與W代數(shù)相關(guān)聯(lián)的幾類無限維李代數(shù)的結(jié)構(gòu)和表示.pdf

1、二維共形場論(Confortnal Field Theory)是理論物理和統(tǒng)計物理研究的重要內(nèi)容。在研究二維共形場的額外對稱(Additional Svmmetrv)的過程中，A.B.Zamolodchikov[Z]在1985年引入了W代數(shù)．W代數(shù)又被稱為擴(kuò)展的共形代數(shù)(Extended confortnal Algebra)，主要用來描述共形場的對稱性．它不僅在二維量子場論中有著廣應(yīng)用[BPZ]，而且為研究可積系統(tǒng)提供了有力工具[BG

2、]．此外，W代數(shù)具有豐富的代數(shù)結(jié)構(gòu)，與李理論的很多領(lǐng)域密切相關(guān)，比如Kac-Moody代數(shù)[Bfe]，頂點(diǎn)代數(shù)[ZD]，李超代數(shù)[FRP]等．因此，研究與W代數(shù)相關(guān)聯(lián)的無限維李代數(shù)的結(jié)構(gòu)與表示對理論物理以及李理論都具有一定的意義．
　　 本文主要研究了廣義Schr(o)dinger—Virasoro代數(shù)，扭形變Schr(o)dinger-Virasoro代數(shù)以及一類無限維李代數(shù)稱之為擴(kuò)展W代數(shù)的結(jié)構(gòu)和表示，這些李代數(shù)都包含特殊的

3、W代數(shù)作為其子代數(shù)．
　　 第二章研究了廣義Schr(o)dinger-Virasoro代數(shù)的中心擴(kuò)張和導(dǎo)子代數(shù)，以及扭形變Schr(o)dinger-Virasoro代數(shù)的導(dǎo)子代數(shù)和自同構(gòu)群．廣義Schr(o)dinger-Virasoro代數(shù)是Schr(o)dinger-Virasoro代數(shù)的自然推廣，其自同構(gòu)群以及Venna模的完全可約性由文獻(xiàn)[TZ]得到．目前，這類李代數(shù)的結(jié)構(gòu)和表示理論的很多方面還沒有得到完全研究．本文

4、第二章的前半部分，確定了這類李代數(shù)的中心擴(kuò)張和導(dǎo)子代數(shù)．扭形變Schr(o)dinger-Virasoro代數(shù)是Schr(o)dinger-Virasoro李代數(shù)的自然形變，它的運(yùn)算關(guān)系中含有兩個參數(shù)．對于參數(shù)的一些特殊取值，文獻(xiàn)[RU]對這類代數(shù)的表示理論和同調(diào)理論進(jìn)行了研究．在第二章的后半部分，通過對參數(shù)的全面討論，給出了這類代數(shù)的導(dǎo)子代數(shù)和自同構(gòu)群．
　　 第三章主要研究了形變Schr(o)dinger-Virasoro代

5、數(shù)的中間序列的不可分解模．
　　 基于第二章的研究以及文獻(xiàn)[LSZ]的結(jié)果，這類代數(shù)的結(jié)構(gòu)問題已經(jīng)得到了較全面的研究．但是，此類代數(shù)的表示問題，尤其是Harish-Chandra模的分類，至今還沒有完整的結(jié)果．本文的第三章，利用文獻(xiàn)[Su]所引入的方法，對此類代數(shù)的中間序列的不可分解模進(jìn)行了討論．這樣，結(jié)合第三章以及文獻(xiàn)[FLL]和[LS1]的結(jié)果，這類代數(shù)的中間序列的不可分解模得到了完全的分類．
　　 第四章定義了一類

6、無限維李代數(shù)，稱之為擴(kuò)展W代數(shù)，研究了這類李代數(shù)的中心擴(kuò)張，導(dǎo)子代數(shù)和自同構(gòu)群．這類李代數(shù)可以看成無中心廣義Witt代數(shù)以及它的兩個中間序列模的半直積．它包含無中心的廣義Witt代數(shù)和廣義W代數(shù)W(a，b)作為其子代數(shù)．在它的運(yùn)算關(guān)系中含有四個參數(shù)，對參數(shù)的不同取值，可以得到很多熟知的無限維李代數(shù)．由于此類代數(shù)的運(yùn)算關(guān)系含有較多參數(shù)，因而，要對其結(jié)構(gòu)和表示理論進(jìn)行完全的研究是較為困難的．本文的最后一章，對這類李代數(shù)的二上同調(diào)群，導(dǎo)子代數(shù)