階化平移Toroidal李代數(shù)與Baby-TKK代數(shù)的表示.pdf

1、擴(kuò)張仿射李代數(shù)是一類重要的階化李代數(shù)，它包含了所有有限維單李代數(shù)，仿射Kac-Moody代數(shù)，以Laurant多項(xiàng)式環(huán)面或量子環(huán)面為坐標(biāo)代數(shù)的李代數(shù)，同時(shí)還包含了一類帶Jordan代數(shù)結(jié)構(gòu)的Tits-Kantor-Kocher代數(shù).Toroidal李代數(shù)(加適當(dāng)?shù)闹行暮蛯?dǎo)子)是無(wú)扭仿射Kac-Moody代數(shù)的推廣，它是以多變量的Laurant多項(xiàng)式環(huán)面為坐標(biāo)代數(shù)的擴(kuò)張仿射李代數(shù).仿射Kac-Moody代數(shù)和toroidal李代數(shù)的不可約

2、可積表示的分類問(wèn)題一直是人們關(guān)注的焦點(diǎn)，參見[C，CP1，E1，E2，E3，E4，EJ]等.在研究它們的不可約可積表示分類時(shí)，涉及到一類中心作用為零的表示，而這類中心作用為零的表示和相應(yīng)的loop代數(shù)或多元loop代數(shù)的有限維不可約表示密切相關(guān).所以研究無(wú)窮維李代數(shù)的有限維不可約表示是有意義的。 本文首先推廣了Bl型和Dl型toroidal李代數(shù).設(shè)so(n，C)是n(≥3)階復(fù)正交李代數(shù)，即所有的n階反對(duì)稱矩陣的集合.取它的一

3、組基{aij：=eij-eji｜≤i

4、.文章[LT]中定義的無(wú)窮維李代數(shù)是n=3的情形.他們給出了()3(tsi，t82，1)的導(dǎo)子和泛中心擴(kuò)張，并且給出了含兩個(gè)變量的()3(t1，t2，1)的-類頂點(diǎn)算子表示，緊接著在[CLT]中，作者給出了()(t1，t2，1)的自同構(gòu)群和一類Wakimoto模.特別地，當(dāng)n=3時(shí)，文章[SG]也將這一定義推廣到A為非交換結(jié)合代數(shù)的情形.我們定義的這個(gè)代數(shù)也是[LT]的自然推廣。 我們證明了，階化平移toroidal李代數(shù)是完全

5、的，當(dāng)且僅當(dāng)，{E1…，En)中任意n-2個(gè)元素生成的A的理想是A本身.特別地，我們總選取A=Av，E1....，En都是單位，這時(shí)存在S1，…，Sn∈Zv2使得同構(gòu)于本文只考慮這種情形.此時(shí)，是有限生成的階化的完全李代數(shù).進(jìn)一步，我們給出了階化平移toroidal李代數(shù)的導(dǎo)子和泛中心擴(kuò)張.因?yàn)楫?dāng)n=4時(shí)，結(jié)果很特殊，所以我們都分成兩種情況給出結(jié)論。 接著我們討論階化平移toroidal李代數(shù)的有限維不可約表示.通過(guò)變量的賦值，

6、我們定義了階化平移toroidal李代數(shù)到半單李代數(shù)so(n1，C)(N個(gè)單李代數(shù)so(n，C)的直和)的滿同態(tài)，通過(guò)滿同態(tài)自然可以將半單李代數(shù)的有限維不可約表示誘導(dǎo)為階化平移toroidal李代數(shù)的有限維不可約表示.反之，我們也證明了階化平移toroidal李代數(shù)的有限維不可約表示均可由這種方法給出.值得一提的是，在階化平移toroidal代數(shù)里沒有一般的Cartan子代數(shù)，故S，Eswara Rao在研究多元loop代數(shù)時(shí)給出的證明

7、方法這里大部分都不能用.在后面的證明中，我們選取一個(gè)有限維交換子代數(shù)替代Cartan子代數(shù)，用不同的方法給出引理的證明。 由[AABGP]可知，nullity為v的A1型的擴(kuò)張仿射根系的分類完全由Rv空間的半格決定.Nullity為O的只可能是有限維單李代數(shù)，nullity為1的只可能是仿射Kac-Moody代數(shù).所以一般都是從nullity等于2開始考慮A1型擴(kuò)張仿射李代數(shù)的結(jié)構(gòu)和表示理論.我們知道在相似的意義下，歐氏空間R2

8、中只有兩個(gè)半格，其中一個(gè)是全格半格Z2，另一個(gè)是最小的非格半格S.其中baby-TKK代數(shù)()(J(S))(加適當(dāng)?shù)闹行暮蛯?dǎo)子)可以看作是除有限維單李代數(shù)和仿射Kac-Moody代數(shù)之外的最小的擴(kuò)張仿射李代數(shù).在文章[T3]和[MT1]中，作者給出了baby-TKK代數(shù)的泛中心擴(kuò)張的頂點(diǎn)算子表示，在文章[MT2]中，作者也構(gòu)造了baby-TKK代數(shù)的一類Wakimoto模， 由量子環(huán)面CQ，這里其中q為N階本原單位根)為坐標(biāo)代數(shù)

9、的李代的有限維不可約表示的分類由[EB]給出，在這篇文章中，作者證明了任意一個(gè)的有限維不可約表示都可以通過(guò)一個(gè)滿同態(tài)由半單李代數(shù)(若干個(gè)單李代數(shù)slN(t+1)直和)的有限維不可約表示提升而得.因?yàn)楫?dāng)q=-1時(shí)，TKK代數(shù)和同構(gòu)，所以由[EB]直接可得TKK代數(shù)的有限維表示，即的有限維表示可由半單李代數(shù)(若干個(gè)單李代數(shù)sl4(C)的直和)的有限維不可約表示提升給出。 將這一結(jié)果推廣到baby-TKK代數(shù)上，我們證明了baby-T