關(guān)于二元多項(xiàng)式同余方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題.pdf

1、令f(x)=xd+a1xd-1+…+ad，a1，…，ad∈Z，d≥2，是一個(gè)不可約多項(xiàng)式.令Nf(n)為f(x)≡0(modn)滿足0≤x＜n的解的個(gè)數(shù).研究函數(shù)Nf(n)一直以來(lái)都是一個(gè)很重要的問(wèn)題。
　　 早在1952年，數(shù)學(xué)家Erd(o)s就對(duì)這個(gè)問(wèn)題做了研究，得出了兩個(gè)漸近公式.近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)家對(duì)同余方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題做了大量研究.Fomenko，Kim，呂廣世對(duì)一元多項(xiàng)式同余方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題做了深入研究，得到了很好的

2、結(jié)果.
　　 1999年，Daniel在考慮二元多項(xiàng)式除數(shù)個(gè)數(shù)問(wèn)題時(shí)得到了二元多項(xiàng)式同余方程解的個(gè)數(shù)估計(jì).本文就這個(gè)問(wèn)題做了進(jìn)一步研究，改進(jìn)了以往的估計(jì)結(jié)果，并將其結(jié)果推廣到高次均值情形。
　　 本文主要分為三個(gè)部分，第一部分系統(tǒng)地介紹了本課題的研究背景，給出了本文的研究結(jié)果:
　　 設(shè)f(x1，x2)是一個(gè)二元k（k≥2）次整系數(shù)不可約多項(xiàng)式，令(p)（a）:=＃{(x1，x2)∈(Z)2:1≤x1，x2≤a，

3、f(x1，x2)≡0（moda）}，(p)*（a）:=＃{(x1，x2)∈(0，a]2:(x1，x2，a)=1，f(x1，x2)≡0（moda）}。
　　 定理1.1對(duì)任意k次阿貝爾二元多項(xiàng)式f(x1，x2)，我們有∑a≤Q(p)*(a)/(ψ)(a)={C(f)Q+O(Q1/2+ε)，k=2,3,C(f)Q+O（Q1-3/(k+2)+ε），4≤k≤11，C(f)Q+O(Q1-3/k+ε)，k≥12，其中C(f)是(3.1.4)

4、中的定義。
　　 定理1.2對(duì)任意k（k≥9）次非阿貝爾二元多項(xiàng)式f(x1，x2)，我們有∑a≤Q(p)*(a)/(ψ)(a)=C(f)Q+O(Q1-3/(k+6)+ε），其中C(f)是(3.2.2)中的定義。
　　 定理1.3對(duì)于任意的l≥2，我們有∑a≤Q((p)*(a)/(ψ)(a))l=QPm(logQ)+O(Q1-3/(mk+6)+ε)，其中P(logQ)是(3.3.5)中的定義，m=kl-1。
　　

5、定理1.4對(duì)于任意的l≥2，我們有∑a≤Q((p)(a)/a)l=QP'm(logQ)+O(Q1-3/(3k+km)+ε），其中P'm(logQ)是(3.4.3)中的定義，m=kl-1。
　　 第二部分介紹了為了證明本文的結(jié)果需要用到的預(yù)備知識(shí)，包括解析數(shù)論中的關(guān)于(ζ)(s)，L（s,x）的各次積分均值估計(jì)，代數(shù)數(shù)論中的Dedekindzeta函數(shù)的性質(zhì)，還有Gabriel凸定理和PhragménLindel(o)f定理，以及