整數(shù)的k次冪之和表素數(shù)問題.pdf

1、整點問題是數(shù)論中的一類重要問題，Gauss和Dirichlet最先研究了這類問題并提出了兩個著名的論斷，即“關(guān)于圓內(nèi)整點個數(shù)的Gauss問題”和“Dirichlet除數(shù)問題”.設(shè)C(R)表示圓x2+y2≤R內(nèi)的整點個數(shù)，Gauss證明了C(R)=πR+△(R),△(R)=O(√R).(1)之后，很多數(shù)學(xué)家([8,9,13,14,16,21])研究了這一問題并對上式中的余項做出了改進.1993年，Huxley[9]將上式中的余項改進至O（

2、R23/73+ε）.之后，Hux-ley[10]又將(1)式中的余項改進至O（R131/416+ε），這是目前最好的結(jié)果.另一問題是Dirichlet研究的雙曲線下的整點個數(shù)問題.記D(R)表示在第一象限中雙曲線xy=R與兩個坐標(biāo)軸所圍成區(qū)域內(nèi)的整點個數(shù)，則D(R)=∑n≤R(τ)(n)，其中τ(n)為除數(shù)函數(shù).因此這一問題又稱為除數(shù)問題.Dirichlet首先證明了D(R)=R(lnR+2γ-1)+△1(R)，△1(R)=O(√R).

3、(2)之后，上式中的余項不斷被改進([11,13,17,18,21]).1985年，Kolesnik[14]將上式的余項改進至O（R139/429+ε）.目前最好的結(jié)果是由Huxley[10]得到的，他將(2)式余項改進至O（R131/416+ε）.此外，陳景潤[2]和Vinogradov[20]分別研究了三維球面內(nèi)滿足n21+n22+n23≤x的整點個數(shù)問題，證明了∑m21+m22+m23≤x mi∈z1=4/3πx3/2+O(x2/

4、3).后來Chamizo[1]和Heath-Brown[6]分別對上述結(jié)果的余項做出了改進.
　　之后，許多數(shù)學(xué)家還研究了若干個整數(shù)的齊次方和表素數(shù)的問題.記Rs,k(x）=∑mk1+mk2+…+mks≤xΛ(mk1+mk2+…mks).(3)2012年，郭汝庭和翟文廣[4]對上式中s=3和k=2的情況進行了研究，證明了對任意取定的常數(shù)A＞0，有R3,2(x)=Bx3/2+O(x3/2log-A x),其中B是某一個確定的常數(shù).2

5、014年，胡立群[7]還考慮了(3)式中s=4和k=2的情況，證明了對于任意取定的常數(shù)A＞0，有R4,2(x)=Cx2+O(x2log-Ax),其中C為某一個確定的常數(shù).
　　本文對更一般的s和k研究了(3)式并得到了如下結(jié)果.
　　定理1設(shè)Rs，k(x)如(3)式定義，那么當(dāng)k≥2,k為偶數(shù)且s≥k2+k+1時，有Rs,k(x)=2sB0I0xs/k+O(xs/k log-C x),其中C＞0是一個任意取定的常數(shù)，并且B0