第5章 扭轉 材料力學

1、第5章 扭轉,5.1 圓軸扭轉的概念,5.2 扭矩和扭矩圖,5.3 純剪切定律,5.4 圓軸扭轉時橫截面上的應力,5-5 圓軸扭轉時的變形,5.6 圓軸扭轉時的強度和剛度計算,,受力特點:外力偶作用平面和桿件橫截面平行,,5.1 圓軸扭轉的概念,扭轉,變形特點:各個橫截面均繞軸線發(fā)生相對轉動,轉角φ：任意兩截面間相對轉過的角度。,扭轉變形,軸，圓軸,5.2.1 外力偶矩的計算,5.2 扭矩和扭矩圖,1分鐘輸入功：,1分鐘m作功,,,

2、扭轉,例 傳動軸如圖所示，主動輪A輸入功率PA=50kW，從動輪B、C、D輸出功率分別為PB=PC=15kW，PD=20kW，軸的轉速n=300r/min，計算各輪上所受的外力偶矩。,解：計算外力偶矩,扭轉,,,5.2.2 橫截面上的內力——扭矩,1.橫截面上的內力：扭矩(MT) 2.扭矩求法：截面法 3.扭矩符號規(guī)定：右手螺旋法則 5.2.3 扭矩圖 與軸力圖作法完全相同(縱坐標改為扭矩大

3、小)。,例 計算上例中所示軸的扭矩，并作扭矩圖。,解：已知,,477.5N·m,,,,,,,,955N·m,637N·m,作扭矩圖如左圖示。,扭轉,例 圖示傳動軸，轉速n=500r/min，輸入功率PA=10kW，輸出功率分別為PB=4kW與PC=6kW。試計算軸的扭矩，并畫扭矩圖,解：1.扭力矩計算,2.扭矩計算,3.作扭矩圖,扭轉,MT,MT2,MT1,例5-1 圖示傳動軸，其轉速n=300r/min

4、，主動輪A輸入功率PA=120kW，從動輪B，C，D輸出功率分別為PB=30kW，PC=40 kW，PD=50 kW。試畫出該軸的扭矩圖。,解：（1） 計算外力矩,（2）計算扭矩,BA段,AC段,CD段,（3）畫扭矩圖,扭轉,扭轉實驗前,平面假設成立,相鄰截面繞軸線作相對轉動,橫截面上各點的切應力的方向必與圓周線相切。,縱線,圓周線,扭轉實驗后,結論,,扭轉,5.3 純剪切,5.3.1薄壁圓管扭轉時的切應力,得：,,,扭轉,5.3.2

5、切應力互等 定律,切應力互等定律,純剪切：單元體面各面上只有切應力而無正應力的應力狀態(tài),……剪切胡克定律（線彈性范圍適用）,另外有：,G為材料的切變彈性模量,扭轉,5.3.3剪切胡克定律,5.4.1 變形幾何關系,5.4 圓軸扭轉時橫截面上的應力,扭轉,5.4.2物理關系(剪切虎克定律),5.4.3 靜力學關系,—極慣性矩,應力公式,1)橫截面上任意點：,2)橫截面邊緣點：,其中：,,,,,扭轉,例5-2 有兩根橫截面面積及載荷均

6、相同的圓軸，其截面尺寸為實心軸d1=104mm；空心軸D2=120mm ，d2=60mm，圓軸兩端均受大小相等，方向相反的力偶M=10 kN·m作用，試計算（1）實心軸最大切應力（2）空心軸最大切應力（3）實心軸最大切應力與空心軸最大切應力之比,解：（1）計算抗扭截面模量,（2）計算最大切應力,實心軸,空心軸,（3）兩軸最大切應力之比,即實心軸的最大應力約為空心軸的1.45倍,扭轉,一、圓軸扭轉變形,計算目的：剛度計算、為解超

7、靜定問題作準備。,相對扭轉角：,GIp—抗扭剛度，表示圓軸抵抗扭轉變形能力的強弱。,扭轉,5-5 圓軸扭轉時的變形,例5-3 軸傳遞的功率為P=7.5kW，轉速n=360 r/min。軸的AC段為實心圓截面，CB段為圓環(huán)截面，如圖所示。已知D=30mm，d=20mm，軸各段的長度分別為lAC=100mm，lBC= 200mm 。材料的剪切彈性模量G=80GPa。試計算B截面相對于A截面的扭轉角φAB,解：（1）計算扭矩,（2）計算極慣

8、性矩,（3）計算扭轉角φAB,扭轉,低碳鋼扭轉破壞,鑄鐵扭轉破壞,扭轉,5.6 圓軸扭轉時的強度與剛度計算,扭轉失效與扭轉極限應力,扭轉屈服應力τs,扭轉強度極限τb,扭轉極限應力τ0,5.6.1 強度計算,根據(jù)強度條件可進行：強度校核; 選擇截面; 計算許可荷載。,例5-4 某汽車主傳動軸鋼管外徑D=90mm，壁厚t=2.5mm，傳遞扭矩MT=1.5kN·m，[t]=60MPa，試校核軸的強度。,解：計算截

9、面參數(shù)：,由強度條件：,故軸的強度滿足要求。,同樣強度下，空心軸使用材料僅為實心軸的三分之一，故空心軸較實心軸合理。,例5-5 將上空心軸改成實心軸，強度不變,由上式解出：d=53.1mm。,空心軸與實心軸的截面面積比(重量比)為：,扭轉,,例5-6 兩空心圓軸，通過聯(lián)軸器用四個螺釘聯(lián)接，螺釘對稱地安排在直徑D1=140mm的圓周上。已知軸的外徑D=80mm，內徑d=60mm，螺釘?shù)闹睆絛1=12mm，軸的許用切應力[τ]=40M

10、Pa，螺釘?shù)脑S用切應力[τ]=80MPa，試確定該軸允許傳遞的最大扭矩。,解：(1) 計算抗扭截面模量,(2) 計算軸的許可載荷,該軸的扭矩即為作用在軸上的轉矩，其許可轉矩為,(3) 計算聯(lián)軸器的許可載荷,要使軸的扭轉強度和螺釘?shù)募羟袕姸韧瑫r被滿足，最大許可轉矩應小于2530N · m。,例 某傳動軸，傳遞最大扭矩M=1.5kN·m，許用切應力[t]=50MPa，試按下列兩種方案確定軸的橫截面尺寸，并比較重量

11、。 （1）實心圓截面軸 （2）空心圓截面軸，其內外徑比值di/d0=0.9,解：1.確定實心圓軸直徑：,取 d=54mm,取d0=76mm，d1=68mm。,空心軸與實心軸截面的重量比（面積比)為：,扭轉,,2.確定空 心圓軸內外徑：,扭轉,例 圖示階梯形傳動軸，圓管承受均勻分布的扭力偶作用。校核圓管強度。已知扭轉力偶矩m=3500N·m/m，軸長l=1m，管平均半徑R0=50mm，左段管壁厚δ1=5mm，

12、右段管壁厚δ2=4mm，許用切應力[t]=50MPa。,解：1.扭矩分析,固定端支反力MA=ml,x截面扭矩 MT=m(l-x),扭矩圖如圖，最大扭矩MTmax=ml,2.強度校核,截面A為危險截面,截面B也為危險截面，TB=ml/2,圓管強度足夠,例 階梯形圓軸d1=4cm，d2=7cm，輸入功率P3=30kW，輸出P1=17kW，，軸勻速轉動n=200r/min，材料許用切應力[τ]=60MPa，G=80GPa，試校核軸強度。,

13、解：（1）計算扭矩,(2) 強度校核,強度滿足,扭轉,其中：[q]—許用扭轉角，取值可根據(jù)有關設計標淮或規(guī)范確定。,扭轉,5.6.2 剛度計算,單位長度的扭轉角：,或,剛度條件,例5-7一傳動軸如圖所示，已知軸的轉速n=208r/min，主動輪A傳遞功率為PA=6kW，而從動輪B、C輸出功率分別為PB=4kW，PC=2kW，軸的許用切應力[τ]=30MPa，許用單位扭轉角[θ]=1○ /m，剪切彈性模量G=80× 103MP

14、a。試按強度條件及剛度條件設計軸的直徑。,解：（1）計算軸的外力矩,（2）畫扭矩圖,（3）按強度條件設計軸的直徑,（4）按剛度條件設計軸的直徑,為了滿足剛度和強度的要求，應取兩個直徑中的較大值，即取軸的直徑d=34mm,例5-8 兩空心軸通過聯(lián)軸器用四個螺栓聯(lián)結，螺栓對稱安排在直徑D1=140mm的圓周上。已知軸的外徑D=80mm，內徑d=60mm，軸的許用剪應力[τ]=40MPa，剪切彈性模量G=80GPa，許用單位扭轉角[θ]=1

15、○ /m，螺栓的許用剪應力[τ]=80MPa。試確定該結構允許傳遞的最大轉矩。,解：（1）在例5-6中已解出，按強度設計允許傳遞的最大轉矩為,（2）按剛度條件確定軸所傳遞的扭矩,要使軸的強度、剛度和螺栓的強度同時滿足，該結構所傳遞的最大轉矩為：Mo=2530N · m,例 圖示圓截面軸AC，承受扭力矩MA， MB與MC 作用，試計算該軸的總扭轉角φAC(即截面C對截面A的相對轉角)，并校核軸的剛度。 已知MA＝180

16、N·m， MB＝320 N ·m， MC＝140N·m，Iρ＝3.0×105mm4，l=2m，G＝80GPa，[θ]＝0.50／m。,解： 1．扭轉變形分析,利用截面法，得AB段BC段的扭矩分別為：MT1＝180 N·m， MT2＝-140 N·m,設其扭轉角分別為φAB和φBC，則：,扭轉,各段軸的扭轉角的轉向，由相應扭矩的轉向而定。,由此得軸AC的總扭轉角為,2 剛度校

17、核 軸AC為等截面軸，而AB段的扭矩最大，所以，應校核該段軸的扭轉剛度。AB段的扭轉角變化率為：,可見，該軸的扭轉剛度符合要求。,扭轉,,例 某傳動軸，扭矩MT=200kN·m，若單位長度許用扭轉角[θ]＝0.50／m，切變模量G＝80GPa，試根據(jù)剛度要求設計軸徑d。,扭轉,解：按 實心軸扭轉剛度要求,例 圖示圓錐形軸，兩端承受扭力偶矩M作用。設軸長為l，左、右端直徑分別為d1與d2，材料切變