初始奇異的Ricci流的奇性分析.pdf

1、本篇博士論文系統(tǒng)地研究了Ricci流在t=0時(shí)的奇性問題.確切地說,是研究在t＼0時(shí),曲率趨于無窮大的Ricci流的奇性結(jié)構(gòu).在Ricci流具有非負(fù)曲率算子的假設(shè)條件下,我們給出了初始奇異的n維Ricci流奇性結(jié)構(gòu)的一個(gè)完整刻畫. 我們工作的困難主要在于需要給出內(nèi)射半徑的一致估計(jì),這等價(jià)于要證明Ricci流在奇異時(shí)刻t=0是非坍塌的.受Perelman工作的啟發(fā),我們給出了兩種證明方法. 第一種是利用擴(kuò)張熵W+的一致有界

2、性以及擴(kuò)張熵W+沿Ricci流的單調(diào)性,我們能夠證明：定義在(0,T]上奇性為typeIV的緊致無邊流形上的Ricci流,如果其數(shù)量曲率非負(fù),那么g(t)在t=0時(shí)是非坍塌的. 第二種方法是利用基于奇異時(shí)間t=0的向前約化體積沿著Ricci流的單調(diào)性.我們要處理的是Ricci流在t=0時(shí)的奇性問題.由于沒有現(xiàn)成的工具可用,因此,我們在本文中用了較大的篇幅制造所需要的工具. 首先,與Perelman在[17]ξ6中的工作平

3、行,我們也構(gòu)造了一個(gè)可以將[δ,T]上的Ricci流嵌入其中的更大的時(shí)空流形(～M+,～g).我們在(～M+,～g)上引入 +p,δ長度的概念.它與Michael Feldman,Tom Ilmanen,Lei Ni的文章[10]中L+-長度類似.與他們的做法相同,通過對(duì)L+p,δ做第一變分,自然得到L+p,δ-測地線和向前約化距離ι+p,δ(forward reduced distance)的概念.仿照Perelman[17]§7中的

4、工作,我們先計(jì)算出關(guān)于向前約化距離ι+p,δ的一階導(dǎo)數(shù)估計(jì),然后再對(duì)L+p,δ測地線的長度L+p,δ做二階變分,進(jìn)而得到向前約化距離ι+p,δ的拉普拉斯(Laplacian)估計(jì).從而能夠證明與ι+p,δ對(duì)應(yīng)的向前約化體積沿著Ricci流是單調(diào)遞減的.然后我們仿照J(rèn)oerg Enders在[9]中的做法,將向前約化距離ι+p,δ延拓到基于奇異時(shí)間t=0的向前約化距離ι+p,0,由于ι+p,0基本上沿襲了ι+p,δ的一階導(dǎo)數(shù)和拉普拉斯的估

5、計(jì),因此,可以得到基于奇異時(shí)間t=0的向前約化體積沿著Ricci流的單調(diào)性.利用前面的工具,我們在比第一種證明方法更強(qiáng)的假設(shè)條件下,即在緊致無邊流形上奇性為typeB的Picci流具有非負(fù)曲率算子的假設(shè)下,給出了Ricci流g(t)在奇異時(shí)間t=0是非坍塌的第二種證明方法. 最后一節(jié)中,我們運(yùn)用微分的Harnack不等式可以證明：定義在(0,T]上具有非負(fù)曲率算子的n維Picci流的奇性是typeIV.然后通過選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)列逼近奇性.由

6、于我們已經(jīng)證明了具有非負(fù)曲率算子的Picci流在奇異時(shí)刻t=0時(shí)是非坍塌的,這就保證了做伸縮變換后這一族Ricci流存在收斂的子序列,其極限為擴(kuò)張的Ricci孤立子.從而完整地證明了我們的主要定理. 我們的目標(biāo)是研究Ricci流在奇異時(shí)刻t=0時(shí)的漸近行為.然而目前我們只能處理(0,T]上的具有非負(fù)曲率算子的n維Picci流在奇異時(shí)刻t=0的奇性結(jié)構(gòu).原因在于：一、我們需要運(yùn)用微分的Harnack不等式得到(0,T]上的n維Ri