橢圓型變分問題的區(qū)域分解法.pdf

1、區(qū)域分解法是建立在給定的計算區(qū)域被劃分為幾個重疊或非重疊的子區(qū)域的假設(shè)上的一種算法．Schwarz交替法無疑是最早的區(qū)域分解法之一。隨著并行計算機的出現(xiàn)，區(qū)域分解法以其縮小計算規(guī)模和高度并行的優(yōu)點成為設(shè)計并行算法最重要的一種方式．本文討論橢圓型變分問題，包括橢圓算子對應(yīng)的變分不等式與互補問題，以及偏微分方程的區(qū)域分解法。 互補問題是一類典型的變分不等式，它廣泛用于闡述和研究物理學(xué)、力學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、運籌學(xué)、最優(yōu)控制等數(shù)學(xué)模型以及交通

2、運輸中出現(xiàn)的各種平衡模型，其數(shù)值解法的研究發(fā)展迅速。目前求解互補問題的迭代算法有很多，區(qū)域分解法是其中的研究熱點之一．對于對稱線性互補問題， Ax+6≥O，x≥0，xT(Ax+6)=0， 其中，A是給定的N×N實對稱矩陣，6是N×1向量，在已有的研究成果中，大多數(shù)要求其中的系數(shù)矩陣A對稱正定或者為M陣等．本文中討論了當(dāng)其中的系數(shù)矩陣為對稱雙正陣時，區(qū)域分解法(包括乘性Schwarz算法、非重疊加性Schwarz算法和重疊

3、加性Schwarz算法)的收斂性質(zhì)．證明了由這些算法產(chǎn)生的迭代序列的聚點是原互補問題的解．?dāng)?shù)值算例表明，算法的收斂速度快，體現(xiàn)其優(yōu)越性． 用區(qū)域分解法求解偏微分方程于上世紀(jì)八十年代蓬勃興起，并越來越受到人們的重視．它分為重疊型和非重疊型．以Robin條件為界面條件的重疊型區(qū)域分解法也被稱為廣義Schwarz算法，其區(qū)別于古典的Schwarz算法的特點是在子區(qū)域之間的界面上采用Dirichlet條件和Neumann條件相結(jié)合的Ro

4、bin條件來代替原來的單純的Dirichlet條件．本文中分析了一種廣義加性Schwarz算法求解Dirichlet邊值的偏微分方程問題的收斂率．給出了一維和二維問題的算法收斂率的定量分析，并以相應(yīng)的數(shù)值算例說明參數(shù)及重疊區(qū)域的大小與算法收斂率之間的關(guān)系．?dāng)?shù)值算例表明，適當(dāng)?shù)腞obin參數(shù)和減小重疊區(qū)域的大小會提高算法的收斂率．這種算法也可以被用于非重疊型的區(qū)域分解．非重疊型區(qū)域分解方面的研究目前相關(guān)結(jié)論不是很多．在大多數(shù)文獻(xiàn)中，討論的

5、主要是矩形或帶狀區(qū)域．本文中討論了非規(guī)則的區(qū)域-L型區(qū)域上的Poisson方程的一種加性非重疊區(qū)域分解法．而且，在該區(qū)域分解法中也采用了Robin型界面?zhèn)鬏敆l件．證明了該算法在連續(xù)情形下的收斂性，并討論了離散后算法的收斂速度與Robin型界面?zhèn)鬏敆l件中的Robin參數(shù)之間的關(guān)系．?dāng)?shù)值算例說明，適當(dāng)?shù)腞obin參數(shù)的選取會大大加快該算法的收斂速度． 這種廣義Schwarz算法也被用于求解變分不等式．文中對于如下一類變分不等式問題進(jìn)