)算等諸多領(lǐng)域有著廣泛而深刻的應(yīng)用.對其解的存在性研究和相應(yīng)的數(shù)值求解方法不但在理論上具有重要意義而且在實(shí)際應(yīng)用中也非常有價(jià)值.尤其近十幾年隨著計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展，非線性矩陣方程的數(shù)值解在工程控制領(lǐng)域和計(jì)算數(shù)學(xué)領(lǐng)域都逐漸發(fā)展成為了一個(gè)非常熱門的課題.本文主要研究來自于物理中質(zhì)量一彈簧系統(tǒng)的一類單邊二次矩陣方程的數(shù)值求解問題和來自粒子轉(zhuǎn)移理論中的非對稱代數(shù)Riccati矩陣方程數(shù)值求解問題

2、。
　　 在第2章，我們研究來自于質(zhì)量一彈簧系統(tǒng)的一類單邊二次矩陣方程的數(shù)值求解問題.我們首先提出這一方程解存在的一個(gè)充分條件：其次根據(jù)方程系數(shù)矩陣的特點(diǎn)，我們提出一種保M-矩陣結(jié)構(gòu)的加倍算法來計(jì)算方程的極端解；在適當(dāng)?shù)臈l件下，我們還證明該算法的單調(diào)收斂性和局部二次收斂性.我們的數(shù)值試驗(yàn)說明我們提出的算法要優(yōu)于帶精確線性搜索的牛頓法和伯努利迭代法。
　　 在第3章，我們研究用循環(huán)約化算法來求解過阻尼系統(tǒng)產(chǎn)生的單邊二次矩陣

3、方程.與現(xiàn)有的二次收斂循環(huán)約化算法不同，我們提出一種三次收斂的循環(huán)約化算法.在過阻尼條件下我們證明所提出算法的適定性和收斂性.數(shù)值試驗(yàn)表明該算法在方程接近于過阻尼系統(tǒng)的臨界狀態(tài)時(shí)將比原來的循環(huán)約化算法具有更快的收斂性。
　　 在第4章，我們繼續(xù)研究循環(huán)約化算法的在臨界狀態(tài)過阻尼系統(tǒng)中的收斂性。Guo，Higham和Tisseur在假設(shè)臨界過阻尼系統(tǒng)中按絕對值大小順序排列的第n個(gè)特征值的部分重?cái)?shù)(partial multiplic

4、ity)為2的條件下證明了循環(huán)約化算法的線性收斂性，而且算法產(chǎn)生的某些矩陣序列收斂于零矩陣.我們首先給出一個(gè)例子說明當(dāng)上述假設(shè)條件不滿足時(shí)，循環(huán)約化算法的收斂性與Guo等的收斂結(jié)論并不完全相同，即算法產(chǎn)生的相應(yīng)的矩陣序列可以不收斂到零矩陣；其次在不需要對第n個(gè)的特征值部分重?cái)?shù)做任何假設(shè)的條件下，我們對一類臨界狀態(tài)過阻尼系統(tǒng)證明循環(huán)約化算法的收斂性；最后通過數(shù)值試驗(yàn)驗(yàn)證本文的收斂性結(jié)果。
　　 在第5章，我們研究來自粒子轉(zhuǎn)移理論中

5、的非對稱代數(shù)Riccati矩陣方程數(shù)值求解問題.我們重新考慮用牛頓法和不動(dòng)點(diǎn)迭代法來求得這一方程具有物理意義的最小正解.通過注意到牛頓法子問題的特殊矩陣結(jié)構(gòu)，我們基于分解的交替方向隱式(Factored.Alternating Direction Implicit，F(xiàn)ADI)迭代設(shè)計(jì)一種低記憶低復(fù)雜度的牛頓法.隨后我們進(jìn)一步將這一思想拓展到不動(dòng)點(diǎn)迭代方法的子問題從而提出了兩種低記憶低復(fù)雜度的不動(dòng)點(diǎn)迭代法.同時(shí)我們還證明這些算法在迭代過程